8.5 空间直线、平面的平行 讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.5空间直线、平面的平行 目录 知识点一：直线与直线平行… 题型1：等角定理的应用… 知识点二：直线与平面平行 3 题型2：线面平行的判定 题型3：线面平行性质定理的应用 5 知识点三：平面与平面平行… 题型4：面面平行的判定。 48 题型5：面面平行性质定理的应用. 10 知识点四：三种平行关系的转化…。 .11 题型6：平行关系的相互转化和综合应用 12 1 知识点一：直线与直线平行 1.基本事实4（平行线的传递性） 文字语言：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号语言：a∥b,b∥c→a∥c. 2.等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 题型1：等角定理的应用 方法提炼 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，若两组对应边的方向都 相同或都相反，则两角相等：若一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则两角互补。 【例1.1.】在三棱锥P-ABC中，PB⊥BC,E,D,F分别是AB,PA,AC的中点，则 ∠DEF=() A.30 B.45 c.60 D.90 【例1.2.】（多选题）下列命题中，错误的结论有() A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角） 相等 C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补 D.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行 【例1.3.】己知空间中两个角∠AOB,∠AO,B,且OA/1OA,OB11O,B,若∠AOB=60°， 则∠AOB= 【例1.4.】已知棱长为a的正方体ABCD-AB,C,D1中，M,N分别是棱CD、AD的中点. D By 求证：(1)四边形MNAC,是梯形： (2)∠DNM=∠DA:C 知识点二：直线与平面平行 1.直线与平面平行的判定启理 文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 图形语言： 符号语言：ada,bca,al∥b→al∥a. 2.直线与平面平行的性质定理 文字语言：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交 线平行 图形语言： 符号语言：aa,acB,anB=b→a∥b. 题型2： 线面平行的判定 方法提炼 证明线面平行的常见方法： (1)定义法 证明直线与平面没有公共点这时直接证明往往比较困难，一般是结合反证法来证明这时“平 行”的否定应是“在平面内”或“相交”两种，只有排除这两种位置关系才能得到“直线与 平面平行”的结论 (2)利用直线与平面平行的判定定理。 使用定理时，注意所找到的两条直线，一条应在平面内，一条应在平面外 常见策略：①利用中位线②构造平行四边形 (3)利用平面与平面平行的性质，把面面平行转化为线面平行。 【例2.1.】若a,b表示直线，a表示平面，则以下命题中真命题是() A.若aib,bca,则a1la B.若a/la,bla,则aB C.若ab,ba,则a/la D.若a/1a,bca,则alh或a与b异面 【例2.2.】如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形， BC//AD,AD=4,BC=2,M为AD的中点.证明：BM/平面CDE: C 【例23.】如图：在正方体ABCD-A,B,C,D,中AB=2,M为DD的中点. D C A M N B (1)求三棱锥M-ABC的体积； (2)求证：BD/1平面AMC: 【例2.4.】如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB,AB⊥AC,E是PB的中点 A 证明：OE/1平面PAC: 【例2.5.】如图，在三棱锥P-ABC中，AB=2,BC=2√2，BP,AP,BC的中点分别为D, E,O,点F在AC上，BF⊥AO. D A 证明：EF/平面ADO: 【例2.6.】如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，设M,N分别是线段DA、 BD上的动点，若MN/1平面CCDD,则线段MN长的最小值为 白 B M D 题型3：线面平行性质定理的应用 方法提炼 如果已知条件中给出线面平行或隐含线面平行，在应用性质定理时，关键是过已知直线作辅 助平面与已知平而相交，则该交线与已知直线平行，且在已知平而内所有与交线平行的直线 都与已知直线平行，所有与交线相交的直线与已知直线异面， 【例3.1.】如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点， 当PA11平面EBF时， PF FC =() E B A. 4 c.1 【例3.2.】如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F,G分别是AB,CCAD的中点. D C B D A E (1)证明：EGM平面D,B,C: 2凌CD上是否存在点T,使AT∥平面BEF?若存在，求出D”的值：若不存在，请说明 DC 理由 【例3.3.】如图所求，四棱锥P-ABCD,底面ABCD为平行四边形，F为PA的中点，E为 PB中点. E D A (1)求证：PC//平面BFD: 2已知M点在PD上满足EC1/平面BFM,求M的值. MD 【例3.4.】如图所示的一块正四棱锥P-ABCD木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱 PA上的点 6 M B (1)若PM:MA=1:1,要经过点M和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（请写出 必要作图说明) (2)若PM:MA=5:8,在线段BD上是否存在一点N,使直线MN∥平面PBC?如果不存在， 请说明理由，如果存在，求出BN:ND的值以及线段M的长， 知识点三：平面与平面平行 1.平面与平面平行的判定定理 文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 图形语言： b 符号语言：若aca、bca,a∩b=A,且a∥B、b∥B,则a∥B. 2.平面与平面平行的判定启理的推论 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这 两个平面平行· 图形语言： 符号语言：若acB、bcB,a∩b=P,aca、bca,a∩b=P,且a/1a、 b/1b,则a∥B. 3.平面与平面平行的性质定理 文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行， 符号语言：若a∥B,a∩y=a,B∩y=b,则a∥b 图形语言： 4.两个平面平行的其他性质 (1)两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面： (2)夹在两个平行平面间的平行线线段长度相等 (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)两平行平面间的两条直线被第三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. 5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 题型4：面面平行的销判定 方法提炼 证明面面平行的常用方法： (1)定义法 证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难. (2)利用平面与平面平行的判定定理. 要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线，分别证明它们平行于另一 个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两 条相交的直线平行。 (3)根据平面的传递性 【例4.1.】如图所示，在三棱柱ABC-AB,C,中，E,F,G,H分别是AB,AC,AC,AB的 中点，求证： B B 8 (1)B,C,/1平面AEF: (2)平面A,EF1I平面BCGH. 【例4.2.】如图所示，在四棱锥C-ABED中，四边形ABED是正方形，点G,F分别是线段 EC,BD的中点 E D G (1)求证：GF/平面4BC; (2)线段BC上是否存在一点H,使得面GFH∥面ACD,若存在，请找出点H并证明；若不存 在，请说明理由 【例4.3.】己知正方体ABCD-A,B,CD,中，P、Q分别为对角线BD、CD,上的点，且 COBP3 OD PD 5 D C B A D (1)求证：PQ//平面A,D,DA: (2)若R是AB上的点， 迟的值为多少时，能使平面POR∥平面AD,DA?请给出证明. AB 【例4.4.】如图，在四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，点M是线段BD上的一个动点，E,F分 别是BC,CM的中点. 9 M (1)求证：EF1/平面BDDB,: (2)设G为棱CD上的一点，问：当G在什么位置时，平面GEFI1平面BDD,B,? 题型5：面面平行性质定理的应用 方法提炼 (1)利用面面平行的性质定理证明两直线平行的一般步骤： 第一步：找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条： 第二步：判定这两个平面平行： 第三步：找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； 第四步：由定理得出结论 (2)利用面面平行的性质证明线面平行的常用方法： ①利用面面平行的性质(a/∥B,aca→a∥B). ②利用线面平行的判定定理(ata,bca,al/b→a∥a) 【例51】如图O,在直角梯形ABCP中，APBC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D为 AP的中点，E、F、G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四 棱锥P-ABCD,如图②求证：在四棱锥P-ABCD中，AP∥平面EFG 图 图② 【例5.2.】四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，如图所示，点E是棱PD上一点， 10 8.5 空间直线、平面的平行 目录 知识点一：直线与直线平行 2 题型1：等角定理的应用 2 知识点二：直线与平面平行 4 题型2： 线面平行的判定 5 题型3： 线面平行性质定理的应用 10 知识点三：平面与平面平行 15 题型4：面面平行的判定 16 题型5：面面平行性质定理的应用 20 知识点四：三种平行关系的转化 24 题型6：平行关系的相互转化和综合应用 24 知识点一：直线与直线平行 1. 基本事实4（平行线的传递性） 文字语言：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号语言：a∥b，b∥c⇒a∥c． 2. 等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 题型1：等角定理的应用 方法提炼 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．若两组对应边的方向都相同或都相反，则两角相等；若一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则两角互补． 【例1.1.】 在三棱锥中，，，，分别是，，的中点，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得， 又因为，所以，所以. 故选：D. 【例1.2.】 (多选题)下列命题中，错误的结论有（    ） A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补 D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行 【答案】AC 【详解】对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项A错误； 对于选项B：由等角定理可知B正确； 对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中，与满足，，但是，，二者不相等也不互补.故选项C错误； 对于选项D：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确. 故选：AC. 【例1.3.】 已知空间中两个角，且，若，则 . 【答案】或 【详解】因为两个角，且， 则的两边分别平行， 所以相等或互补， 又，所以或 故答案为：或 【例1.4.】 已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点.    求证：（1）四边形是梯形； （2）∠DNM＝∠D1A1C1. 【详解】（1）连接，    因为M，N分别是棱CD、AD的中点，所以，， 又因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，且， 所以且， 所以四边形是梯形. （2）由（1）知，又根据正方体的性质可知，，且与的方向相同， 所以根据等角定理可得. 知识点二：直线与平面平行 1. 直线与平面平行的判定定理 文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 图形语言： 符号语言：，，． 2. 直线与平面平行的性质定理 文字语言：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 图形语言： 符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. 题型2： 线面平行的判定 方法提炼 证明线面平行的常见方法： (1) 定义法. 证明直线与平面没有公共点.这时直接证明往往比较困难，一般是结合反证法来证明.这时“平行”的否定应是“在平面内”或“相交”两种，只有排除这两种位置关系才能得到“直线与平面平行”的结论. (2) 利用直线与平面平行的判定定理. 使用定理时，注意所找到的两条直线，一条应在平面内，一条应在平面外. 常见策略：①利用中位线.②构造平行四边形. (3) 利用平面与平面平行的性质，把面面平行转化为线面平行. 【例2.1.】 若，表示直线，表示平面，则以下命题中真命题是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则或与异面 【答案】D 【解析】对于A：若，，则或，故A错误； 对于B：若，，则或与相交或与异面，故B错误； 对于C：若，，则或，故C错误； 对于D：若，，则或与异面，故D正确. 故选：D 【例2.2.】 如图，在以为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，为的中点．证明：平面； 【详解】因为为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面，所以平面； 【例2.3.】 如图：在正方体中，为的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面； 【详解】（1）显然平面，于是. （2） 设，连接， 在正方体中，四边形是正方形，是中点， 是的中点，， 平面平面 平面； 【例2.4.】 如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．    证明：平面； 【详解】证明：连接并延长交于点，连接、， 因为是三棱锥的高，所以平面，平面， 所以、， 又，所以，即，所以， 又，即，所以，， 所以 所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面    【例2.5.】 如图，在三棱锥中，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，.    证明：平面； 【详解】（1）连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点，    于是，即，则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. 【例2.6.】 如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【详解】过点分别作交于点，交于点， 连接， 要想平面，则四边形为平行四边形，故， 设，则，故， 由勾股定理得， 其中， 当且仅当时，等号成立， 故. 故答案为： 题型3： 线面平行性质定理的应用 方法提炼 如果已知条件中给出线面平行或隐含线面平行，在应用性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，则该交线与已知直线平行，且在已知平面内所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线与已知直线异面. 【例3.1.】 如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】    连接 交 于 ，连接 ， 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ，所以 . 又 ， 为 的中点， 所以 ， 所以 . 故选：D. 【例3.2.】 如图，在正方体中，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）连接， 分别为中点，， ，，四边形为平行四边形，， ，又平面，平面， 平面. （2）假设在棱上存在点，使得平面， 延长交于，连接交于， ，为中点，为中点， ，，， 平面，平面，平面平面， ，又，四边形为平行四边形，， ； 当时，平面. 【例3.3.】 如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点. (1)求证：平面； (2)已知点在上满足平面，求的值. 【详解】（1）证明：连结交于，连结， 因在中，为中点，为中点，则FO . 又平面，平面，故平面； （2）如图连结交延长线于，连结交于， 连结，，，EN. 因，则四点共面. 又平面，平面平面， 则，四边形为平行四边形，可得 为中点. 则为BG中点. 即EN为中位线，则ENPG，. 又DN，则四边形EFDN为平行四边形，ENFD. 从而FDPG，. 【例3.4.】 如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 【详解】（1）因为，所以M为的中点， 作，交于G，则G为的中点，连接， 则，由题意知四边形为平行四边形，则， 故，即共面， 故要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面沿线段画线即可； （2）存在，，说明如下： 假设在线段上存在一点N，使直线平面， 连接并延长交于E，连接， 因为平面，平面，平面平面， 故，则， 由题意知四边形为正方形，故， 则，即假设成立， 故在线段上存在一点N，使直线平面，此时； 由于，，故，故， 中，，则 ， 即，而，， 故，则. 知识点三：平面与平面平行 1. 平面与平面平行的判定定理 文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：若、，，且、，则． 2. 平面与平面平行的判定定理的推论 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：若、，，、，，且、，则． 3. 平面与平面平行的性质定理 文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． 符号语言：若，，，则． 图形语言： 4. 两个平面平行的其他性质 (1) 两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面. (2) 夹在两个平行平面间的平行线线段长度相等. (3) 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4) 两平行平面间的两条直线被第三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. (5) 如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 题型4：面面平行的判定 方法提炼 证明面面平行的常用方法： (1) 定义法. 证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难. (2) 利用平面与平面平行的判定定理. 要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行. (3) 根据平面的传递性. 【例4.1.】 如图所示，在三棱柱中，分别是，，的中点，求证： (1)平面； (2)平面平面． 【详解】（1）证明：∵分别是的中点， ∴, 又在三棱柱中，， 所以． 又平面， 平面， 所以平面. （2）证明：由（1）知，平面，平面， ∴平面， 又∵分别为中点， 故，, 又∵，∴, ∴四边形为平行四边形， ∴, 又∵平面，平面， ∴平面, 又∵平面, ∴平面平面． 【例4.2.】 如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点. （1）求证：; （2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由. 【详解】（1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点 故 ∵面 ∴面 （2）线段上存在一点满足题意，且点是中点   理由如下：由点分别为中点可得： ∵面 ∴面 由（1）可知，面 且 故面面 【例4.3.】 已知正方体中，、分别为对角线、上的点，且 (1)求证：平面； (2)若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明. 【详解】（1）连结并延长与的延长线交于点， 因为四边形为正方形，所以， 故，所以， 又因为，所以， 所以. 又平面，平面， 故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：因为，即有，故.所以. 又平面，平面，所以平面， 又平面，，平面， 所以平面平面. 【例4.4.】 如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）设为棱上的一点，问：当在什么位置时，平面平面？ 【详解】（1）在四棱柱中，连接，如图， 因，分别是，的中点，则有，又平面，平面， 所以平面； （2）是中点，使得平面平面，理由如下： 取CD的中点G，连接EG，FG，而是的中点，于是得， 而平面，平面， 从而得平面，由(1)知平面，，且平面， 因此有平面平面， 所以当是的中点时，平面平面. 题型5：面面平行性质定理的应用 方法提炼 (1) 利用面面平行的性质定理证明两直线平行的一般步骤： 第一步：找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条； 第二步：判定这两个平面平行； 第三步：找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； 第四步：由定理得出结论. (2) 利用面面平行的性质证明线面平行的常用方法： 1　 利用面面平行的性质. 2　 利用线面平行的判定定理. 【例5.1.】 如图①，在直角梯形中，，，，为的中点，、、分别为、、的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②.求证：在四棱锥中，平面. 【详解】证明：在四棱锥中，、分别为、的中点，则， 平面，平面，平面， 在图①中，，且， 为的中点，则且，所以，四边形为平行四边形， 所以，， 因为、分别为、的中点，所以，，则， 平面，平面，平面， ，、平面，所以，平面平面， 平面，因此，平面. 【例5.2.】 四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则    【答案】 【详解】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，由是正方形，得， 在线段PE取点G，使得，由，得， 连接BG，FG，则，由平面，平面， 得平面，而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面，平面平面，则， 所以. 故答案为：    【例5.3.】 如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面，求证：为的中点． 【详解】（1）证明：如图， ，分别为，的中点， ， 平面，平面， 平面， 又，分别为，的中点， ， 又，四边形为平行四边形，则， 平面，平面， 平面， 又，平面， 平面平面； （2）证明：平面平面，平面平面， 平面与平面有公共点，则有经过的直线，交于G， 则，得， 为的中点， 为的中点． 知识点四：三种平行关系的转化 一般地，证明线面平行可以转化为证明线线平行；证明面面平行可以转化为证明线面平行；证明线线平行可以利用线面平行或面面平行的性质定理来实现. 题型6：平行关系的相互转化和综合应用 【例6.1.】 b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，现给出下面六个命题： ①，，则；②若，，则； ③，，则；④若，，则； ⑤若，，则；⑥若，，则. 其中真命题的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】，，为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面， ①，，则，满足直线与直线平行的传递性，所以①正确； ②，，则，可能平行，可能相交，也可能异面，所以②不正确； ③，，则，可能平行，也可能相交，所以③不正确； ④，，则，满足平面与平面平行的性质，所以④正确； ⑤，，则或，所以⑤不正确； ⑥，，则或，所以⑥不正确； 故选：C. 【例6.2.】 如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点.    (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由. 【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面，平面， 平面平面，所以； （2）如下图，取为中点，连接，由E是PD的中点， 所以且，由（1）知，又， 所以且，所以四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，则平面.    （3）取中点N，连接，， 因为E，N分别为，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 线段存在点N，使得平面，理由如下： 由（2）知：平面，又，平面，平面， 所以平面平面，又M是上的动点，平面， 所以平面，所以线段存在点N，使得平面. 【例6.3.】 如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，P为棱的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱上． (1)求证：//平面； (2)求证：平面//平面； (3)求多面体的体积． 【解析】（1）证明：由题意得平面平面， 又平面平面 ， 平面平面，， 同理，又且，且， 且，四边形为平行四边形，,, 又平面，平面， 平面. （2）证明：由（1）知，，为中点，为中点， 同理为中点， 连接,，，， 四边形为平行四边形，，又平面， 且平面，平面，又平面. 且，平面， 平面平面. （3）由正方体特性可知：， 所求多面体， 而几何体可以看成两三棱锥相减， 将延长至点，使，根据相似知识可知，, 得到几何体体积为三棱锥体积减去三棱锥体积， ， . 【例6.4.】 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点． (1)求证：平面； (2)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由； (3)若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长． 【详解】（1）取线段的中点，连接， 因为分别为线段的中点， 所以，且， 又，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）当为线段中点时，平面， 证明：取线段中点，连接 因为分别为线段的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 又面， 则面面，又面， 所以面， 所以当为线段中点时，平面； （3）取线段的中点，连接， 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段， 所以， 所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面， 则，，， 在中，，， 所以， 则， 所以截面周长为. 【例6.5.】 已知正方体的棱长为3，点满足．若在正方形内有一动点满足平面，则动点的轨迹长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，在棱上分别取点，使得，，连接， 因为，， 所以，， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，， 所以，，， 因为，， 所以，≌，≌， 所以 所以，四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以，平面， 因为，平面， 所以平面平面， 因为平面平面, 所以，在正方形内有一动点满足平面时，点的轨迹为线段， 因为 所以，动点的轨迹长为 故选：C 【例6.6.】 如图，平行六面体的所有棱长均为2，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内. (1)若中点为，求的面积； (2)若平面，求线段长度的最小值. 【详解】（1）连接、、， ， ，同理， 是正方形对角线AC中点， ，且， ， 即，则， . （2）取中点，连接，，， 易得，故四边形是平行四边形， ，又 平面 平面， 平面，同理， 平面 平面， 平面 ，且都在面内， 故平面平面， 则点必在上，且当时，长度最小， ， 由等面积法得：，解得， 故的最小长度为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$