精品解析：广西南宁市第三中学2024-2025学年高一下学期数学月考试卷（一）

南宁三中2024~2025学年度下学期高一月考（一） 数学试题 命题人：林玲 孙威 审题人：蓝日更 黄盛 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集和交集的含义即可得到答案. 【详解】或，则. 故选：B. 2. 设向量.若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得：， 故选：A 3. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式可得，再利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】 . 故选：A. 4. 已知平面向量，满足：，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出的坐标，再根据投影向量的公式计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，两式相减可得， 所以， 所以在方向上的投影向量为， 故选：A. 5. 雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数表示斜边长，根据三角形内角和以及平行线性质可得角的度数，在结合正弦定理，可得答案. 【详解】在中，；在中，； 由图可知，易知， 在中，，根据正弦定理可得：， 则. 故选：C. 6. 在中，，，，，为线段上的点且，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合平面向量的线性运算，利用数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，，又， 则， 又，，， 所以 . 故选：A 7. 已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值范围，再与值域对比求实数的取值范围. 【详解】当时，在上单调递减， 此时； 当时，． ①若，则在上单调递增，此时， 又函数的值域，不合题意； ②若，则，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域，则， 解得．综上所述：． 故选：C. 8. 在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意，得到点的轨迹，然后利用向量计算即可. 【详解】因为 得，即 所以点在的角平分线上，设的中点为 因为，所以点在线段上， 不妨设， 所以 易知 所以 因为 所以 因为 所以 故选：B 【点睛】关键点点睛：表示了两个向量的角平分线. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下面结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则有最小值 C. 若，则 D. 若，则有最大值1 【答案】ABD 【解析】 【分析】由不等式的基本性质与基本不等式逐项求解判断即可. 【详解】对于A，，则，即，故A正确； 对于B，，则 ， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，，由，取，满足条件， 则，故C不正确； 对于D，，则， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ABD. 10. 在中，若，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的值是 B. 的外接圆半径是 C. 的面积是 D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由，即可得到，，利用正弦定理及三角形面积公式判断ABCD选项. 【分析】因为为的平分线，，所以， 因为，则，则， 因为， 由正弦定理得， 所以， ，故AC正确； 若，， 由正弦定理可知，的外接圆直径为， 所以的外接圆半径，故B错误； 若，由正弦定理得，， 因为与互补，所以， 可得，故D正确. 故选：ACD. 11. 对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量满足与的夹角，且和都在集合中．给出以下命题，其中一定正确的是（ ） A. 若时，则 B. 若时，则 C. 若时，则的取值个数最多为7 D. 若时，则的取值个数最多为 【答案】AC 【解析】 【分析】由新定义可知，再对每个命题进行判断，即可得出结论. 【详解】对A，若时，， 两式相乘得，又， ，即， ，即，故A正确； 对B，若时，则，同理， 相乘得到，又， 所以，即， 则取值时符合，此时，故B错误； 对C，若时，则， 同理，相乘得，又， ，， 又，得， ， ， ， 的取值个数最多为7个，故C正确； 对D，若时，由上面推导方法可知， ，，， 的取值个数最多为，故D错误. 故选：AC. 【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】直接代入计算即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理和图形关系得到，然后解不等式即可. 【详解】在中，，，若有两解，必须满足的条件为：，即， 故答案为： 14. 已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________；最小值是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】构建直角坐标系且，令，则，利用向量线性关系的坐标表示得到，结合三角恒等变换及三角函数的性质求的最大值，应用数量积的坐标表示及三角恒等变换及三角函数的性质求的最小值. 【详解】由题设，构建如下图示的直角坐标系，且， 若，则， ，，， 由，得， 即，，解得， 故， 所以，当时，， 所以时，取得最小值是. 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：根据题设构建合适坐标系，应用坐标法及三角恒等变换、三角函数的性质求对应表达式的最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，，且，的夹角为. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角. 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的垂直的数量积表示即可求解； （2）利用向量的数量积运算律和夹角公式求解. 【小问1详解】 因为，所以， 即， 也即， 所以，解得. 【小问2详解】 ， ， 所以， 所以 16. 已知的三个内角所对边为，若，. （1）求的值； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和二倍角正弦公式可求得，由二倍角余弦公式可求得结果； （2）利用余弦定理可构造方程求得，进而得到，结合三角形面积公式可求得结果. 【小问1详解】 由正弦定理得：，即， ，则. 【小问2详解】 ，， 由余弦定理得：， 又，，解得：或（舍）， ，. 17. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）将的图象向右平移个单位，得到的图象，已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，然后解不等式，可求得函数的单调递增区间； （2）利用图象平移求出函数的解析式，由得出，然后利用两角和的余弦公式可求出的值. 【详解】（1）， 解不等式，得. 因此，函数的单调递增区间为； （2）由题意可得， ，， ，，则， 因此，. 【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解，同时也考查了利用图象变换求函数解析式以及利用两角和的余弦公式求值，考查计算能力，属于中等题. 18. 在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C的值； （2）若，求周长的最大值； （3）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角形面积公式化角为边后，再运用余弦定理即可求得； （2）根据余弦定理化简后，利用基本不等式即可求得的最大值，即得周长最大值； （3）利用三角形面积相等得到，根据正弦定理，将边分别用角表示，利用三角恒等变换将三角形面积表示成，求得的取值范围，利用正弦函数的值域即可求得面积的取值范围. 【小问1详解】 由和正弦定理，三角形面积公式可得，， 因，故得，， 由余弦定理，，因，则； 【小问2详解】 由余弦定理，，即， 整理得，，当且仅当时等号成立，即， 于是，，即当时，周长的最大值为； 【小问3详解】 由可得， 由正弦定理，，即得，，, 则 , 由为锐角三角形可得，，解得，， 则，由正弦函数的图象知，，故得， 即面积的取值范围为. 【点睛】思路点睛：对于三角形的周长最大值，可考虑余弦定理和基本不等式相结合解决；对于三角形面积的范围，一般考虑利用正、余弦定理将面积化成与正弦型函数相关的解析式，利用三角函数的值域求解. 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数s的最大值． 【答案】（1）不是“依赖函数”，理由如下： 对于函数的定义域内存在，则无解， 故不是“依赖函数”. （2） （3）最大值为. 【解析】 【分析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可； （2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据的范围即可求出的取值范围； （3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在上递增，故，即，， 由，故，得， 从而在上单调递增，故. 【小问3详解】 ①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去； ②若，故在上单调递减， 从而，解得(舍)或， 从而存在.使得对任意的，有不等式都成立， 即恒成立， 由，得. 由，可得， 又在单调递减，故当时，， 从而，解得， 综上，故实数的最大值为. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法： ① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ② 数形结合( 图象在 上方即可)； ③ 讨论最值或恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁三中2024~2025学年度下学期高一月考（一） 数学试题 命题人：林玲 孙威 审题人：蓝日更 黄盛 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设向量.若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，满足：，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，，为线段上的点且，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 7. 已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下面结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则有最小值 C. 若，则 D. 若，则有最大值1 10. 在中，若，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的值是 B. 的外接圆半径是 C. 的面积是 D. 11. 对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量满足与的夹角，且和都在集合中．给出以下命题，其中一定正确的是（ ） A. 若时，则 B. 若时，则 C. 若时，则的取值个数最多为7 D. 若时，则的取值个数最多为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______. 13. 在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为_________. 14. 已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________；最小值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，，且，的夹角为. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角. 16. 已知的三个内角所对边为，若，. （1）求的值； （2）若，求的面积. 17. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）将的图象向右平移个单位，得到的图象，已知，，求的值． 18. 在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C的值； （2）若，求周长的最大值； （3）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数s的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $