精品解析：江苏省南通市2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2024~2025学年（下）高一3月份质量监测 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 以下说法正确的是（ ） A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B. 零向量没有方向 C. 共线向量又叫平行向量 D. 若和都是单位向量，则 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量基本概念逐一判断即可. 【详解】只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A错误， 零向量是没有方向的向量，B错误； 共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C正确； 若，都是单位向量，两向量的方向不定，D错误； 故选：C. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量加减运算法则及运算律计算可得. 【详解】. 故选：B 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式，结合诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可. 【详解】 ， 故选：C. 4. 若向量和向量垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直得到方程，求出x＝1，进而求出，利用模长公式进行求解即可. 【详解】由，得，解得x＝1； ∴， ∴． 故选：A． 5. 在平行四边形中，为一条对角线，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平行四边形中，由，，利用减法得到，然后利用加法求. 【详解】在平行四边形中， ，， 所以， 所以. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6. 是顶角为的等腰三角形，BC是底边，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理可得，结合向量数量积运算即可求解. 【详解】由题意知， ， 所以， . 故选：. 7. 已知向量，若∥，则的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，且∥，由平面向量共线的坐标表示结合商数关系求解. 【详解】因为，且∥， 所以， 即， 所以. 故选：D 【点睛】本题主要考查平面向量共线的坐标表示以及同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8. 如图在梯形中，，，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题中，由向量的线性运算，直接求解，即可得出结果. 【详解】因为，， 所以， 又，， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于基础题型. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. B. 向量的夹角为 C. D. 在上的投影向量是 【答案】BD 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示计算即可求出判断A；由向量夹角余弦公式结合向量夹角范围即可求解判断B；由向量模长公式即可计算求解判断C；由投影向量公式计算即可求解判断D. 【详解】对于A，因为， 所以， 所以，故A错误； 对于B，由A可得， 又，故，即向量的夹角为.故B正确； 对于C，，所以，故C错误； 对于D，在上的投影向量是，故D正确. 故选：BD. 10. 下列四个选项中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】结合两角差公式逐项判断即可. 【详解】，A错误； 因， 所以，B正确； 因为，， ，C正确； ，D错误； 故选：BC. 11. 已知函数,则下列命题正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间是； B. 函数的图象关于点对称； C. 函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是； D. 若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则． 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据辅助角公式把函数的关系变形为正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质应用即可判断各选项. 【详解】由，得. 对于A，当时，， 当即时，函数单调递增， 所以函数单调递增区间为，故A正确； 对于B，当时，，故B不正确； 对于C，函数的图象向左平移个单位长度后，得到 所得的图象关于y轴对称， 所以,解得， 当时，m的最小值是，故C正确； 对于D，如图所示， 实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，， 则必有，或，此时，另一解为. 所以，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为锐角，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将变形为再用正弦两角差的公式求解. 【详解】因为为锐角，由，得， ． 故答案为：. 13. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为___________． 【答案】且. 【解析】 【分析】根据已知可得，且不共线，求解即可. 【详解】由得，，. 由已知得，，所以，即，且不共线. 则，. 又不共线，则. 所以，的取值范围为且. 故答案为：且. 14. 已知平行四边形ABCD中，，，，P是BC边上的动点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】以B为坐标原点，BC所在直线为轴建立平面直角坐标系，写出坐标，利用向量数量积的坐标运算转化为函数，再求函数的值域解即可. 【详解】以B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，如图， 则，，，， 因为点P在边AB上，所以设点P的坐标为， ， 则当时，，即的取值范围为， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设，是不平行的向量，且，． （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若，用，的线性组合表示． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量共线的定理计算可得； （2）由向量的线性运算和共线定理计算可得； 【小问1详解】 因为向量与共线，所以设， 即， 所以， 【小问2详解】 设， 又因为， 由向量基本定理，得，解得 所以． 16. （1）已知，且，求的值； （2）已知，且及，求的值. 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】（1）根据同角关系以及余弦的和差角公式求解， （2）根据同角关系以及正弦的和角公式即可求解. 【详解】（1）由，可得， 由，可得，则， ， （2）由，可得， 由，则， ， 由于，故 17. （1）已知，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦的和差角公式的展开式，联立可得即可根据弦切互化求解， （2）根据平方和公式，结合余弦和角公式即可求解. 【详解】（1）由可得故 故， （2）由可得，故， 即，解得 18. 如图，在中，，，AD与BC相交于点M.设，. （1）试用基底表示向量； （2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由D，M，A三点共线，设，由C，M，B三点共线，可设，列出方程组，即可求解的值，得到结论； （2）由E，M，F共线，设，由（1）可求得，化简即可求解. 【小问1详解】 因为C，M，B三点共线，D，M，A三点共线，所以设，， 则，， 所以，解得，所以； 【小问2详解】 因为E，M，F三点共线，所以设， 则，由（1）知， 所以，所以. 19. 在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． （1）当时，求的值； （2）求向量的夹角； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据向量的线性运算表示出和；再根据向量的数量积运算律即可求解. （2）先根据向量的线性运算表示出；再根据向量的数量积运算得出即可解答. （3）先根据表示出；再根据向量的数量积运算得出；最后根据即可求解. 【小问1详解】 当时， 依题意知，，，. 则， . 因， ， . 所以. 因此. 因为， ，， 所以，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知. 因为，， 所以； . 则. 因为，， ， 所以， 故向量的夹角为. 【小问3详解】 由（2）可知： ， 则. 因为，， ， 所以 , 由题意知，， 所以的取值范围是， ∴取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年（下）高一3月份质量监测 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 以下说法正确是（ ） A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B. 零向量没有方向 C 共线向量又叫平行向量 D. 若和都是单位向量，则 2. （ ） A. B. C. D. 3 （ ） A. B. C. D. 4. 若向量和向量垂直，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形中，为一条对角线，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 是顶角为的等腰三角形，BC是底边，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，若∥，则的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 8. 如图在梯形中，，，设，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 已知向量，则（ ） A. B. 向量的夹角为 C. D. 在上的投影向量是 10. 下列四个选项中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数,则下列命题正确是（ ） A. 函数的单调递增区间是； B. 函数的图象关于点对称； C. 函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是； D. 若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为锐角，若，则______． 13. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为___________． 14. 已知平行四边形ABCD中，，，，P是BC边上的动点，则的取值范围为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设，是不平行的向量，且，． （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若，用，的线性组合表示． 16. （1）已知，且，求的值； （2）已知，且及，求的值. 17. （1）已知，求的值； （2）若，求的值. 18. 如图，在中，，，AD与BC相交于点M.设，. （1）试用基底表示向量； （2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，若，，求的值. 19. 在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． （1）当时，求的值； （2）求向量的夹角； （3）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $