培优2 抽象函数的性质讲义——2025届高三数学一轮复习

培优2抽象函数的性质 抽象函数问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学 生感觉头痛抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数的定义域、 值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体，借 助特殊函数模型有利于打开解题思路，有时会起到事半功倍的效果」 常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型： 抽象函数f(x)具有的性质 特殊函数模型 f(x+y)=f(x)+f(y) 正比例函数f(x)=x(k≠0) f(xy)=f(x)f(y) 二次函数f(x)=X2 f(x+y)=f(x)f(y), f(x-y)=f(x)÷f(y) 指数函数f(x)=(a>0,且 a≠) f(xy)=f(x)+f(y), 对数函数f(x)=log,a>0,且 f()=f(x)-f(y) a≠) f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y) 正弦函数f(x)=snx f(x±y)=f(x)f(y)干g(x)g(y) 余弦函数f(X)=Cosx f(x)f(y) f(x±y)=评sr的 正切函数f(x)=tanx 类型一抽象函数求值 典例1设函数y=f(x)的定义域为(O,+o),f(y)=f(x)+f(y),若 f(8)=3则f(V2)= 解题技法 抽象函数求值问题常用赋值法，赋值主要从以下方面考虑：令x=·,一2 一10,1,2，等特殊值求抽象函数的函数值. 【跟踪训练】 已知定义在R上的函数f(x)满足：VX.yER,f(x+y)=f(x)f(y),且 f(1)=2则f(0)+f(2)=() A.4 B.5 C.6 D.7 类型二抽象函数的单调性与抽象不等式 典例2己知定义在R上的函数f(x)满足： ①f(x+y)=f(x)+f(y)+1: ②当x>0时，f(x)>-1 (1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数： (2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4. 解题技法 (1)抽象函数的单调性的证明，关键是要依据单调性的定义和题目条件利用x1 与x2的大小关系构造出一个大于（或小于）0的数. (2)在解决与抽象函数有关的不等式问题时，可通过脱去函数符号“化为一 般不等式求解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行：若不等式一边没有 “”,而是常数，则应将常数转化为函数值 【跟踪训练】 已知f(x)是定义在区间(0，+o)上的增函数，且f(等)=f(x)-f(y), f(2)=L,如果x满足f(x)-f(3)≤2则x的取值范围为 类型三抽象函数的奇偶性 典例3设函数f(x)对任意xyER都有f(x+y)=f(x)+f(y) 证明：f(X)为奇函数. 解题技法 抽象函数中求特殊的函数值，讨论函数的奇偶性及依此解关于x的不等式等问 题多运用“赋值法进行求值和化简 【跟踪训练】 已知f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=3f(x)f(y), f(1)=专 (1)证明：f(x)是偶函数； 2025 (2) 求∑f(k)】 k=1 类型四抽象函数的对称性 典例4[2022·新高考|卷]（多选）已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义 域均为R,记g(x)=f'(x)若f(-2x),g(2+x)均为偶函数，则() A.f(0)=0 B.g(-3)=0 C.f(-1)=f(4)D. g(-1)=g(2) 解题技法 (1)若函数y=f(W+b)为偶函数，则函数图象关于直线x=b对称：若函 数y=f(W+b)为奇函数，则函数图象关于点(b0)对称. (2)若函数f(x)在定义域上的图象是一条连续不断的曲线，则：①函数 f(x)的图象关于直线x=a对称曰导函数f'(x)的图象关于点(aO)对称： ②函数f(x)的图象关于点(af())对称一导函数f'(x)的图象关于直线 x=a对称. 【跟踪训练】 已知函数y=f(2x+1)的图象关于直线x=1对称，函数y=f(X+1)的图象 关于点(10)对称，则下列说法正确的是() A.f(1)=0 B.f(1-x)=f(1+x) C.f(x)的周期为2 D.f(x)=f(是-x) 培优2 抽象函数的性质 抽象函数问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛.抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体，借助特殊函数模型有利于打开解题思路，有时会起到事半功倍的效果. 常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型： 抽象函数具有的性质 特殊函数模型 正比例函数 二次函数 ， 指数函数，且 ， 对数函数,且 正弦函数 余弦函数 正切函数 类型一 抽象函数求值 典例1 设函数的定义域为,,若,则 [解析]因为,所以,所以. 因为, 所以. 解题技法 抽象函数求值问题常用赋值法，赋值主要从以下方面考虑：令 ,,,0,1, 等特殊值求抽象函数的函数值. 【跟踪训练】 已知定义在上的函数满足：,,,且,则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 [解析]选.由题意，令，， 则有, 又,所以, 令,则有, 所以.故选. 类型二 抽象函数的单调性与抽象不等式 典例2 已知定义在上的函数满足： ; ②当时，. （1） 求的值，并证明在上是增函数； 【解】令,得. 在 上任取,则,. 又,所以函数 在 上是增函数. （2） 若,解关于的不等式. [答案]由，得,. 由, 得, 即, 又函数 在 上是增函数，故, 解得 或， 故原不等式的解集为 或. 解题技法 （1）抽象函数的单调性的证明，关键是要依据单调性的定义和题目条件利用与的大小关系构造出一个大于（或小于）0的数. （2）在解决与抽象函数有关的不等式问题时，可通过脱去函数符号“”化为一般不等式求解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行；若不等式一边没有“”，而是常数，则应将常数转化为函数值. 【跟踪训练】 已知是定义在区间上的增函数,且,,如果满足,则的取值范围为 [解析]因为, 所以. 在上述等式中取,, 则有. 又因为, 所以, 所以, 可变形为. 又因为 是定义在区间 上的增函数， 所以 解得. 故 的取值范围是. 类型三 抽象函数的奇偶性 典例3 设函数对任意,都有. 证明:为奇函数. 【证明】 由于函数 对任意,都有,令,可得, 再令,可得, 即,所以, 因此，函数 为奇函数. 解题技法 抽象函数中求特殊的函数值，讨论函数的奇偶性及依此解关于的不等式等问题多运用“赋值法”进行求值和化简. 【跟踪训练】 已知的定义域为，且，. （1） 证明：是偶函数； 解：证明： 的定义域为，令，,得，所以，令,得，所以，即,所以 是偶函数. （2） 求. [答案]令，得，① 所以，② 由①，②知，， 所以,即，所以，所以 的周期是6. 由②得，，所以，同理，所以，又由 是偶函数且周期为6可得, ,,， 所以，所以. 类型四 抽象函数的对称性 典例4 [2022·新高考Ⅰ卷]（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若，均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. [解析]方法一：因为 为偶函数，所以，所以函数 的图象关于直线 对称，，即，所以 正确；因为 为偶函数，所以，函数 的图象关于直线 对称，因为，所以函数 的图象关于点，对称，所以 的周期，因为，所以，即，所以 不正确；因为，即,所以，所以，所以，所以 正确；不妨取，经验证满足题意，则，所以 不正确.故选. 方法二：因为，均为偶函数，所以函数 的图象关于直线 对称，函数 的图象关于直线 对称.取符合题意的一个函数，则，排除；取符合题意的一个函数，则，即，所以 ， ，所以，排除，经检验,正确.故选. 解题技法 （1）若函数为偶函数，则函数图象关于直线对称；若函数为奇函数，则函数图象关于点对称. （2）若函数在定义域上的图象是一条连续不断的曲线，则：①函数的图象关于直线对称 导函数的图象关于点对称；②函数的图象关于点对称 导函数的图象关于直线对称. 【跟踪训练】 已知函数的图象关于直线对称，函数的图象关于点对称，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的周期为2 D. [解析]选.因为函数 的图象关于直线 对称， 所以,即, 用 代换上式中的,即可得到,所以 的图象关于直线 对称.又函数 的图象关于点 对称，所以,即,所以 的图象关于点 对称.对于, 令 取,可得.对于,令 取,可得.所以,令 取，可得,可得， 即 的最小正周期为4,故 错误；由, 令 取,可得.因为 的最小正周期为4， 所以,所以,即,故 正确；由 无法推出 选项，故 错误; 由,可得直线 为 图象的对称轴，但不能确定 是否成立，故 错误.故选. 学科网（北京）股份有限公司 $$