精品解析：广东省佛山市禅城区2025届高三统一调研测试（二）数学试题

禅城区2025届高三统一调研测试（二） 数学 2025年3月 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生要务必填涂答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面，和直线，，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知的内角的对边分别为，在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，，曲线和恰有一个交点，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某次跳水比赛的计分规则如下：共有7个裁判打分，去掉一个最高分与一个最低分后，取剩余5个分数的平均值，比较前、后两组数据的数字特征，则（ ） A. 中位数不变 B. 极差不变 C. 平均数大小关系不确定 D. 方差变小 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 直线是曲线的一条切线 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，如图所示．已知点是上一点，则（ ） A. B. C. 当时，的最大值为 D. 曲线在轴左侧所围成的区域面积大于2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 准线方程为的抛物线的标准方程为__________. 13. 已知的内角的对边分别为，面积为，若，则______． 14. 某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开号箱子的概率为______，在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为圆锥底面圆周上异于的一点，为上一点，且平面． （1）求的值； （2）设，二面角的正切值为，求直线与平面所成角的大小． 16. 已知函数，其中． （1）讨论函数的单调性； （2）已知，若对任意的恒成立，求的最小值． 17. 对于数列，若，使得，都有成立，则称为“三和定值数列”．已知为“三和定值数列”，且，，． （1）求，，； （2）已知为数列的前项和，求． 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与椭圆交于两点，记以为直径的圆的面积分别为，当为何值时，为定值． （3）在（2）的条件下，设不过椭圆中心和顶点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值． 19. 某药厂为获得新研发药品的治愈率，委托某公司进行调查，首轮抽取个患者进行试验，每个患者是否治愈相互独立． （1）假设，回答以下问题： （ⅰ）若，求患者痊愈比例为到的概率． （ⅱ）该公司第二轮再抽取个患者进行试验．为简化运算过程，拟用计算两轮试验治愈总人数为的概率，是否合理？若合理，请证明；若不合理，请说明理由． （2）在重伯努利试验中，随机变量，随着试验次数增加，其概率计算较为复杂，此时，根据中心极限定理，近似服从正态分布，故常用以下公式简化概率计算：，其中，随机变量．若用该公司首轮试验的治愈频率来估计治愈率，为保证有把握，使得与之间误差不超过0.01，则至少应抽取多少个患者？ 参考数据：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 禅城区2025届高三统一调研测试（二） 数学 2025年3月 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生要务必填涂答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】∵， ∴复数所对应的点为， ∴复数在复平面内对应的点位于第二象限. 2. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据集合的运算即可得到答案. 【详解】 在阴影部分区域内任取一个元素，则或， 故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确. 故选：A. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦二倍角公式和同角的三角函数关系计算即可. 【详解】. 故选：A 4. 已知平面，和直线，，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】参考正方体，分别记平面、平面为平面，， 则直线为直线，直线为， 因，但不垂直于平面，则“”得不到“”； 若，，则由线面垂直的定义可得， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选择：C 5. 已知的内角的对边分别为，在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合投影向量的定义可得，角为钝角，从而可判断A，C；作出图象，无法确定角的大小，从而判断B；在和中，利用勾股定理表示，即可得到的关系，从而判断D. 【详解】过作，交直线于点，则在方向上的投影向量. 结合已知得，所以方向相反，所以，故A错误； 在方向上的投影向量为，如图所示： 由，所以，无法确定角的大小，故B错误； 因为，角为钝角，所以，故C错误； 在中，， 在中，， 所以，所以，故D正确. 故选：D. 6. 设函数，，曲线和恰有一个交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得到，构造函数，利用的单调性、奇偶性及的性质，结合条件，即可求解. 【详解】由，得到，当时，得到，不满足题意， 则，由，得到， 令，则，易知时，，时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增，则， 又的定义域为，且，即的偶函数，其图象如图， 又易知为偶函数，若，则， 此时，与的交点个数为个或交点成对出现，不合题意， 所以，且，解得， 故选：B. 7. 如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数图象的性质结合函数图象求解即可. 【详解】如图，因为的周期为，所以， ， 所以折成直二面角时，， 解得，所以， 所以，， 因为，所以或， 又因为函数在轴右侧附近单调递减，所以． 故选：D. 8. 已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交双曲线于点，连接，由已知条件得到四边形为矩形，再由双曲线的定义和勾股定理求出的关系，即可求解. 【详解】 如图所示，连接，延长交双曲线于点，连接， 因为，且以为直径的圆恰好过点， 所以由对称性可知点也在圆上，且四边形为矩形. 设，则，，， 因为点都在双曲线右支上，所以由双曲线的定义可知， ，， 所以，， 所以在直角，中，由勾股定理可得， ，解得， 所以双曲线的离心率. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题有两个关键点： 关键一：由双曲线的定义得到，， 关键二：在直角，中，由勾股定理列出方程组. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某次跳水比赛的计分规则如下：共有7个裁判打分，去掉一个最高分与一个最低分后，取剩余5个分数的平均值，比较前、后两组数据的数字特征，则（ ） A. 中位数不变 B. 极差不变 C. 平均数大小关系不确定 D. 方差变小 【答案】AC 【解析】 【分析】 结合中位数、极差、平均数、方差的定义即可判断. 【详解】 对于A，去掉一个最高分与一个最低分后，中间的一个数不变，所以中位数不变，故A正确； 对于B，去掉一个最高分与一个最低分后，极差可能变小，也可能不变，故B错误； 对于C，去掉一个最高分与一个最低分后，平均数可能变大，也可能变小，也可能不变，比如数据1、9、9、9、9、9、10，前后前、后两组数据平均数变大；比如数据1、2、2、2、2、2、10，前后前、后两组数据平均数变小；故C正确； 对于D，如果数据都相同，去掉一个最高分与一个最低分后，方差不变. 故选：AC. 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 直线是曲线的一条切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】由对称中心，对称轴的概念判断AB，求导，确定导数的正负，可判断C，由导数的几何意义可判断D； 【详解】由，可得， 所以，所以的图象关于点对称，A正确； 由，可得：， 显然不恒成立，B错误； ， ， 因为，则， 此时，所以， 所以在上单调递减，C正确； 令，解得其中一个解为， ，此时切线方程为：， 即，D正确； 故选：ACD 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，如图所示．已知点是上一点，则（ ） A. B. C. 当时，的最大值为 D. 曲线在轴左侧所围成的区域面积大于2 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由已知方程解得， 由，解不等式从而判定A；利用不等式的基本性质分析，可以判定B正确；对于C，设，利用导数研究单调性求得最大值，进而得到当时，的最大值，然后比较可以判定；对于选项D，利用多边形面积比较得到曲线在 y 轴左侧围成的“闭合瓣”面积大于2,可以判定D. 【详解】将方程，整理为，从而可解得. 讨论自变量 的取值要使 为实数且，需. 结合  并对分母、分子作符号分析，可得可行解域为. 故 A 正确； 由可见，当给定 时，实数满足. 为判断成立，只需验证足成立， 当时两边都是0，显然成立； 当时平方并利用化简得，这显然成立. 故 B正确； 当  时求的最大值，必然在区间之间存在最大值. 设， ， 令，得， 时，单调递增；时，单调递减. ， 因此，函数  的最大值为， 这实际上是 y² 的最大值，故最大 y 应为， 而选项 C 把最大 y 直接写成 （未开平方）显然有误，故C错误； 对于选项D  首先，我们分析曲线的对称性. 曲线方程为：， 注意到方程中 的幂次均为偶数，因此曲线关于  轴对称. 接下来，我们找到曲线与  轴的交点。 令 ，代入方程解得，因此曲线与 轴的交点为 。 在  轴左侧，我们取以下几个关键点： ，代入方程解得，得. 取，代入方程求得，得 和  取，代入方程求得，得 和 . 如图连接各线段，由题图可知多边形在曲线内部，面积小于曲线左侧部分的面积. 计算这个四边形的面积： 所以曲线在轴左侧所围成的区域面积大于2， 故选项 D 正确. 故选：ABD. 【点睛】分析法判定不等式成立是常用的思想方法；利用多边形估计比较曲边形的面积也是常用方法，要有这样的意识,掌握这种思想方法. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 准线方程为的抛物线的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据准线方程确定抛物线开口方向并求出值，进而求其标准方程 【详解】已知抛物线的准线方程为， 得该抛物线开口向右，且，得， 故抛物线的方程为：. 故答案为： 13. 已知的内角的对边分别为，面积为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式及正弦定理化边为角，计算即可得解. 【详解】由，得， 又因为，所以， 由正弦定理得， 由，则， 解得或， 因为，所以. 故答案为：. 14. 某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开号箱子的概率为______，在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，根据条件求出，，，，利用全概率公式，即可求解；再利用贝叶斯公式，即可求解. 【详解】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子， 由题知，，， 又， 所以， 又， 故答案为：. 【点晴】关键点点睛：本题考查条件概率的求解、决策类问题，解题关键是能够根据奖品所在箱子号码，确定主持人可打开的箱子数，再由全概率公式及贝叶斯公式进行求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为圆锥底面圆周上异于的一点，为上一点，且平面． （1）求的值； （2）设，二面角的正切值为，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质定理可得； （2）取的中点，连接，先找到二面角的平面角，再利用正切值证明是等腰直角三角形，然后建立如图所示空间直角坐系，求出平面的法向量，再代入空间线面角公式求解. 【小问1详解】 因为平面，平面平面， 所以由线面平行的性质定理可得， 又是圆锥底面的圆心，为底面直径，所以为的中点， 所以. 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为，所以， 又均为圆半径，的中点，所以， 所以为二面角的平面角， 又面，所以， 所以即是等腰直角三角形，即， 所以两两垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成的角为， 则，即直线与平面所成的角为. 16. 已知函数，其中． （1）讨论函数的单调性； （2）已知，若对任意的恒成立，求的最小值． 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求导之后分和讨论得到单调性即可； （2）由条件得到时函数极小值，令极小值大于零，得到关于的不等式，再构造函数，求导分析单调性得到最值即可. 【小问1详解】 ， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，令， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可得时，当时，函数取得极小值，又，若对任意的恒成立，不符合题意， 所以当，，即， 即，即， 代入， 设，则， 令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以的最小值为. 17. 对于数列，若，使得，都有成立，则称为“三和定值数列”．已知为“三和定值数列”，且，，． （1）求，，； （2）已知为数列的前项和，求． 【答案】（1），，； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，依次代入，即可求解； （2）设，由题意可得，从而得，再根据数列的通项公式求出，即可得答案. 【小问1详解】 解：因为，，， 所以， 所以，解得； 又，解得； 又，解得； 所以，，； 【小问2详解】 解：因为， 设，则有， 所以，则， 又因为， 所以， 即， 又， ， ， ， ， 所以， 所以， 所以 . 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与椭圆交于两点，记以为直径的圆的面积分别为，当为何值时，为定值． （3）在（2）的条件下，设不过椭圆中心和顶点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值． 【答案】（1） （2）时，为定值 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，得，进而解出即可求解； （2）设直线l的方程为，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出，进而求解即可； （3）结合（2）求得，，，表示出的周长，再结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线l的方程为，，， 联立，消去y整理得， 则， 且，， 又，， 则 ， 则，即时，此时为定值. 【小问3详解】 由（2）知，，，直线l的方程为， 且，，，， 则，， 则直线的方程为， 令，得 ， 即，则，，， 则周长为， 当且仅当，即时等号成立， 则周长的最小值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 某药厂为获得新研发药品的治愈率，委托某公司进行调查，首轮抽取个患者进行试验，每个患者是否治愈相互独立． （1）假设，回答以下问题： （ⅰ）若，求患者痊愈比例为到的概率． （ⅱ）该公司第二轮再抽取个患者进行试验．为简化运算过程，拟用计算两轮试验治愈总人数为的概率，是否合理？若合理，请证明；若不合理，请说明理由． （2）在重伯努利试验中，随机变量，随着试验次数增加，其概率计算较为复杂，此时，根据中心极限定理，近似服从正态分布，故常用以下公式简化概率计算：，其中，随机变量．若用该公司首轮试验的治愈频率来估计治愈率，为保证有把握，使得与之间误差不超过0.01，则至少应抽取多少个患者？ 参考数据：． 【答案】（1）（ⅰ） （ⅱ）合理，理由： 首轮抽取个患者，每个患者治愈概率为，且相互独立， 设首轮治愈人数为，则服从二项分布， 即， 第二轮再抽取个患者，治愈概率仍为，且独立于首轮试验， 设次轮治愈人数为，则服从二项分布， 即， 总治愈人数，其中和独立， 由于两轮试验的均为且独立， 总治愈人数服从， 因此：； （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）判断治愈人数服从的分布计算即可； （ⅱ）设首轮治愈人数为，判断服从的分布，求出，设第二轮治愈人数为，同理求出，据此即可求解； （2）证明近似服从正态分布，求出，，求出临界值即可求解. 【小问1详解】 （ⅰ）治愈人数服从二项分布， 需要计算，即：， 因为， 所以； （ⅱ）略 【小问2详解】 根据中心极限定理，当较大时， 近似服从正态分布， ， ， ， 因为，所以临界值， 所以，因为在时取得最大值0.25， 所以代入此最坏情况以保证结果保守， 所以，所以至少需要抽取6400名患者以满足要求. 【点睛】关键点点睛：本题（2）关键在于对中心极限定理的理解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $