精品解析：江苏省南通市区部分高中2024-2025学年高二下学期3月份质量检测数学试卷

2024-2025学年（下）高二3月份质量检测数学 一、单选题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算可得； 【详解】解：因为，，所以； 故选：A 2. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ） A. 140种 B. 120种 C. 35种 D. 34种 【答案】D 【解析】 【分析】先求选出4人参会，总选法共有种，再计算全是男生的选法，做差即可得结果. 【详解】由题意得：选出4人参会，总的选法共有种， 选出4人均为男生的选法有种， 则4人中既有男生又有女生的选法共有种， 故选：D. 【点睛】本题考查组合的应用，正难则反，巧妙运用间接法是解题的关键，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题. 3. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项为 B. 各项的系数和为64 C. 第3项的二项式系数最大 D. 奇数项二项式系数和为 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，由二项式展开式，通过赋值即可得解；对于B，直接赋值即可得解；对于C，由二项式系数的性质即可判断；对于D，由奇数项、偶数项二项式系数的性质即可判断. 【详解】对于A，的展开式通项为， 当时，常数项为，选项A正确； 对于B，令，得各项的系数和为，选项B错误； 对于C，展开式共7项，二项式系数最大应为第4项，故选项C错误； 对于D，依题意奇数项二项式系数和，选项D错误. 故选：A. 4. 棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ） A. 1 B. －1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求解即可． 【详解】，所以． 故选：A． 5. 甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，甲和乙相邻的情况有：所有排列为：, 甲和乙相邻，丙和丁也相邻的情况有：, 所以在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为， 故选：C 6. 在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球，第一次从中随机摸出一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机摸出一个球，则此次摸出的是黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助全概率公式计算即可得. 【详解】设事件为第一次从中随机摸出一个球的颜色为白色， 事件为第二次再从中随机摸出一个球是黄球， 则 . 故选：B. 7. 已知，若，则（ ） A. B. C. 15 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法可求的值，再利用二项式展开式的通项公式即可得解. 【详解】令，可得，解得， ， 展开式中的系数为. 故选：A. 8. 设二项式（）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为，，则 A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由于二项式（ ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为， ， 则， ，所以， 故选:C． 考点：二项式定理的应用；数列的求和． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 被7除后的余数为5 B. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 C. 已知，则 D. 从一批含有10件正品、4件次品产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A利用二项式定理展开即可判断，对于B两位男生和两位女生随机排成一列共有种排法，利用插空法求两位女生不相邻排法有即可求概率，对于C根据排列数和组合数公式即可求解，对于D先求从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件的取法，再求取得2件次品的取法即可求概率. 【详解】对于A：由于，所以， 所以，即被7除后余数为2，故A错误； 对于B：两位男生和两位女生随机排成一列共有种排法，两位女生不相邻的排法有，则两位女生不相邻的概率为，故B正确； 对于C：由可得，解得，故C正确； 对于D：从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，共有种取法，取得2件次品共有，则取得2件次品的概率为，故D错误. 故选：BC. 10. 已知，.若随机事件A，B相互独立，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件概率公式和独立事件乘法公式即可判断ABC，再根据即可判断D. 【详解】对B，，B正确； 对A，，，A错误； 对C，，，C正确； 对D， ，D正确. 故选：BCD. 11. 正方体的棱长为2，为的中点，则（ ） A. B. 与所成角余弦值为 C. 面与面所成角正弦值为 D. 与面的距离为 【答案】AD 【解析】 【分析】本题建立空间直角坐标系，利用空间向量可解决线线垂直、异面直线所成的角的相关问题、二面角的相关问题，以及解决空间一点到面的距离问题. 【详解】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系 正方体的棱长为2，易求、、、、、、、、. 选项A：因为，，所以 所以，故A正确. 选项B：因为，，所以，设异面直线和所成的角为，则：，故B不正确. 选项C：易求平面的法向量. 设平面的法向量为，易求,， 由，令，则. 设平面与平面所成角为，则, ，即，故选项C不正确. 选项D：因为平面的法向量为，， 设到平面的距离为，向量与法向量的夹角为， 则：,故选项D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 在的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于________． 【答案】252 【解析】 【分析】 根据展开式中所有二项式系数的和等于，求得．在展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项． 【详解】∵在的二项式中，所有的二项式系数之和为256， ∴，解得， ∴中，， ∴当，即时，常数项为． 故答案为：252． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题． 13. 已知展开式中所有奇数项的二项式系数和为64，现将展开式中的各项重新排列，则有理项互不相邻的概率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质求出，再求出展开式的有理项项数，利用不相邻的排列问题求解即得. 【详解】依题意，，解得，因此二项式的展开式共8项， 展开式的通项为， 当时，是有理项，则展开式的有理项共 4项， 所以将展开式中的各项重新排列，其中有理项互不相邻的概率. 故答案为： 14. 某单位4男3女参加乡村振兴工作，这7人将被派驻到A，B，C 3个乡村进行乡村振兴工作(每个乡村至少派驻1人)．若只考虑3个乡村的名额分配，则有________种不同的名额分配方式；若每个乡村至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A乡村，则有_______种不同的派驻方式．(用数字填写答案) 【答案】 ①. 15； ②. 72. 【解析】 【分析】在7个名额中间的6个空位中插入2个隔板即可得空一；先将3女分到3个乡村，再将4男分成3组，将有甲的一组分到A乡村，然后再分配剩余2组即可得空二. 【详解】第一空，隔板法，将7个名额排成一排，在除去两端的6个空位中选择2个空位插入隔板， 共有种分配方式； 第二空，先将3女分配到3个乡村，有种， 再将4男分成3组，有种，将有男性甲的一组分配到A乡村有1种， 然后将剩余两组分配到其他两个乡村，有种分法， 所以共有种分配方式. 故答案为：15；72. 四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤． 15. 6位同学报名参加2022年杭州里运会4个不同的项目（记为A，B，C，D）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目． （1）6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种? （2）若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法和插空法即可求解； （2）将6为同学分成4组，计算每一类的情况即可. 【小问1详解】 根据题意，第一步：把甲乙看成整体和除丙丁外的两位同学排列有种排法， 第二步：再把丙丁插空排列有种排法， 所以共有种排法； 【小问2详解】 先将6为同学分成4组，按人数分有和种分法： 第一类：按分法有种分法； 第二类：按分法有种分法； 所以共有：种分法. 所以一共有种不同报名方式. 16. 已知在的展开式中满足，且常数项为，求： （1）二项式系数最大的项 （2）系数绝对值最大的是第几项 （3）从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法． 【答案】（1） （2）8 （3）135 【解析】 【分析】（1）写出二项展开式的通项并令的指数为0，利用常数项为即可求得，进而可求解； （2）由系数绝对值最大的项等价于系数最大的项，结合不等式求解即可； （3）由通项可知展开式中有理项共有6项，无理项有5项，再利用分类分步计数原理即可求得结果. 【小问1详解】 根据展开式的通项可得 令，解得 即时，常数项， 解得 所以二项式系数最大的项 【小问2详解】 系数绝对值最大的项等价于系数最大的项； 设第项系数最大， 则 即，又， 所以， 即第8项系数最大，也即展开式中第8项系数绝对值最大. 【小问3详解】 令，，解得， 即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项； 所以从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项的取法共有种； 17. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有4个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球． （1）求第一次取出的球为红球的概率； （2）求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）合理设出事件，利用全概率公式进行求解；（2）结合第一问的求解，设出事件，用全概率公式和条件概率公式进行求解. 【小问1详解】 设第一次取出的球为红球为事件A，取到甲袋、乙袋、丙袋为事件，，，则，由全概率公式可得： 小问2详解】 设第二次取出的球是白球为事件，由全概率公式可得： ， 所以 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，，面ABCD，E、F分别为PA、AB的中点，直线AC与DF相交于O点． （1）证明：平面DEF； （2）求直线PC与平面DEF所成角的正弦值； （3）求二面角A-EO-D的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，计算得出与平面的法向量垂直，再由线在面外，得线面平行； （2）求出直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦值后可得所求线面角的正弦值； （3）用二面角两个面的法向量的夹角求解二面角． 【小问1详解】 解：以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，，， 设平面DEF的法向量为，，， ∵，，∴， 取； 又， ∴， ∴，面DEF，所以平面DEF. 【小问2详解】 ∵，∴，设直线PC与平面DEF所成角为，则 . 【小问3详解】 ，，， ，，所以面AEO的法向量为， 面DEO的法向量为，∴； 设二面角A-EO-D所成角为，由图所示，为锐角，则. 19. 已知. （1）当时，求的展开式中含项的系数； （2）证明：的展开式中含项的系数为； （3）定义：，化简：. 【答案】（1）84；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）当时根据二项展开式分别求出每个二项式中的含项的系数之和即可； (2)根据二项展开式求出含项的系数，结合题意和即可得出结论； (3)根据组合数的性质可得和 ，两式左右边分别同时加并两式相加，结合二项式系数和即可得出结论. 【详解】（1）当时，， 的展开式中含项的系数为. （2），， 故的展开式中含项的系数为 因为， 所以项的系数为： . （3）① ② 在①､②添加，则得 ③ ④ ③+④得： 【点睛】在解决二项式开展式有关证明的问题时，要充分利用组合数的性质、，要熟练二项式系数之和、指定项的系数的求法，要清楚二项式系数和项的系数的区别，在运算过程中应提高计算能力和逻辑推理能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年（下）高二3月份质量检测数学 一、单选题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同选法共有（ ） A. 140种 B. 120种 C. 35种 D. 34种 3. 在二项式展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项为 B. 各项的系数和为64 C. 第3项的二项式系数最大 D. 奇数项二项式系数和为 4. 棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ） A. 1 B. －1 C. D. 5. 甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球，第一次从中随机摸出一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机摸出一个球，则此次摸出的是黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若，则（ ） A B. C. 15 D. 35 8. 设二项式（）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为，，则 A. B. C. D. 1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 被7除后的余数为5 B. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 C. 已知，则 D. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 10. 已知，.若随机事件A，B相互独立，则（　　） A. B. C. D. 11. 正方体的棱长为2，为的中点，则（ ） A. B. 与所成角余弦值为 C. 面与面所成角正弦值为 D. 与面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 在的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于________． 13. 已知展开式中所有奇数项的二项式系数和为64，现将展开式中的各项重新排列，则有理项互不相邻的概率为_______. 14. 某单位4男3女参加乡村振兴工作，这7人将被派驻到A，B，C 3个乡村进行乡村振兴工作(每个乡村至少派驻1人)．若只考虑3个乡村的名额分配，则有________种不同的名额分配方式；若每个乡村至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A乡村，则有_______种不同的派驻方式．(用数字填写答案) 四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤． 15. 6位同学报名参加2022年杭州里运会4个不同的项目（记为A，B，C，D）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目． （1）6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种? （2）若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式? 16. 已知在的展开式中满足，且常数项为，求： （1）二项式系数最大的项 （2）系数绝对值最大的是第几项 （3）从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法． 17 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有4个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球． （1）求第一次取出的球为红球的概率； （2）求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率． 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，，面ABCD，E、F分别为PA、AB的中点，直线AC与DF相交于O点． （1）证明：平面DEF； （2）求直线PC与平面DEF所成角的正弦值； （3）求二面角A-EO-D的余弦值. 19. 已知. （1）当时，求展开式中含项的系数； （2）证明：的展开式中含项的系数为； （3）定义：，化简：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $