2025年九年级中考数学复习 几何模型研究大讲堂 专题九 ”A字“模型

函学科网 初中数学几何模型研究大讲堂 专题九：A字模型 PART 1- 模型认知 已知 图示 结论（性质） 如图所示，延长A ∠A+18O°=∠CBD+∠BCE AC分别至点D、E,连接 ∠ABC+∠ACB=∠D+∠E DE. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 三角形外角等于它不相邻 考法1 “A字”模利用模型求角度 常在选择题或填空题中考的两个内角之和、三角形内 角和为180 型的相关角度计算 PART 2 模型思路。 这是一种不太常考的模型，但较容易出现于期中期末考试，实际难度很简单往 往是利用模型求角度，在一些多个角的求和时能使用，活用结论即可. 常见辅助线作法：延长构造“A字”模型.（如第9、10题） PART 3 模型解析. 预备层—一抽离模型练 1.(原创)如图所示，延长AB、AC分别至点D、E,连接DE不一定成立的结论 是() A.∠A+I80°=∠CBD+∠BCE B.∠ABC+∠ACB=∠D+∠E C.BC<AD +AE D DE<AB+AC 函学科网 3 4>B B E 第1题图 第2题图 第3题图 2. (2024·内蒙古通辽校级期中)如图，△ABC的内角∠A为50°，截去∠A后 得到一个四边形，则∠1+∠2= 3.(2023·山东德州校级月考)如图，已知角∠A=40°，求 ∠1+∠2+∠3+∠4的度数， A层— 基础模型练 4. (2024·重庆万州期末)如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落 在四边形BCED的外部时，测量得∠1=70°，∠2=140°，则∠A的度数为 (). A.25 B.30 C.35 D.40 5.(2023·内蒙古巴彦淖尔校级月考)如下图，将一个等边三角形剪去一个角 后得到一个四边形，则图中∠a+∠B的度数是 6.(原创)如图，在等腰三角形ABC中，剪去∠A,已知∠1+∠2=220°，则∠B B 第4题图 第5题图 第6题图 7.(2024·江苏南通期末)如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 B层—一进阶模型练 函学科网 8.(2023·重庆大渡口二模)如图，在四边形ABCD中，∠D=60°，若沿图中 虚线剪去∠D,则∠1+∠2= 【思路点拨】A字模型第一个结论只和∠D的度数相关， B 2 D 第8题图 第9题图 第10题图 9.(2024·重庆潼南期中)如图，点E、F分别在AB、CD上，∠B=40°， ∠C=55°，则∠1+∠2等于 10.(原创)如图，∠A=50°，∠EBD=150·,若∠C+∠F=170°，则∠BEF= 11.(原创)如图，在凹四边形ABCF中，剪去△AEF,若∠A=40°，则 LBEF+∠CFE=O D C层一压轴模型练 12.(原创)【类比学习】小渝在学习三角形的过程中，利用折叠和裁剪解决了 一些问题：如图一，在△ABC纸片中剪去△AED,若∠A为50°，求 ∠BDE+∠CED的度数 :∠BDE、∠CED是△AED的外角. ∴.∠BDE+∠CED=∠A+∠ADE+∠A+∠AED=180°+∠A ∴.∠BDE+∠CED=230 学科网 图1 图2 图3 图4 【基础练习】(1)如图2，在凸四边形ABCF中剪去△AED,若∠A为50°，求 ∠BDE+∠CED的度数 【巩固提升】(2)如图3，在凹四边形ABCF中剪去△AED,若∠A为50°，求 ∠BDE+∠CED的度数 【思维拓展】(3)如图4，如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在 四边形BCED的外部时，测得∠BGE=130°，∠CEG=120°，求∠F的度数 12.(2024·广西南宁校级月考节选)【问题呈现】小明在学习了三角形有关 内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，∠1与∠2分别为 △ABC的两个外角，求证：∠1+∠2=180°+∠A. A 图① 图② (1)以下是小明给出的部分推理过程，请你帮他完成证明. 【推理证明】：∠1与∠2分别为△ABC的两个外角， ,∠1=∠A+∠4，∠2=∠A+∠3， ∴∠1+∠2=… 【应用】利用(1)中所证明的结论解决下列问题： (2)如图②，在△ABC纸片中剪去△AED,得到四边形BCDE,若 ∠1=130°，∠2=100°，请直接写出∠A的度数，不需要说明理由. 13.(原创)我们把图一的图形称作“A字”模型，在“A字”模型中有一些简 单的模型结论。 函学科网 B 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠A+180°=∠CBD+∠BCE (2)如图2，若∠A为55°，求∠BDE+∠CED的度数 (3)如图3，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数 14.(2024·吉林长春期末节选)【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角 与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，∠1与∠2分别为 △ABC的两个外角，则∠1+∠2=180°+∠A. 【推理证明】：∠1与∠2分别为△ABC的两个外角， ∴.∠1=∠A+ ，∠2=∠A+ .∠1+∠2= ∠3+∠4+∠A=180°， ∠1+∠2=180°+∠A. 【初步应用】(1)如图②，在△ABC纸片中剪去△AED,得到四边形BCDE, 若∠1=130°，则∠2-∠A的大小为 度 D/ 图① 图② 15.(2024甘肃兰州期末改编)小红在数学课上学习了角的相关知识后，立即对 角产生了浓厚的兴趣.她查阅书籍发现两个有趣的概念，三角形中相邻两条边 的夹角叫做三角形的内角；三角形一条边的延长线与其邻边的夹角，叫做三角 形的外角，小红还了解到三角形的内角和180°，同时她很容易地证明了三角形 外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，于是，爱 思考的小红在想，三角形的内角是否也具有类似的性质呢？三角形的一个内 角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？小红利用类比思 想开始了探究. 函学科网 A B 图1 图2 图3 尝试探究： 如图1，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠1+∠2之间存 在怎样的数量关系？为什么？ 解：数量关系：∠1+∠2=180°+∠A. 理由：：∠1与∠2分别为△ABC的两个外角， ∠1=180°-∠3，∠2=180°-∠4. ∠1+∠2=360°-（∠3+∠4）. :三角形的内角和为180°， ∠3+∠4=180°-∠A. .∠1+∠2=360°-(180°-∠A)=180°+∠A. 小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下 面的问题. (1)初步应用： 如图2，在△ABC纸片中剪去△CED,得到四边形ABDE,∠1=130°，则 ∠2-∠C= (2)拓展提升：如图3，若∠A+∠B=230°，则∠DCE+∠CDF的度数是？ PART 4 模型变式， 变式层一一回顾模型练 【变式1】(2023·天津校级期中)如图，∠1+∠2+∠3+∠4(). A.360 B.180° C.280° D.320° B <40° 2 【变式1】题图 【变式2】题图【变式3】题图【变式4】题图 【变式2】(2024安徽芜湖期中)如图，在△ABC中，沿虚线剪去∠C,若 ∠1+∠2=240°，则∠C的度数为 【变式3】（原创）如图，若∠D+∠E=140°，则∠ABC+∠ACB= 可学科网 【变式4】（原创）如图，∠A=60°，则下列说法正确的有：①.△ADE是等边 【变式5】(2024四川广安期中)如图，∠A=35°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度 数为 C 3 E 4B D 初中数学几何模型研究大讲堂 专题九：A字模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 如图所示，延长AB、AC分别至点D、E，连接DE. ∠A+180°=∠CBD+∠BCE ∠ABC+∠ACB=∠D+∠E 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 “A字”模型的相关角度计算 利用模型求角度 常在选择题或填空题中考查 三角形外角等于它不相邻的两个内角之和、三角形内角和为180° PART 2——模型思路. 这是一种不太常考的模型，但较容易出现于期中期末考试，实际难度很简单.往往是利用模型求角度，在一些多个角的求和时能使用，活用结论即可. 常见辅助线作法：延长构造“A字”模型.（如第9、10题） PART 5——模型解析. 预备层——抽离模型练 1.（原创）如图所示，延长分别至点，连接.不一定成立的结论是（       ）. A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据“A字”模型来找结论即可，注意此题考查了三角形的三边关系. 【详解】∵、是的外角. ∴有，， 即A、B正确. ∵. ∴. ∴C正确. ∵且. ∴D不一定成立. 故选：D. 第1题图 第2题图 第3题图 2. （2024·内蒙古通辽校级期中）如图，的内角为，截去后得到一个四边形，则_______ ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和，掌握知识点是解题关键．根据四边形内角和为，得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形内角和为， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3. （2023·山东德州校级月考）如图，已知角，求 的度数． 【答案】 【分析】 本 题 考 查 了 三 角 形 内 角 和 定 理 的 运 用 ， 熟 练 掌 握 三 角 形 内 角 和 为 度 是 解 题 的 关 键 ， 根 据 三 角 形 的 内 角 和 定 理 分 别求 得 ， 就 可 求 得 最 后 结 果. 【详解】解：∵， ∴， ∴, 故答案为：. A层——基础模型练  4. （2024·重庆万州期末）如图，将三角形 纸片  沿  折叠 ，当点A落在四边形 的外部时，测量得 ， ，则 的度数为（       ）. A.25° B.30° C.35° D.40° 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，关键是运用多边形的内角和定理求出的度数 .利用四边形的内角和定理求出,再利用三角形的内角和定理可得结果. 【详解】 ∵， . ∴ ∴ 故 选 ：B. 5. （2023·内蒙古巴彦淖尔校级月考）如下图，将一个等边三角形剪去一个角后得到一个四边形，则图中 的度数是___________． 【答案】 【分析】根据等边三角形，可得三角形两个底角都为，再根据四边形的内角和为，即可解出此题 . 【详解】解：∵这是一个等边三角形， ∴ 两 底 角 和, ∴ ， 故答案为： . 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，四边形内角和定理，熟知相关概念是解题的关键 . 6.（原创）如图，在等腰三角形中，剪去，已知，则=____°. 【答案】 【分析】本题考查了外角的性质与等腰三角形的性质，利用求得，进而求得即可. 【详解】解：∵. ∴. ∵这是一个等腰三角形， ∴. 故填：. 第4题图 第5题图 第6题图 7.（2024·江苏南通期末）如图，的度数为 ________ ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据三角形内角和180°进行列式，化简即可作答. 【详解】解：如图： ∵，，. ∴. ∵. ∴. 故答案为：. B层——进阶模型练 8.（2023·重庆大渡口二模）如图，在四边形 中， ，若沿图中虚线剪去 ，则 _________． 【思路点拨】A字模型第一个结论只和的度数相关. 【答案】 【分析】根据多边形的内角和公式,是多边形的边数，即可求解. 【详解】解：四边形的内角和为, 即， ， ∴， ∵剪去 后变成五边形， ∴五边形的内角和为，即 , ∴. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查多边形内角和定理，掌握多边形内角定理的运用是解题的关键. 第8题图 第9题图 第10题图 9.（2024·重庆潼南期中）如图，点E、F分别在 、 上， ， ，则 等于______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，解答的关键是熟记三角形的内角和为，延长, 交于点,根据三角形内角和定理得到，然后进一步利用三角形内角和定理求解即可. 【详解】解：如图所示，延长, 交于点. ∵ ，  ∴. ∴ 故答案为：. 10.（原创）如图，，，若，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和性质，延长交于点，利用四边形求得角的度数. 【详解】解：如图，延长交于点： ∵. ∴. ∵. ∴. ∵. ∴. ∴. 故填： 11.（原创）如图，在凹四边形中，剪去，若，则_____°. 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的相关知识，熟练运用是解题的关键. 【详解】解：∵、是的外角. ∴. ∵. ∴. 故填：. C层——压轴模型练 12. （原创）【类比学习】 小渝在学习三角形的过程中，利用折叠和裁剪解决了一些问题：如图一，在 纸片中剪去，若为，求的度数. ∵、是的外角. ∴. ∴. 图1 图2 图3 图4 【基础练习】（1）如图2，在凸四边形中剪去，若为，求的度数. 【巩固提升】（2）如图3，在凹四边形中剪去，若为，求的度数. 【思维拓展】（3）如图4，如图，将三角形纸片  沿  折叠 ，当点A落在四边形 的外部时，测得，，求的度数. 【答案】【基础练习】【巩固提升】【思维拓展】 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，三角形内角和定理，翻折的性质理解相关知识是解答关键． 【详解】解：【基础练习】∵、是的外角. ∴. ∴. 【巩固提升】∵、是的外角. ∴. ∴. 【思维拓展】∵，. ∴. ∵三角形纸片  沿  折叠. ∴. 12.（2024·广西南宁校级月考节选）【问题呈现】 小明 在学习 了 三角形 有关 内角 与 外 角的 相关知识 后 遇到 这样 一个 问题 ： 如图 ①， 与  分别为  的 两个 外角 ，求证： ． （1） 以下是 小明 给出的部分推理过程， 请你帮他完成证明. 【推理证明】∵ 与  分别为  的 两个 外角 ， ∴ ， ， ∴ ⋯⋯ 【应用】利用（1）中所 证明 的结论解决下列问题 ： （2） 如图 ②，在 纸 片中剪去 ，得到四边形  ，若 ， ，请直接写出 的度数，不需要说明理由. 【答案】【推理证明】见解析；【初步应用】（1） 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，三角形内角和定理，理解相关知识是解答关键． 【推理证明】由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证； 【应用】（1）由进行变形为即可求解； 【详解】证明：【推理证明】∵与分别为的两个外角， ∴，， ∴． ∵，（三角形内角和定理） ∴． 解：【应用】（1）∵，， ， ∴， 故答案为：. 13. （原创）我们把图一的图形称作“A字”模型，在“A字”模型中有一些简单的模型结论. （1）如图1，求证：. （2）如图2，若为，求的度数. （3）如图3，求的度数. 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，三角形内角和定理，理解相关知识是解答关键． 【详解】证：（1）∵、是的外角. ∴. 解：（2）∵、是的外角. ∴. ∴. （3）如图： ∵，，. ∴. ∵. ∴. 故答案为：. 14.（2024·吉林长春期末节选）【 问题呈现 】 小明 在学习 了 三角形 有关 内角 与 外 角的 相关知识 后 遇到 这样 一个 问题 ： 如图 ①， 与  分别为  的 两个 外角 ，则 ． 【 推理 证明 】∵ 与  分别为  的 两个 外角 ， ∴ ______， ______， ∴ ______． ∵ ，（______） ∴ ． 【初步应用】（1）如图 ②，在 纸片中剪去 ，得到四边形 ，若 ，则 的大小为______度． 【答案】【推理证明】见解析；【初步应用】（1） 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，三角形内角和定理，理解相关知识是解答关键． 【推理证明】由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证； 【初步应用】（1）由进行变形为即可求解； 【详解】证明：【推理证明】∵与分别为的两个外角， ∴，， ∴． ∵，（三角形内角和定理） ∴． 故答案为：； 解：（1）∵， ∴， 故答案为：； 15.（2024·甘肃兰州期末改编）小红在数学课上学习了角的相关知识 后 ，立即对角产生了浓厚的兴趣．她查阅书籍发现 两个 有趣的概念， 三角形 中相邻两条边的夹角叫做三角形的 内角 ； 三角形 一条边的延长线与其邻边的夹角，叫做三角形的 外角 ．小红还了解到三角形的内角和 ，同时她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的 一个 外角 等于与它不相邻的 两个内角的和．于是，爱思考的小红在想，三角形的 内角 是否也具有类似的性质呢？三角形的 一个 内角 与它不相邻的 两个 外 角的 和之间存在怎样的数量关系呢？小红利用类比思想开始了探究． 尝试探究： 如图 1 ， 与  分别为  的 两个 外角 ，试探究 与 之间存在怎样的数量关系？为什么？ 解：数量关系： ． 理由：∵ 与  分别为  的 两个 外角 ， ∴ ． ∴ ． ∵三角形的内角和为 ， ∴ ． ∴ ． 小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的 问题 ． ( 1 )初步应用： 如图 2，在 纸片中剪去 ，得到四边形 ， ，则 =______； （2）拓展提升：如图3，若，则的度数是？ 【答案】【初步应用】【拓展提升】 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角和定理. (1)根据题意利用外角和定理即可得到本题答案； 【详解】(1)解：由题意得：在 纸片中剪去 ， ∵ ∴， 故答案为：. （2） ∵且四边形内角和为360°. ∴. ∴. 故答案为：. PART 4——模型变式. 变式层——回顾模型练 【变式1】（2023·天津校级期中）如图， (        ). A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，灵活运用三角形的内角和定理是解题的关键，利用三角形的内角和为，两个三角形的内角和就为,如图， 的和相当于两个三角形的内角和减去,即. 【详解】解：∵，, ∴. 故选：C. 【变式1】题图 【变式2】 题图 【变式3】 题图 【变式4】 题图 【变式2】（2024·安徽芜湖期中）如图，在 中，沿虚线剪去，若 ，则 的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角与内角，根据外角得到，再结合三角形内角和计算即可. 【详解】解 ： 如 图 ， ∴，，. ∵ ， ∴， ∴， ∴， 故 答 案 为 ：. 【变式3】（原创）如图，若，则_____°. 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角与内角，把视作一个整体，利用同角的补角求得另一个整体. 【详解】解 ：. ∴. ∴. 【变式4】（原创）如图，，则下列说法正确的有：____.①.是等边三角形 ②. ③. ④.. 【答案】②③ 【分析】本题考查三角形的外角与内角，仔细分析题目所给条件即可. 【详解】解 ：∵不是等腰三角形. ∴不是等边三角形. 故①错误. ∵. ∴. ∴. 故②③正确. ∵不一定等于. 故④不成立. 故填：②③ 【变式5】（2024·四川广安期中）如图， ，则 的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解决问题的关键。先根据三角形内角和定理分别求出,,进而可得答案. 【详解】解：在中，， ∴. 在中，， ∴， ∴， 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$