排列组合常考11题型归纳讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【排列组合十一种常考题型】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：相邻问题捆绑法】 知识讲解 1. 明确问题：首先确定题目中要求哪些元素必须相邻。 2. 捆绑元素：将相邻的元素看作一个整体，即把这些相邻元素“捆绑”在一起，这样就将原来的多个元素组合成了一个新的“大元素”。 3. 内部排序：对捆绑在一起的元素进行内部排列，计算出它们之间的排列方式。 4. 整体排列：将捆绑后的“大元素”与其他剩余元素一起进行全排列，计算出所有元素的排列方式。 5. 计算结果：根据分步乘法计数原理，将捆绑元素的内部排列数与整体排列数相乘，得到最终的排列组合数，即满足相邻条件的所有排列方式。 例题精选 1．（24-25高二上·吉林长春·期末）两男两女站成一排照相，女生相邻的所有排列种数为（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 2．（24-25高二上·江西南昌·期末）现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广西梧州·期末）北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为（    ） A．2880 B．1440 C．720 D．576 相似练习 1．（24-25高二上·吉林长春·期末）两男两女站成一排照相，女生相邻的所有排列种数为（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 2．（24-25高二上·江西南昌·期末）现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广西梧州·期末）北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为（    ） A．2880 B．1440 C．720 D．576 【题型二：不相邻问题插空法】 知识讲解 1. 先排其他元素：先将没有不相邻限制的元素进行排列，确定这些元素的排列顺序和位置，形成若干个空位。 2. 计算空位数量：观察排好的元素之间以及两端形成的空位数量。 3. 插入不相邻元素：将要求不相邻的元素插入到这些空位中。计算插入的方法数，即从这些空位中选择相应数量的空位来安排不相邻元素的排列方式。 4. 计算结果：根据分步乘法计数原理，将第一步中其他元素的排列数与第二步中插入不相邻元素的方法数相乘，得到满足不相邻条件的所有排列方式。 例题精选 1．（24-25高二·全国·课堂例题）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 2．（24-25高二上·江西南昌·期末）小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 二、填空题 3．（24-25高二下·全国·课后作业）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 ，2位老师相邻的排法种数为 ． 相似练习 4．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队.其中将五人排成一行形成甲队，要求与相邻，在的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为 . 5．（2024·四川德阳·模拟预测）某中学艺术节第二章节目中有个节目已排，现在要紧急插入个节目，并要求这个节目不相邻，并且原来的个节目顺序不变，则排列的种数为 6．（24-25高三下·河北·开学考试）把除颜色外完全相同的5个红球和4个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为 用数字作答 【题型三：特殊元素或特殊位置】 知识讲解 1. 确定特殊元素或特殊位置：仔细分析题目条件，找出具有特殊限制或要求的元素或位置。例如，某些元素必须排在特定位置，或者某些位置只能由特定元素占据等。 2. 优先处理特殊元素或特殊位置： 对于特殊元素，先将其安排到满足条件的位置上。如果有多个特殊元素，按照其特殊要求依次进行排列。 对于特殊位置，先从符合要求的元素中选取合适的元素填充该位置。 3. 处理剩余元素和位置：在安排好特殊元素或特殊位置后，再对剩余的普通元素和位置进行常规的排列组合计算。此时可根据具体情况，使用排列数公式或组合数公式来计算排列或组合方式的数量。 4. 计算结果：根据分步乘法计数原理，将特殊元素或特殊位置的排列组合方式与剩余元素和位置的排列组合方式相乘，得到最终的结果。 例题精选 1．（2025·山东聊城·模拟预测）某多功能体育场馆决定承包举办马术，击剑，游泳，跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有（    ） A．16种 B．12种 C．8种 D．6种 2．（24-25高二上·福建龙岩·期末）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法共有（   ） A．75种 B．144种 C．288种 D．360种 3．（24-25高二上·重庆北碚·期末）某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（   ）种. A．18 B．24 C．27 D．64 4．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）现将包含球的5个不同的小球放入包含甲盒的四个不同的盒子里，每盒至少一球.其中小球不放入甲盒中，则不同安排方案的种数是（    ） A．180 B．168 C．120 D．90 相似练习 5．（24-25高二上·江西吉安·期末）春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从四部影片中选一部去观看．已知每部影片都有人选，且小明没有选影片，则所有不同的选法种数为（   ） A．72 B．96 C．180 D．288 6．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）某景区新开通了，，3个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁4名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择1个项目进行体验，每个项目至少有1名志愿者进行体验，且丁不体验项目，则不同的体验方法共有（   ） A．12种 B．18种 C．24种 D．30种 二、填空题 7．（22-23高二下·山东·阶段练习）某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有 种不同的选法.（用数字作答） 8．（24-25高三下·青海海东·阶段练习）现有高中数学人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册教材各1本．若把这5本教材从左到右放置书架的某一层内（该层无其他书籍），要求选择性必修第三册不放最左端，必修第一册不放最右端，选择性必修第一册、选择性必修第二册不相邻，则这5本教材放置顺序共有 种． 【题型四：正难则反间接法】 知识讲解 1. 分析问题：仔细审题，确定问题中需要计算的排列组合情况。判断从正面直接计算是否复杂，如果直接计算需要考虑多种情况，分类讨论较为繁琐，或者难以直接找到计算方法，就可以考虑使用正难则反的方法。 2. 确定反面情况：明确问题的反面情况是什么。例如，要求计算“至少有一个满足条件”的情况，那么反面就是“一个都不满足条件”的情况；求“甲、乙两人不都在”的情况，反面就是“甲、乙两人都在”的情况。 3. 计算反面情况的数量：根据排列组合的基本原理和公式，计算出反面情况的排列组合数。这一步需要根据具体问题，运用合适的方法进行计算，可能会用到前面提到的捆绑法、插空法、特殊元素或特殊位置法等。 4. 计算总的情况数：确定整个问题的所有可能情况的数量，即总的排列组合数。同样需要根据具体问题，选择合适的方法进行计算。 5. 求出正面情况的数量：用总的情况数减去反面情况的数量，就得到了正面情况的数量，即所求问题的答案。 例题精选 1．（24-25高三上·山东日照·期末）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（24-25高二上·辽宁·期末）某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（    ） A．14种 B．16种 C．18种 D．20种 3．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）某中学高二年级入学进行了一场为期一周的军训，在军训过程中，教官根据班级表现从各个维度进行评分，最终评出“先进集体”“作风优良班级”“纪律优良班级”“素质优良班级”四个奖项．已知总共有三个班级获奖，其中有两个班级均获得了“先进集体”，剩余三个奖项每个奖项均只有一个班级获得，则所有的颁奖方式有（    ） A．57种 B．60种 C．114种 D．120种 相似练习 4．（24-25高二·全国·课堂例题）从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个，则不同的排法共有 种． 5．（24-25高三上·河北邢台·期末）某校开设了门体育类课程和门科技类课程，学生从这门课中最多选修门，且至少选修门体育类课程，则不同的选课方案有 种．（用数字作答） 6．（2025·湖南邵阳·一模）某校高三（5）班班主任准备从2名男生和4名女生中选取3人担任数学、物理、化学学科课代表，每学科安排1人，且至少有1名男生，则不同的选取方法有 （请用数字作答） 【题型五：定序问题倍缩法】 知识讲解 1. 确定定序元素：明确题目中哪些元素是有固定顺序要求的。例如，在一些问题中可能会出现甲必须在乙之前、某几个元素要按特定顺序排列等条件，这些元素就是定序元素。 2. 计算总排列数：先不考虑元素的定序要求，将所有元素进行全排列，计算出总的排列数。假设共有个元素，那么总排列数为。 3. 计算定序元素的排列数：对定序元素进行内部排列，计算出它们在定序情况下的排列数。假设定序元素有个，那么定序元素的排列数为。 4. 求出符合定序要求的排列数：由于定序元素的顺序是固定的，所以在总排列数中，定序元素的每一种排列都被重复计算了。因此，需要用总排列数除以定序元素的排列数，得到符合定序要求的排列数，即。 例题精选 1．（24-25高二下·全国·单元测试）小明参加“江南六地游”旅行，其中，，三地游览的先后顺序一定（游，，三地的顺序可以相邻也可以不相邻），则小明“江南六地游”旅行的不同的出游方法有（   ） A．120种 B．180种 C．240种 D．480种 2．（24-25高二上·江西上饶·期末）是自然对数函数的底数，被称为自然常数或者欧拉数．最初由雅各布·伯努利在研究复利时发现，后由莱昂哈德·欧拉证明其为无理数，大约为．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到一个六位数密码，那么小明可以设置（   ）个不同密码． A．240 B．180 C．120 D．72 3．（24-25高二上·河南驻马店·期末）某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，则不同的出场次序有（    ） A．18种 B．36种 C．60种 D．72种 相似练习 4．（24-25高三上·广东·开学考试）从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（    ） A．480种 B．240种 C．120种 D．60种 二、填空题 5．（江苏省盐城市第一次七校联考2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种. 6．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为 （用数字作答） 【题型六：平均分组问题】 知识讲解 明确分组情况 首先确定是将多少个元素进行分组，以及要分成多少组，每组的元素个数是否相同。例如，是将个元素平均分成组，每组个元素，还是有其他的分组方式。 计算分组方法 不考虑组的顺序：如果是平均分组，且不考虑组与组之间的顺序差异，计算方法是用组合数公式逐步选取元素进行分组。例如，将个不同元素平均分成组，每组个元素，先从个元素中选个作为第一组，有种选法；再从剩下个元素中选个作为第二组，有种选法；最后剩下个元素作为第三组，有种选法。但这样计算会有重复情况，因为这三组的顺序是无意义的，比如与等其实是同一种分组情况，所以需要除以这组的全排列以消除重复。总的分组方法数为。 考虑组的顺序：如果分组后还要对组进行排序，比如将分好的组分配到不同的位置或任务中，那么在不考虑组顺序的分组方法数基础上，再乘以组的全排列数。例如，将上述平均分成的组分配到个不同的项目中，那么方法数就是。 处理特殊情况 如果分组中存在部分组元素个数相同，部分组元素个数不同的情况，要分别考虑。例如，将个元素分成组，一组个元素，一组个元素，一组个元素。先从个元素中选个作为第一组，有种选法；然后从剩下个元素中选个作为第二组，有种选法；剩下个元素作为第三组，有种选法。由于第二组和第三组元素个数相同，存在重复情况，需要除以以消除重复。所以总的分组方法数为。 例题精选 1．（2025高三·全国·专题练习）北京有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从北京烤鸭、炸酱面、糖火烧、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（    ） A．15 B．90 C．270 D．540 二、填空题 2．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为 . 相似练习 3．（24-25高二·全国·课堂例题）有6本不同的书，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，有多少种不同的分法？ 4．（24-25高二下·全国·单元测试）六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？ (1)分为三份，一份四本，一份一本，一份一本； (2)分给甲、乙、丙三人，甲得四本，乙得一本，丙得一本； (3)分给甲、乙、丙三人，一人得四本，另外两个人每个人得一本； (4)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本． 【题型七：部分平均分组问题】 知识讲解 确定分组类型 明确题目中给出的分组要求，判断哪些组是平均分组，哪些组是非平均分组。例如，将$10$个元素分成组，其中两组各个元素，另外两组各个元素，这就是典型的部分平均分组问题，有两组是平均分组（每组个元素的两组和每组个元素的两组），另外两组是非平均分组（这里非平均分组的数量为，但在其他问题中可能存在不同数量的非平均分组）。 计算分组方法 平均分组部分：对于平均分组的部分，按照平均分组的计算方法进行。假设要将个元素平均分成组，每组个元素（），先从个元素中选个作为第一组，有种选法；再从剩下个元素中选个作为第二组，有种选法；以此类推，直到选出第组。但这样计算会有重复情况，因为这组的顺序是无意义的，所以需要除以组的全排列以消除重复。例如前面提到的将$10$个元素分成两组各个元素的情况，计算方法为。对于每组个元素的两组，计算方法为。 非平均分组部分：对于非平均分组的部分，直接用组合数进行选取。例如，如果还有一组个元素的非平均分组，从剩下的元素中选个的方法数就是（这里是在前面已经分完两组各个元素和两组各个元素后，剩下个元素选个形成一组）。 汇总计算：将平均分组部分和非平均分组部分的计算结果相乘，得到总的分组方法数。对于将$10$个元素分成两组各个元素、两组各个元素的例子，总的分组方法数为。 例题精选 1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某高校要在假期安排甲、乙等名大学生到、、三个公司进行社会实践，要求每个公司都要有大学生去，且甲和乙都不能去公司，则不同的安排方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（2025·新疆·二模）新疆维吾尔自治区博物馆推出古代文物精华展，5名志愿者准备到3个展厅参加志愿服务，若每个展厅至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有（   ） A．54种 B．90种 C．150种 D．540种 3．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（   ） A．120 B．300 C．180 D．150 4．（24-25高三上·湖北武汉·期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 相似练习 5．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）有5项不同的任务安排给甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一项且每项任务只安排一人完成，则分配给甲的任务不超过两项的安排方法有（    ） A．260种 B．220种 C．160种 D．130种 二、解答题 6．（24-25高三上·河北·阶段练习）某大学为了鼓励学生积极参与社会实践，组织了一次志愿者活动，共有名学生报名参加（且）.活动中有种不同类型的服务项目可供选择，分别是社区服务、环保宣传和关爱弱势群体，每种项目都需要若干名学生参与. (1)若，且要求每个项目至少有名学生参与，求共有多少种不同的分配方案？ (2)若对于任意的名学生，每个项目至少有名学生参与的分配方案有种，求关于的表达式（用组合数表示），并证明当时，是的单调递增函数. 【题型八：排列组合综合问题：先分类在分步】 知识讲解 1. 分类 确定分类标准：根据题目中的条件和特点，找到一个合适的分类依据。例如，元素的性质、位置的要求、排列或组合的特殊情况等。分类标准要确保各类之间相互独立，且所有情况都能被涵盖。 列举各类情况：按照分类标准，将问题详细地分为不同的类别。每一类都应该是一个相对独立且容易分析的子问题。例如，在排列问题中，可以根据某个特殊元素的位置进行分类；在组合问题中，可以根据元素的选取条件进行分类。 2. 分步 分析每类中的步骤：对于每一类情况，将其进一步分解为若干个步骤。每个步骤都应该有明确的任务和目标，通常是完成一个元素的排列或组合操作。 计算每步的方法数：确定每个步骤的方法数。这需要运用排列组合的基本原理和公式进行计算。例如，在排列步骤中，可能会用到排列数公式；在组合步骤中，可能会用到组合数公式。 计算每类的方法数：根据分步乘法计数原理，将每类中各个步骤的方法数相乘，得到每类情况的总方法数。即如果完成一件事需要个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法……做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。 3. 汇总结果 汇总各类方法数：根据分类加法计数原理，将所有类别的方法数相加，得到整个问题的最终答案。即如果完成一件事有类办法，在第类办法中有种不同的方法，在第类办法中有种不同的方法……在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。 例题精选 1．（2025高三·全国·专题练习）某医院安排1名医生和7名护士某周一至周五去“定点帮扶”医院开展帮扶工作，每天安排2人，其中医生需要去三天，每名护士需要去一天，则不同的安排方法种数为（    ） A．6300 B．12600 C．25200 D．50400 2．（24-25高二下·全国·课后作业）某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．（2025·安徽·模拟预测）现有6名同学到3家不同的养老院参加“关爱孤寡老人”爱心志愿活动，若每家养老院安排2名同学，且每名同学只前往一家养老院，则共有安排方法（   ） A．30种 B．60种 C．90种 D．120种 相似练习 4．（2025·福建厦门·二模）在五一小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有 种. 5．（2025·四川成都·二模）成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有 种. 6．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则不同的安排方法有 种． 【题型九：染色问题】 知识讲解 按颜色的使用情况分类 确定颜色种类：先明确题目中可供使用的颜色数量，以及需要染色的区域或元素数量。 分类讨论：根据使用颜色的数量进行分类。例如，使用种颜色给个区域染色，可能存在某些区域颜色相同的情况，需要分别讨论不同的颜色分配方式。 按区域的相邻关系分步 分析区域关系：确定各个区域之间的相邻关系，明确哪些区域不能染相同颜色。 分步染色：从某个区域开始，依次对相邻区域进行染色。每一步染色都要考虑到已染色区域的颜色限制，以及当前可供选择的颜色数量。例如，先染一个区域，有种颜色可选；再染与它相邻的区域，由于不能与第一个区域同色，所以有种颜色可选，以此类推。 利用排列组合公式计算 计算方法数：在每一类或每一步中，根据排列组合的基本原理计算染色的方法数。如果是对不同元素进行全排列，可使用排列数公式；如果是从个元素中选取个元素的组合，可使用组合数公式。 汇总结果：将各类或各步的方法数根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理进行汇总，得到最终的染色方法总数。 例题精选 1．（24-25高三下·湖南·开学考试）提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．288种 B．296种 C．362种 D．384种 2．（24-25高二上·辽宁·期末）《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（    ） A．48种 B．96种 C．102种 D．120种 3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，无人机光影秀中，有架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出种不同颜色的光，至号的无人机颜色必须相同，、号无人机颜色必须相同，号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这架无人机同时发光时，一共可以有（    ）种灯光组合. A． B． C． D． 相似练习 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）如图，一个区域分为5块，现给每块着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．若有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．    5．（2025·江西新余·模拟预测）如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有 种不同的染色方案. 6．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）在如图方格中，用4种不同颜色做涂色游戏，要求相邻区域颜色不同，每个区域只能涂一种颜色. ①若区域涂2种颜色，区域涂另外2种颜色，则有 种不同涂法. ②若区域涂4种颜色（涂的颜色互不相同），区域也涂这4种颜色（涂的颜色互不相同），则有 种不同涂法. 三、解答题 7．（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）（1）如图1所示，分别给，个区域涂色，现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，要求相邻区域必须涂不同颜色，同一区域只涂一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种？ （2）如图2所示，用红、黄、蓝3种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有多少种？ 【题型十：排数问题】 知识讲解 1. 明确问题类型 首先判断是排列问题还是组合问题。排列问题关注元素的顺序，不同顺序视为不同结果；组合问题则只关心元素的选取，不考虑顺序。例如，从、、中选两个数组成两位数，这是排列问题，因为$12$和$21$是不同的两位数；而从、、中选两个数求和，这是组合问题，因为和结果相同，不考虑顺序。 2. 确定限制条件 仔细分析题目中的限制条件，如数字的取值范围、是否允许重复、特定位置的数字要求等。比如，用、、、组成无重复数字的三位数，这里不能在百位就是一个关键限制条件。 3. 选择解题方法 直接法：根据题目要求直接计算排列或组合数。例如，从个不同数字中选个进行排列，可直接用排列数公式种排法。 间接法：当直接计算比较复杂时，可先计算总的情况数，再减去不符合条件的情况数。比如，计算用到这个数字组成无重复数字且大于$2000$的四位数的个数，可先计算所有四位数的个数，再减去千位是的四位数的个数。 4. 分步或分类计算 分步：如果完成一件事需要多个步骤，那么按照步骤依次计算每一步的方法数，再根据分步乘法计数原理将各步骤的方法数相乘。例如，用、、、组成无重复数字的四位数，可分四步，第一步确定千位数字，有种选法；第二步确定百位数字，有种选法（因为千位已用去一个数字）；第三步确定十位数字，有种选法；第四步确定个位数字，有种选法。所以共有种排法。 分类：当问题可以按照不同情况进行分类时，分别计算每类情况的方法数，然后根据分类加法计数原理将各类方法数相加。例如，用、、、组成无重复数字的偶数，可分两类，一类是个位为，此时有种排法；另一类是个位为，此时千位有种选法（不能选），百位有种选法，十位有种选法，共有种排法。所以一共有种排法。 5. 检查结果 检查计算过程是否正确，是否遗漏了某些情况或重复计算了某些结果。特别是在分类和分步的过程中，要确保每一种情况都被准确考虑，且没有交叉重复。例如，在分类时要保证各类之间相互独立，在分步时要保证每一步的方法数计算准确。 例题精选 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（    ） A．30个 B．36个 C．42个 D．48个 2．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）用0．1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．24个 B．26个 C．30个 D．42个 3．（2024高三·全国·专题练习）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有（   ） A．252个 B．300个 C．324个 D．228个 相似练习 二、多选题 4．（24-25高二·全国·课堂例题）（多选）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2025·河北邯郸·一模）设一个三位数的个位、十位、百位上的数字分别为，，，若，，则称这个三位数为“峰型三位数”，例如251和121都是“峰型三位数”，在由0，1，2，3，4，5中的部分数字组成的三位数中，“峰型三位数”的个数为 . 四、解答题 6．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）（1）用、、、、、可以组成多少个无重复数字的密码箱的四位密码； （2）用、、、、、可以组成多少个无重复数字的比大的四位偶数． 【题型十一：隔板法】 知识讲解 1. 明确问题特征 确定问题是将个相同的元素分成组，每组至少有一个元素。例如，将$10$个相同的苹果分给个小朋友，每个小朋友至少分个苹果，就符合隔板法的问题特征。 2. 构建隔板模型 将个相同元素排成一排，元素之间形成个空位。例如，$10$个苹果排成一排，中间就有个空位。 在这个空位中插入个隔板，将元素分成组。比如要将$10$个苹果分给个小朋友，就需要在个空位中插入个隔板。 3. 计算方法数 根据组合数公式计算插入隔板的方法数，也就是将个相同元素分成组的方法数。例如，$10$个苹果分给个小朋友的分法有种。 4. 特殊情况处理 如果题目要求每组可以没有元素，即允许有空组的情况，需要先进行转化。可以先给每个组都补上个元素，这样就变成了个元素分成组，每组至少有个元素的问题，然后再用隔板法求解。例如，将$10$个相同的苹果分给个小朋友，允许有小朋友分不到苹果，那么先给每个小朋友都补上个苹果，就相当于有$13$个苹果分给个小朋友，每个小朋友至少分个苹果，方法数为种。 5. 检查与验证 检查计算过程是否正确，特别是组合数的计算是否准确。同时，验证结果是否符合题目条件，比如分组的数量和元素的分配情况是否与题目要求一致。 例题精选 1．（24-25高三上·陕西西安·期末）《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有（   ） A．715种 B．572种 C．312种 D．286种 2．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）某学校利用周末时间组织学生进行志愿者服务，高二年级共6个班，其中（1）班有2个志愿者队长，本次志愿者服务一共20个名额，志愿者队长必须参加且不占名额，若每个班至少有3人参加，则共有（   ）种分配方法. A．90 B．60 C．126 D．120 二、填空题 3．（24-25高二上·天津红桥·期末）某学校准备组建一个18人的足球队，这18人由高二年级十个班的学生组成，每个班至少一人，名额分配方案共 种(用数字填写). 相似练习 4．（23-24高二下·全国·课堂例题）四元一次方程的正整数解有 组，非负整数解有 组． 5．（21-22高二下·安徽马鞍山·期中）高二年级将10个优秀团员的名额分配给3个班级，一共有 种分法. 三、解答题 6．（22-23高二下·浙江·期中）（1）求方程的正整数解的个数； （2）求方程的正整数解的个数. 课后针对训练 1．（2024·福建福州·模拟预测）将甲、乙等5名同学分配到3个社区进行志愿服务，要求每人只去一个社区，每个社区不能少于1人，且甲、乙在同一社区，则不同的安排方法数为（    ） A．54 B．45 C．36 D．27 2．（2024·福建泉州·二模）2024年“花开刺桐城”闽南风情系列活动在泉州举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书画笔会，文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有2幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品、1幅不同的摄影作品，将这6幅作品排成两排挂在同一面墙上，第一排挂4幅，第二排挂2幅，则美术作品不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建厦门·三模）某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学.若同学甲去A公司，则不同的安排方法共有（    ） A．18种 B．30种 C．42种 D．60种 4．（2024·湖南邵阳·二模）某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲､乙､丙等六人分别上台发言，其中负责人甲､乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（    ） A．240种 B．120种 C．156种 D．144种 5．（2024·浙江台州·一模）杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（    ） A．288种 B．360种 C．480种 D．504种 6．（2023·福建宁德·模拟预测）近年来喜欢养宠物猫的人越来越多．某猫舍只有5个不同的猫笼﹐金渐层猫3只（猫妈妈和2只小猫嶲）、银渐层猫4只、布偶猫1只．该猫舍计划将3只金渐层猫放在同一个猫笼里，4只银渐层猫每2只放在一个猫笼里，布偶猫单独放在一个猫笼里，则不同的安排有（    ） A．8种 B．30种 C．360种 D．1440种 7．（2023·福建宁德·二模）为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·福建福州·三模）厦门市博物馆由厦门博物馆主馆、郑成功纪念馆、厦门经济特区纪念馆、厦门市文化遗产保护中心、破狱斗争陈列馆、陈化成纪念馆、陈圣元故居七个馆区组成.甲、乙两名同学各自选取一个馆区参观且所选馆区互不相同，若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观方案有（    ） A．22种 B．20种 C．12种 D．10种 二、填空题 9．（2025·福建厦门·二模）在五一小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有 种. 10．（24-25高三上·浙江·阶段练习）甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是 . 11．（24-25高三上·江苏·期末）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，且这三个数之和为偶数，记满足条件的取法种数为；从0，1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数之和为奇数，记满足条件的取法种数为.若从个取法和个取法各随机选一种，这两种取法的数字完全不同的概率是 . 12．（2024·福建·模拟预测）正八面体中，以其顶点为顶点的三棱锥的个数为 （用数字作答）． 13．（2024·福建泉州·模拟预测）9人身高各不相等，排成前后排，前排5人，要求每排从左至右身高逐渐增加，则不同的排法共有 种（用数字作答）． 14．（2024·福建莆田·三模）甲、乙等5人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有 种. 15．（2023·福建厦门·模拟预测）某商场举行抽奖活动，箱子里有10个大小一样的小球，其中红色的5个，黄色的3个，蓝色的2个，现从中任意取出3个，则其中至少含有两种不同颜色的小球的概率为 . 16．（2023·福建厦门·模拟预测）某校表演队的演员中，会演歌唱节目的有6人，会演舞蹈节目的有5人，当中同时能歌能舞的只有2人，现在从中选派4人参加校际演出队，要求至少有2人能演舞蹈节目，那么不同选派方法共有 .（用数字作答） 2024-2025高二下学期重难点题型归纳 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【排列组合十一种常考题型】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：相邻问题捆绑法】 知识讲解 1. 明确问题：首先确定题目中要求哪些元素必须相邻。 2. 捆绑元素：将相邻的元素看作一个整体，即把这些相邻元素“捆绑”在一起，这样就将原来的多个元素组合成了一个新的“大元素”。 3. 内部排序：对捆绑在一起的元素进行内部排列，计算出它们之间的排列方式。 4. 整体排列：将捆绑后的“大元素”与其他剩余元素一起进行全排列，计算出所有元素的排列方式。 5. 计算结果：根据分步乘法计数原理，将捆绑元素的内部排列数与整体排列数相乘，得到最终的排列组合数，即满足相邻条件的所有排列方式。 例题精选 1．（24-25高二上·吉林长春·期末）两男两女站成一排照相，女生相邻的所有排列种数为（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【分析】由捆绑法即可求解； 【详解】解：两男两女站成一排照相，女生相邻， 则可将两个女生捆绑，则有种方法， 再与两个男生进行全排列，有种方法， 则女生相邻的所有排列种数为种． 故选：C 2．（24-25高二上·江西南昌·期末）现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由捆绑法及全排列即可求解； 【详解】将甲、乙两位同学捆绑，再和另外4位同学全排列，即. 故选：B 3．（24-25高二上·广西梧州·期末）北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为（    ） A．2880 B．1440 C．720 D．576 【答案】A 【分析】相邻问题采取“捆绑法”，先将4名女生排在一起，再将4名女生作为一个整体和4名男生排列即可求解. 【详解】先将4名女生排在一起，有种方法，再将4名女生作为一个整体和4名男生排列，有种方法，故4名女生相邻的站法种数为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”； （4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 相似练习 1．（24-25高二上·吉林长春·期末）两男两女站成一排照相，女生相邻的所有排列种数为（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【分析】由捆绑法即可求解； 【详解】解：两男两女站成一排照相，女生相邻， 则可将两个女生捆绑，则有种方法， 再与两个男生进行全排列，有种方法， 则女生相邻的所有排列种数为种． 故选：C 2．（24-25高二上·江西南昌·期末）现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由捆绑法及全排列即可求解； 【详解】将甲、乙两位同学捆绑，再和另外4位同学全排列，即. 故选：B 3．（24-25高二上·广西梧州·期末）北京时间2024年6月2日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，则4名女生相邻的站法种数为（    ） A．2880 B．1440 C．720 D．576 【答案】A 【分析】相邻问题采取“捆绑法”，先将4名女生排在一起，再将4名女生作为一个整体和4名男生排列即可求解. 【详解】先将4名女生排在一起，有种方法，再将4名女生作为一个整体和4名男生排列，有种方法，故4名女生相邻的站法种数为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”； （4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 【题型二：不相邻问题插空法】 知识讲解 1. 先排其他元素：先将没有不相邻限制的元素进行排列，确定这些元素的排列顺序和位置，形成若干个空位。 2. 计算空位数量：观察排好的元素之间以及两端形成的空位数量。 3. 插入不相邻元素：将要求不相邻的元素插入到这些空位中。计算插入的方法数，即从这些空位中选择相应数量的空位来安排不相邻元素的排列方式。 4. 计算结果：根据分步乘法计数原理，将第一步中其他元素的排列数与第二步中插入不相邻元素的方法数相乘，得到满足不相邻条件的所有排列方式。 例题精选 1．（24-25高二·全国·课堂例题）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．24 B．48 C．144 D．240 【答案】C 【分析】由捆绑法结合插空法求解； 【详解】将“立春”和“春分”两块展板看成一个整体，与“雨水”“谷雨”两块展板进行全排列，再将“清明”和“惊蛰”两块展板插空， 所以不同的放置方式种数为． 故选：C 2．（24-25高二上·江西南昌·期末）小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】利用插空法可求得结果. 【详解】先将一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄进行排序， 然后将两颗圣女果插入一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄所形成的空位中， 从个空位中抽取个空位进行排序， 由插空法可知，不同的串法有种. 故选：C. 二、填空题 3．（24-25高二下·全国·课后作业）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 ，2位老师相邻的排法种数为 ． 【答案】 2903040 725760 【分析】第一空，可由插空法求解，第二空可由捆绑法求解； 【详解】（插空法）8名学生的排列方法有种，隔开了9个空位， 在9个空位中排列2位老师，方法数为，由分步乘法计数原理， 2位老师不相邻总的排法种数为， 2位老师相邻的排法种数为． 故答案为：2903040；725760 相似练习 4．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队.其中将五人排成一行形成甲队，要求与相邻，在的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为 . 【答案】1728 【分析】甲队利用捆绑法和除序法计算，乙队利用插空法计算，最后利用分步乘法原理计算即可. 【详解】甲队，先用捆绑法，将与捆绑有种排法，将与看作一个整体，再用除序法得种，利用计数原理可知，一共有种排法; 乙队，利用插空法得种，按照分步乘法计数原理可知，一共有种排法. 故答案为：1728. 5．（2024·四川德阳·模拟预测）某中学艺术节第二章节目中有个节目已排，现在要紧急插入个节目，并要求这个节目不相邻，并且原来的个节目顺序不变，则排列的种数为 【答案】20 【分析】利用插空法求结论即可. 【详解】在个节目中插入个节目，使得所插入的个节目不相邻，原来的个节目顺序不变的方法数为. 故答案为：. 6．（24-25高三下·河北·开学考试）把除颜色外完全相同的5个红球和4个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为 用数字作答 【答案】50 【分析】用分类加法计数原理和“捆绑法”求解即可. 【详解】分两类，第一类：3个红球“捆绑”在一起，另外2个红球也“捆绑”在一起，然后让4个白球排列后形成5个空位，选出2个空位让这两个“捆绑”的红球排列即可，此时有种； 第二类：3个红球“捆绑”在一起，另外2个红球不相邻，此时让4个白球排列后形成5个空位，从中选出1个空位放“捆绑”的红球，再从剩下的4个空位选出3个空位放不相邻的红球即可，此时有，所以共有种. 故答案为：50 【题型三：特殊元素或特殊位置】 知识讲解 1. 确定特殊元素或特殊位置：仔细分析题目条件，找出具有特殊限制或要求的元素或位置。例如，某些元素必须排在特定位置，或者某些位置只能由特定元素占据等。 2. 优先处理特殊元素或特殊位置： 对于特殊元素，先将其安排到满足条件的位置上。如果有多个特殊元素，按照其特殊要求依次进行排列。 对于特殊位置，先从符合要求的元素中选取合适的元素填充该位置。 3. 处理剩余元素和位置：在安排好特殊元素或特殊位置后，再对剩余的普通元素和位置进行常规的排列组合计算。此时可根据具体情况，使用排列数公式或组合数公式来计算排列或组合方式的数量。 4. 计算结果：根据分步乘法计数原理，将特殊元素或特殊位置的排列组合方式与剩余元素和位置的排列组合方式相乘，得到最终的结果。 例题精选 1．（2025·山东聊城·模拟预测）某多功能体育场馆决定承包举办马术，击剑，游泳，跑步四项比赛.应主办方要求，马术比赛和跑步比赛不相邻，游泳比赛不在第一场也不在最后一场，则不同的比赛方式共有（    ） A．16种 B．12种 C．8种 D．6种 【答案】C 【分析】利用不相邻问题插空，特殊元素法间接去求解即可. 【详解】马术比赛和跑步比赛不相邻的情况为：种， 马术比赛和跑步比赛不相邻且游泳比赛在第一或最后一场的情况为：种， 故不同的比赛方式共有种. 故选：C. 2．（24-25高二上·福建龙岩·期末）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法共有（   ） A．75种 B．144种 C．288种 D．360种 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理，先排数学，再排英语，最后排剩余课程，结合组合数运算求解. 【详解】先排数学，有种不同的排法； 再排英语，有种不同的排法； 最后排剩余课程，有种不同的排法； 所以不同的排法共有种. 故选：C. 3．（24-25高二上·重庆北碚·期末）某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（   ）种. A．18 B．24 C．27 D．64 【答案】A 【分析】应用分类分步计数原理及排列组合数求不同的安排方法数. 【详解】若甲被选出，从其它3位同学选2位有种， 将甲安排为记分员或秩序员有种，另2人作全排有种， 所以共有种； 若甲不被选出，只需将选出的3人作全排列有种， 综上，共有种. 故选：A 4．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）现将包含球的5个不同的小球放入包含甲盒的四个不同的盒子里，每盒至少一球.其中小球不放入甲盒中，则不同安排方案的种数是（    ） A．180 B．168 C．120 D．90 【答案】A 【分析】将5个小球首先分成四组，再分别放入四个不同的盒子中去，保证小球不放入甲盒即可. 【详解】首先，将包含球的5个不同的小球分成四组，共有种组合； 然后，将含有球的一组小球放到除去甲盒之外的三个盒子中，共有种； 剩余三组小球再分别放入3个不同的盒子中，共种； 因此不同安排方案的种数是. 故选：A 相似练习 5．（24-25高二上·江西吉安·期末）春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从四部影片中选一部去观看．已知每部影片都有人选，且小明没有选影片，则所有不同的选法种数为（   ） A．72 B．96 C．180 D．288 【答案】C 【分析】先将五人进行分组，再根据题意进行影片选择，由分步乘法计数原理可得结果. 【详解】根据题意先将五人分成四组，共有种， 再将四组人员分别分配去观看四部电影，且有小明的一组人员没有选影片， 共有种， 因此所有不同的选法种数为种. 故选：C 6．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）某景区新开通了，，3个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁4名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择1个项目进行体验，每个项目至少有1名志愿者进行体验，且丁不体验项目，则不同的体验方法共有（   ） A．12种 B．18种 C．24种 D．30种 【答案】C 【分析】根据甲乙丙3人体验的项目各不相同，甲乙丙3人中有2人体验的项目相同，分两种情况讨论即可求解. 【详解】若甲、乙、丙3人体验的项目各不相同，丁体验A、B之一，则有种体验方法； 若甲、乙、丙3人中有2人体验的项目相同，丁体验A、B之一， 则有种体验方法， 故不同的体验方法共有种． 故选：C． 二、填空题 7．（22-23高二下·山东·阶段练习）某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有 种不同的选法.（用数字作答） 【答案】185 【分析】根据分类加法计数原理，这个问题可按只会印刷的四人作为分类标准：第一类：只会印刷的4人全被选出；第二类：从只会印刷的4人中选出3人；第三类：从只会印刷的4人中选出2人，即可得解. 【详解】将只会印刷的4人作为分类标准，将问题分为三类： 第一类：只会印刷的4人全被选出，有种； 第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有种； 第三类：从只会印刷的4人中选出2人，有种. 所以共有（种）. 故答案为：. 8．（24-25高三下·青海海东·阶段练习）现有高中数学人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册教材各1本．若把这5本教材从左到右放置书架的某一层内（该层无其他书籍），要求选择性必修第三册不放最左端，必修第一册不放最右端，选择性必修第一册、选择性必修第二册不相邻，则这5本教材放置顺序共有 种． 【答案】 【分析】利用正难则反的解题思路，根据容斥原理求得不符合题意的情况数，可得答案. 【详解】由题意，设高中数学人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册教材分别为， 五本书随机排列的情况数为； 若放在最左端，则情况数为，若放在最右端，则情况数为， 若相邻，则情况数为， 若放在最左端，且放在最右端，则情况数为， 若放在最左端，且相邻，则情况数为， 若放在最右端，且相邻，则情况数为， 若放在最左端，放在最右端，相邻，则情况数为， 不符合题意的情况数为， 符合题意的情况数为. 故答案为：. 【题型四：正难则反间接法】 知识讲解 1. 分析问题：仔细审题，确定问题中需要计算的排列组合情况。判断从正面直接计算是否复杂，如果直接计算需要考虑多种情况，分类讨论较为繁琐，或者难以直接找到计算方法，就可以考虑使用正难则反的方法。 2. 确定反面情况：明确问题的反面情况是什么。例如，要求计算“至少有一个满足条件”的情况，那么反面就是“一个都不满足条件”的情况；求“甲、乙两人不都在”的情况，反面就是“甲、乙两人都在”的情况。 3. 计算反面情况的数量：根据排列组合的基本原理和公式，计算出反面情况的排列组合数。这一步需要根据具体问题，运用合适的方法进行计算，可能会用到前面提到的捆绑法、插空法、特殊元素或特殊位置法等。 4. 计算总的情况数：确定整个问题的所有可能情况的数量，即总的排列组合数。同样需要根据具体问题，选择合适的方法进行计算。 5. 求出正面情况的数量：用总的情况数减去反面情况的数量，就得到了正面情况的数量，即所求问题的答案。 例题精选 1．（24-25高三上·山东日照·期末）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】利用间接法即可得解. 【详解】从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，不同的选法种数为种， 若甲、乙两人都被选中，则不同的选法种数为种， 因此，甲、乙至多有人被选中的不同选法有种. 故选：C. 2．（24-25高二上·辽宁·期末）某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（    ） A．14种 B．16种 C．18种 D．20种 【答案】A 【分析】根据全部情况去掉两名均为男生的情况即可求解. 【详解】从3名男同学和2名女同学中选出两人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种情况， 若从3名男生选出两人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种情况， 故至少有1名女同学被选中的不同安排方法有种， 故选：A 3．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）某中学高二年级入学进行了一场为期一周的军训，在军训过程中，教官根据班级表现从各个维度进行评分，最终评出“先进集体”“作风优良班级”“纪律优良班级”“素质优良班级”四个奖项．已知总共有三个班级获奖，其中有两个班级均获得了“先进集体”，剩余三个奖项每个奖项均只有一个班级获得，则所有的颁奖方式有（    ） A．57种 B．60种 C．114种 D．120种 【答案】A 【分析】利用间接法，结合分步乘法计数原理可得解. 【详解】设获奖的三个班级分别为，，，首先分配“先进集体”奖，有（种）可能； 继续分配“作风优良班级”“纪律优良班级”“素质优良班级”这三个奖项，每个奖项分别有，，三种可能，于是有（种）可能，相乘一共有（种）可能， 其中一个班级一个奖项都不获得，也就是分配“作风优良班级”“纪律优良班级”“素质优良班级”这三个奖项时均分配到两个获得“先进集体”奖的班级，共有（种）可能； 两者相减得所有的颁奖方式有（种）． 故选：A． 相似练习 4．（24-25高二·全国·课堂例题）从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个，则不同的排法共有 种． 【答案】136080 【分析】法一，通过位置分析，先排第二个节目，法二，元素分析，考虑，选女演员独唱结合，和不选两种情况；法三：间接法，总数减去女演员的独唱节目排在第二个的数目的情况即可； 【详解】方法一（位置分析法）：先排第二个节目，再排其他五个节目，则共有（种）． 方法二（元素分析法）：若选女演员的独唱节目，则有种排法；若不选女演员的独唱节目，则有种排法，则共有种排法． 方法三（间接法）：总数减去女演员的独唱节目排在第二个的数目，则共有（种）． 故答案为：136080 5．（24-25高三上·河北邢台·期末）某校开设了门体育类课程和门科技类课程，学生从这门课中最多选修门，且至少选修门体育类课程，则不同的选课方案有 种．（用数字作答） 【答案】 【分析】先求出从门课程中至多选门至少选门课程的所有选法，再求出所选课程都是科技类课程的选法，前者减去后者可得结论. 【详解】学生从这门课中最多选修门且至少选修门课程的选法有， 学生从这门课中最多选修门至少选门，且所选课程都为科技类课程的选法选法有， 所以满足条件的选法有（种）. 故答案为：. 6．（2025·湖南邵阳·一模）某校高三（5）班班主任准备从2名男生和4名女生中选取3人担任数学、物理、化学学科课代表，每学科安排1人，且至少有1名男生，则不同的选取方法有 （请用数字作答） 【答案】96 【分析】可采用间接法或直接法来求解不同的选取方法数. 【详解】方法一：间接法 先求出从名男生和名女生共人中选人担任学科代表的所有情况，再减去所选人都是女生的情况，即可得到至少有名男生的情况. 从个不同元素中取出个元素的排列数记为，其计算公式为. 从人中选人进行全排列，安排到数学、物理、化学三个学科， 方法数为种. 从名女生中选人进行全排列，安排到三个学科， 方法数为种. 用总的选法数减去人都是女生的选法数，可得至少有名男生的选法有种. 方法二：直接法 分两种情况讨论：选名男生名女生和选名男生名女生，然后分别计算这两种情况的选法数，最后将它们相加. 情况一：选名男生名女生 从名男生中选名男生的选法有种，从名女生中选名女生的选法有种， 然后将这人进行全排列安排到三个学科，方法数为种. 根据组合数公式，可得，. 则这种情况下的选法有种. 情况二：选名男生名女生 从名男生中选名男生的选法有种，从名女生中选名女生的选法有种， 然后将这人进行全排列安排到三个学科，方法数为种. ，. 则这种情况下的选法有种. 将两种情况的选法数相加，可得至少有名男生的选法有种. 故答案为： 【题型五：定序问题倍缩法】 知识讲解 1. 确定定序元素：明确题目中哪些元素是有固定顺序要求的。例如，在一些问题中可能会出现甲必须在乙之前、某几个元素要按特定顺序排列等条件，这些元素就是定序元素。 2. 计算总排列数：先不考虑元素的定序要求，将所有元素进行全排列，计算出总的排列数。假设共有个元素，那么总排列数为。 3. 计算定序元素的排列数：对定序元素进行内部排列，计算出它们在定序情况下的排列数。假设定序元素有个，那么定序元素的排列数为。 4. 求出符合定序要求的排列数：由于定序元素的顺序是固定的，所以在总排列数中，定序元素的每一种排列都被重复计算了。因此，需要用总排列数除以定序元素的排列数，得到符合定序要求的排列数，即。 例题精选 1．（24-25高二下·全国·单元测试）小明参加“江南六地游”旅行，其中，，三地游览的先后顺序一定（游，，三地的顺序可以相邻也可以不相邻），则小明“江南六地游”旅行的不同的出游方法有（   ） A．120种 B．180种 C．240种 D．480种 【答案】A 【分析】由题意，小明参加“江南六地游”旅行，共有种，，，三地游览的顺序有种，利用除法可得结论. 【详解】由题意，小明参加“江南六地游”旅行，共有种，，，三地游览的顺序有种， 所以，，三地游览的先后顺序一定，小明“江南六地游”旅行共有种不同的出游方法． 故选：A. 2．（24-25高二上·江西上饶·期末）是自然对数函数的底数，被称为自然常数或者欧拉数．最初由雅各布·伯努利在研究复利时发现，后由莱昂哈德·欧拉证明其为无理数，大约为．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到一个六位数密码，那么小明可以设置（   ）个不同密码． A．240 B．180 C．120 D．72 【答案】B 【分析】根据倍缩法可得. 【详解】6位数字2，7，1，8，2，8中有2个2，2个8， 故所组成的六位数密码有种情况， 故选：C 3．（24-25高二上·河南驻马店·期末）某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，则不同的出场次序有（    ） A．18种 B．36种 C．60种 D．72种 【答案】C 【分析】利用定序倍缩法即可得解. 【详解】因为A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，且A须在B前面出场， 所以有种出场顺序. 故选：C 相似练习 4．（24-25高三上·广东·开学考试）从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（    ） A．480种 B．240种 C．120种 D．60种 【答案】C 【分析】结合捆绑法与全排列，并消除和的顺序即可求解. 【详解】站在一起有种， 将看成一个整体与进行全排列，共有种， 同时要求在的左边，共有种． 故选：. 二、填空题 5．（江苏省盐城市第一次七校联考2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种. 【答案】 【分析】利用捆绑法结合倍缩法可得出不同的下锅顺序种数. 【详解】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干三种原料进行捆绑，且这三种原料无顺序， 茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅， 所以，不同的下锅顺序种数为种. 故答案为：. 6．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为 （用数字作答） 【答案】 【分析】将与捆绑，然后要求在的左边，在的右边，结合倍缩法可得结果. 【详解】由题意可知，与相邻，则将与捆绑， 然后要求在的左边，在的右边， 由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为种. 故答案为：. 【题型六：平均分组问题】 知识讲解 明确分组情况 首先确定是将多少个元素进行分组，以及要分成多少组，每组的元素个数是否相同。例如，是将个元素平均分成组，每组个元素，还是有其他的分组方式。 计算分组方法 不考虑组的顺序：如果是平均分组，且不考虑组与组之间的顺序差异，计算方法是用组合数公式逐步选取元素进行分组。例如，将个不同元素平均分成组，每组个元素，先从个元素中选个作为第一组，有种选法；再从剩下个元素中选个作为第二组，有种选法；最后剩下个元素作为第三组，有种选法。但这样计算会有重复情况，因为这三组的顺序是无意义的，比如与等其实是同一种分组情况，所以需要除以这组的全排列以消除重复。总的分组方法数为。 考虑组的顺序：如果分组后还要对组进行排序，比如将分好的组分配到不同的位置或任务中，那么在不考虑组顺序的分组方法数基础上，再乘以组的全排列数。例如，将上述平均分成的组分配到个不同的项目中，那么方法数就是。 处理特殊情况 如果分组中存在部分组元素个数相同，部分组元素个数不同的情况，要分别考虑。例如，将个元素分成组，一组个元素，一组个元素，一组个元素。先从个元素中选个作为第一组，有种选法；然后从剩下个元素中选个作为第二组，有种选法；剩下个元素作为第三组，有种选法。由于第二组和第三组元素个数相同，存在重复情况，需要除以以消除重复。所以总的分组方法数为。 例题精选 1．（2025高三·全国·专题练习）北京有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从北京烤鸭、炸酱面、糖火烧、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（    ） A．15 B．90 C．270 D．540 【答案】B 【分析】解法一：分析每天游客的选择可能性，结合分步乘法计数原理运算求解；解法二：利用分堆法，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】解法一：该游客第一天从6种美食中随机选择2种品尝，有种选法； 第二天从剩余的4种美食中随机选择2种品尝，有种选法； 第三天只能品尝最后剩余的2种美食，有种选法． 故该游客在这三天中选择美食的不同选法种数为； 解法二：先将6种美食平均分成3组，有种不同的分法， 该游客每天选择其中一组美食进行品尝，有种不同的选法， 所以这三天他选择美食的不同选法种数为． 故选：B. 二、填空题 2．（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为 . 【答案】450 【分析】按1，2，3或2，2，2将6人分成三组，再把分成的三组分到3个村寨即可. 【详解】由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生， 所以可以分成1，2，3或2，2，2两类， 当6人分成1，2，3三组，有种分法， 当6人分成2，2，2三组，有种分法， 所以不同的安排方法种数为种. 故答案为：450. 相似练习 3．（24-25高二·全国·课堂例题）有6本不同的书，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，有多少种不同的分法？ 【答案】 【分析】先平均分成3组，再全排列即可求解； 【详解】先平均分成三组，有种分法，再分给3个人， 所以分配方式共有（种）． 4．（24-25高二下·全国·单元测试）六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？ (1)分为三份，一份四本，一份一本，一份一本； (2)分给甲、乙、丙三人，甲得四本，乙得一本，丙得一本； (3)分给甲、乙、丙三人，一人得四本，另外两个人每个人得一本； (4)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本． 【答案】(1)15种 (2)30种 (3)90种 (4)540种 【分析】（1）部分平均分组，结合分步乘法原理求解即可； （2）由（1）对乙丙全排列即可求解； （3）法一：由（1）分成3组，再全排列即可；法二：同法一； （4）先将6本书从平均分，不平均分，分成3组，再全排列即可求解； 【详解】（1）根据分步乘法计数原理可得，分成三份有种方法，但这里出现重复计数的现象，不妨记六本书分别为，若第一步取，第二步取， 第三步取，该分法记为，则中还包括（）这1种分法， 而这种分法与是同一种分法，故共有种分法． （2）这是“部分平均定向分配”问题．先分组，再分配，与顺序有关． 首先分成三份，为部分平均分组问题，共有种分法， 然后分给三个人（甲定向）共有种分法． （3）方法一：先分组，再分配，与顺序有关．先分成三份，为部分平均分组问题， 共有种分法，然后分给三个人（不定向），共有种分法． 方法二：有种分法． （4）可以分为三类：①将6分为“2，2，2”，有种分法； ②将6分为“1，2，3”，有种分法； ③将6分为“1，1，4”，有种分法． 所以共有种分法． 【题型七：部分平均分组问题】 知识讲解 确定分组类型 明确题目中给出的分组要求，判断哪些组是平均分组，哪些组是非平均分组。例如，将$10$个元素分成组，其中两组各个元素，另外两组各个元素，这就是典型的部分平均分组问题，有两组是平均分组（每组个元素的两组和每组个元素的两组），另外两组是非平均分组（这里非平均分组的数量为，但在其他问题中可能存在不同数量的非平均分组）。 计算分组方法 平均分组部分：对于平均分组的部分，按照平均分组的计算方法进行。假设要将个元素平均分成组，每组个元素（），先从个元素中选个作为第一组，有种选法；再从剩下个元素中选个作为第二组，有种选法；以此类推，直到选出第组。但这样计算会有重复情况，因为这组的顺序是无意义的，所以需要除以组的全排列以消除重复。例如前面提到的将$10$个元素分成两组各个元素的情况，计算方法为。对于每组个元素的两组，计算方法为。 非平均分组部分：对于非平均分组的部分，直接用组合数进行选取。例如，如果还有一组个元素的非平均分组，从剩下的元素中选个的方法数就是（这里是在前面已经分完两组各个元素和两组各个元素后，剩下个元素选个形成一组）。 汇总计算：将平均分组部分和非平均分组部分的计算结果相乘，得到总的分组方法数。对于将$10$个元素分成两组各个元素、两组各个元素的例子，总的分组方法数为。 例题精选 1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某高校要在假期安排甲、乙等名大学生到、、三个公司进行社会实践，要求每个公司都要有大学生去，且甲和乙都不能去公司，则不同的安排方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】对公司去的学生人数进行分类讨论，结合分类和分步计数原理可得结果. 【详解】因为甲和乙都不能去公司，对公司去的学生人数进行分类讨论： 若去公司只有个人，有种情况，然后将剩余人分为两组，再将这两组分配给、两个公司， 此时有种不同的安排方式； 若去公司有人，有种情况，然后将剩余人分为两组，再将这两组分配给、两个公司， 此时有种不同的安排方式； 若去公司有人，只需将甲、乙两人分配给、公司即可，每个公司个人， 此时有种不同的安排方式. 由分类加法计数原理可知，不同的安排方式种数为种. 故选：D. 2．（2025·新疆·二模）新疆维吾尔自治区博物馆推出古代文物精华展，5名志愿者准备到3个展厅参加志愿服务，若每个展厅至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有（   ） A．54种 B．90种 C．150种 D．540种 【答案】C 【分析】将5名志愿者分为1，2，2和1，1, 3两种情况, 先分组再进行排列即可. 【详解】将5名志愿者分为1，2，2，则有种分法； 将5名志愿者分为1，1，3，则有种分法， 则不同的分配方案共有种. 故选：C. 3．（24-25高二上·辽宁抚顺·期末）将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（   ） A．120 B．300 C．180 D．150 【答案】D 【分析】将5名党员按或分组，再安排到3个社区列式计算得解. 【详解】将5名党员志愿者分成三组，各组人数分别为1，1，3或1，2，2． 当各组人数为1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，2，2时，共有种安排方法． 所以不同的安排方法有种． 故选：D 4．（24-25高三上·湖北武汉·期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】在甲单独参加某项比赛条件下，结合分堆问题的处理方法及分步乘法计数原理求满足条件的方法数，再在甲不单独参加某项比赛条件下，.由分步乘法计数原理及排列知识求满足条件的方法数，最后利用分类加法原理求结论. 【详解】满足条件的报名方法可分为两类： 第一类：甲单独参加某项比赛， 先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有种， 再将余下人，安排到与下的三个项目， 由于每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名， 故满足条件的报名方法有, 所以甲单独参加某项比赛的报名方法有种， 第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛， 先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法， 再安排余下三人，有种方法， 所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有种， 所以满足条件的不同的报名方法共有种方法. 故选：C. 相似练习 5．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）有5项不同的任务安排给甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一项且每项任务只安排一人完成，则分配给甲的任务不超过两项的安排方法有（    ） A．260种 B．220种 C．160种 D．130种 【答案】D 【分析】根据题意，分甲只安排一项任务与甲只安排两项任务讨论，结合排列数与组合数代入计算，即可得到结果. 【详解】若甲只安排一项任务，则有种； 若甲只安排两项任务，则有种； 故分配给甲的任务不超过两项的安排方法共有130种． 故选：D 二、解答题 6．（24-25高三上·河北·阶段练习）某大学为了鼓励学生积极参与社会实践，组织了一次志愿者活动，共有名学生报名参加（且）.活动中有种不同类型的服务项目可供选择，分别是社区服务、环保宣传和关爱弱势群体，每种项目都需要若干名学生参与. (1)若，且要求每个项目至少有名学生参与，求共有多少种不同的分配方案？ (2)若对于任意的名学生，每个项目至少有名学生参与的分配方案有种，求关于的表达式（用组合数表示），并证明当时，是的单调递增函数. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）将个人分为三组每组至少一人，先计算出分组的总数，然后可计算出分配方案数； （2）先计算出将名学生随机分配到三个项目的方法数，然后减去有一个项目没人去、有两个项目没人去的方法数，由此可得结果；再通过作商法比较与的大小关系即可证明出单调性. 【详解】（1）将个人分为三组每组至少一人，每组的人数可以是， 每组人数是时，分组方法有种，每组人数是时，分组方法有种， 每组人数是时，分组方法有种，每组人数是时，分组人数有种， 所以将个人分为三组的方法数共有种， 所以不同的分配方案有种. （2）将名学生随机分配到三个项目，不考虑每个项目的人数，则有分配方法种， 将名学生随机分配到三个项目，有一个项目没人去，则有分配方法种， （注：先选两个项目有种选法，将个人分配到两个项目有种分法，减去个人在同一项目的情况） 将名学生随机分配到三个项目，有两个项目没人去，则有分配方法种， 由上可知，； 证明：设且， 所以， 由的实际意义可知，且时显然成立， 所以，所以，所以， 所以时，是的单调递增函数. 【题型八：排列组合综合问题：先分类在分步】 知识讲解 1. 分类 确定分类标准：根据题目中的条件和特点，找到一个合适的分类依据。例如，元素的性质、位置的要求、排列或组合的特殊情况等。分类标准要确保各类之间相互独立，且所有情况都能被涵盖。 列举各类情况：按照分类标准，将问题详细地分为不同的类别。每一类都应该是一个相对独立且容易分析的子问题。例如，在排列问题中，可以根据某个特殊元素的位置进行分类；在组合问题中，可以根据元素的选取条件进行分类。 2. 分步 分析每类中的步骤：对于每一类情况，将其进一步分解为若干个步骤。每个步骤都应该有明确的任务和目标，通常是完成一个元素的排列或组合操作。 计算每步的方法数：确定每个步骤的方法数。这需要运用排列组合的基本原理和公式进行计算。例如，在排列步骤中，可能会用到排列数公式；在组合步骤中，可能会用到组合数公式。 计算每类的方法数：根据分步乘法计数原理，将每类中各个步骤的方法数相乘，得到每类情况的总方法数。即如果完成一件事需要个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法……做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。 3. 汇总结果 汇总各类方法数：根据分类加法计数原理，将所有类别的方法数相加，得到整个问题的最终答案。即如果完成一件事有类办法，在第类办法中有种不同的方法，在第类办法中有种不同的方法……在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。 例题精选 1．（2025高三·全国·专题练习）某医院安排1名医生和7名护士某周一至周五去“定点帮扶”医院开展帮扶工作，每天安排2人，其中医生需要去三天，每名护士需要去一天，则不同的安排方法种数为（    ） A．6300 B．12600 C．25200 D．50400 【答案】B 【分析】先将7名护士分组，每组人数分别为，再安排医生并进行全排列即可. 【详解】题意将7名护士分成5个小组，每组人数分别为，共有种安排方法， 则医生被安排到只有1名护士的组别，故不同的安排方法共有（种），故选：B． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】根据分步乘法原理结合组合数计算即可. 【详解】每个被选的人员无角色差异，是组合问题．分两步完成： 第一步，选女工，有种选法；第二步，选男工，有种． 故有种不同选法． 故选：D. 3．（2025·安徽·模拟预测）现有6名同学到3家不同的养老院参加“关爱孤寡老人”爱心志愿活动，若每家养老院安排2名同学，且每名同学只前往一家养老院，则共有安排方法（   ） A．30种 B．60种 C．90种 D．120种 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理即可求得结果. 【详解】设3家养老院的编号依次为1、2、3，首先安排1号养老院，有（种）， 再安排2号养老院，有（种），最后安排3号养老院，有（种）， 根据分步乘法计数原理，因此共有安排方法（种）. 故选：C 相似练习 4．（2025·福建厦门·二模）在五一小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有 种. 【答案】80 【分析】根据值班人数为2和3两种情况，结合排列组合即可求解. 【详解】根据题意可知，值班的人数为2人或者3个人， 若人数为2，则需要一个人值班首尾两天，一个人值中间的那一天，故, 若人数为3，则每人值一天班，故, 故总的方法有， 故答案为：80 5．（2025·四川成都·二模）成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有 种. 【答案】88 【分析】按照甲，乙是否在“传奇”主会场划分情况，由排列组合以及分类加法计数原理即可求解. 【详解】按照甲，乙是否在“传奇”主会场划分情况： ①甲，乙有且只有1人在主会场，需要在除甲，乙外的四人中选两人去主会场， 剩下的三人去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，有（种）不同的安排方案； ②甲，乙都不在主会场，从甲，乙外的四人中选三人去主会场， 再将甲，乙安排去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，且一人去一个分会场， 剩下一人可以去“传承”，“扬辉”两个分会场，有（种）不同的安排方案. 根据分类加法计数原理，共有（种）不同的安排方案. 故答案为：88. 6．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则不同的安排方法有 种． 【答案】96 【分析】由题意，根据 是否入选进行分类，分为若 入选和 不入选，再对剩下的人进行安排，用到分类加法和分步乘法计数原理. 【详解】 由题意可知，根据 是否入选进行分类， 若 入选，则先给 从乙、丙、丁 3 个岗位上安排一个岗位，有 3 种， 再给剩下三个岗位安排人，有 （种），共有 种 （种）方法； 若 不入选，则 4 个人 4 个岗位全排，有 (种) 方法. 所以共有 (种) 不同的安排方法. 故答案为：96. 【题型九：染色问题】 知识讲解 按颜色的使用情况分类 确定颜色种类：先明确题目中可供使用的颜色数量，以及需要染色的区域或元素数量。 分类讨论：根据使用颜色的数量进行分类。例如，使用种颜色给个区域染色，可能存在某些区域颜色相同的情况，需要分别讨论不同的颜色分配方式。 按区域的相邻关系分步 分析区域关系：确定各个区域之间的相邻关系，明确哪些区域不能染相同颜色。 分步染色：从某个区域开始，依次对相邻区域进行染色。每一步染色都要考虑到已染色区域的颜色限制，以及当前可供选择的颜色数量。例如，先染一个区域，有种颜色可选；再染与它相邻的区域，由于不能与第一个区域同色，所以有种颜色可选，以此类推。 利用排列组合公式计算 计算方法数：在每一类或每一步中，根据排列组合的基本原理计算染色的方法数。如果是对不同元素进行全排列，可使用排列数公式；如果是从个元素中选取个元素的组合，可使用组合数公式。 汇总结果：将各类或各步的方法数根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理进行汇总，得到最终的染色方法总数。 例题精选 1．（24-25高三下·湖南·开学考试）提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．288种 B．296种 C．362种 D．384种 【答案】D 【分析】分2号区域和6号区域同色，2号区域与4号区域同色，2号区域与4号区域，6号区域均不同色三种情况讨论，进而可得出答案. 【详解】首先三个区域有种涂法， 当2号区域和6号区域同色时，有种涂法； 当2号区域与4号区域同色时，有种涂法； 当2号区域与4号区域，6号区域均不同色时，有种涂法， 综上，共有384种涂法. 故选：D. 2．（24-25高二上·辽宁·期末）《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（    ） A．48种 B．96种 C．102种 D．120种 【答案】B 【分析】设图中的六个区域分别为，按照是否同色，分两类，再结合分步乘法计数原理运算求解. 【详解】如图，设图中的六个区域分别为， 按照是否同色，分两类： ①不同色，先给涂色，有，再根据是否用余下那种颜色分两种情况， 不用第三种颜色，即用的颜色，用的颜色，有种，有种，则有种涂法； 用第三种颜色，即用第三种颜色，用的颜色，有种，有种， 或用第三种颜色， 用的颜色，则有种涂法， 所以不同色的涂法有：， ②同色，先给涂色，有，则只能用第三种颜色，有种，有种， 所以同色的涂法有：， 综上，不同的涂色方法有：种. 故选：B. 3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，无人机光影秀中，有架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出种不同颜色的光，至号的无人机颜色必须相同，、号无人机颜色必须相同，号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这架无人机同时发光时，一共可以有（    ）种灯光组合. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对、号无人机颜色与至号的无人机颜色是否相同进行分类讨论，再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】根据题意可知，至号的无人机颜色有4种选择； 当、号无人机颜色与至号的无人机颜色相同时，号无人机颜色有3种选择； 当、号无人机颜色与至号的无人机颜色不同时，、号无人机颜色有3种选择，号无人机颜色有2种选择； 再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有种. 故选：D 相似练习 4．（24-25高三下·上海·阶段练习）如图，一个区域分为5块，现给每块着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．若有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．    【答案】72 【分析】利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，按照颜色分类，用3种颜色与用4种颜色分为两类计算即可得结论. 【详解】按照使用颜色的种灶分为两类： 第一类，使用了4种颜色，此时2，4同色或3，5同色，则共有， 第二类，使用了三种颜色，此时2，4同色且3，5同色，则共有， 所以共有种. 故答案为：. 5．（2025·江西新余·模拟预测）如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有 种不同的染色方案. 【答案】192 【分析】法一：间隔元素分析法，分同色，同色；同色，不同色；不同色，同色；不同色，不同色，结合和的颜色相同和不同，分类讨论，得到情况数，相加即可； 法二：相邻最多元素优先分析法，考虑到影响的元素最多，分各不同色， 和同色，结合同色，不同色，同色，不同色，共有类讨论，分类讨论，得到情况数，相加即可 【详解】法一：间隔元素分析法： ①同色，同色，则有两种上色方式，被确定，故有种； ②同色，不同色，则仅有1中上色方式，被确定，故有种； ③不同色，同色，则若与同色，则有1种上色方式； 若与不同色，则只有1种上色方式； 故有种； ④不同色，不同色， 1）同色，则有种；2）不同色，则有种. 综上，共有种方式. 法二：相邻最多元素优先分析法： 考虑到影响的元素最多： ①各不同色，1）同色，则有3种染色法，故共有种； 2）不同色，则有2种染色法，故共有：种； ②同色，1）同色，则只有1种染色法（4种颜色都要使用到）， 故有种；2）不同色，则有2种染色法，故有种. 综上：共有种染色方案. 故答案为：192. 6．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）在如图方格中，用4种不同颜色做涂色游戏，要求相邻区域颜色不同，每个区域只能涂一种颜色. ①若区域涂2种颜色，区域涂另外2种颜色，则有 种不同涂法. ②若区域涂4种颜色（涂的颜色互不相同），区域也涂这4种颜色（涂的颜色互不相同），则有 种不同涂法. 【答案】 【分析】①利用分步计数原理可求不同的涂法；②先涂，再就的涂色情况分类计算即可. 【详解】①先涂，共有种，再涂鸦，共有种， 故共有种涂法. ②先涂，共有， 若所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 若所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 若所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 同理所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 所涂颜色为所用颜色，则共有种涂法； 故共有涂法种， 故答案为：. 三、解答题 7．（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）（1）如图1所示，分别给，个区域涂色，现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，要求相邻区域必须涂不同颜色，同一区域只涂一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种？ （2）如图2所示，用红、黄、蓝3种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有多少种？ 【答案】（1）48；（2）6 【分析】（1）应用分步计数原理及排列数计算即可； （2）应用分步计数原理计算即可. 【详解】（1）先涂区域，有种涂色方法，再涂区域，有2种涂色方法． 根据分步乘法计数原理，共有种涂色方法． （2）先给顶点涂色，有3种涂色方法，再给顶点涂色，有2种涂色方法，最后给顶点涂色，有1种涂色方法． 根据分步乘法计数原理，有种涂色方法． 【题型十：排数问题】 知识讲解 1. 明确问题类型 首先判断是排列问题还是组合问题。排列问题关注元素的顺序，不同顺序视为不同结果；组合问题则只关心元素的选取，不考虑顺序。例如，从、、中选两个数组成两位数，这是排列问题，因为$12$和$21$是不同的两位数；而从、、中选两个数求和，这是组合问题，因为和结果相同，不考虑顺序。 2. 确定限制条件 仔细分析题目中的限制条件，如数字的取值范围、是否允许重复、特定位置的数字要求等。比如，用、、、组成无重复数字的三位数，这里不能在百位就是一个关键限制条件。 3. 选择解题方法 直接法：根据题目要求直接计算排列或组合数。例如，从个不同数字中选个进行排列，可直接用排列数公式种排法。 间接法：当直接计算比较复杂时，可先计算总的情况数，再减去不符合条件的情况数。比如，计算用到这个数字组成无重复数字且大于$2000$的四位数的个数，可先计算所有四位数的个数，再减去千位是的四位数的个数。 4. 分步或分类计算 分步：如果完成一件事需要多个步骤，那么按照步骤依次计算每一步的方法数，再根据分步乘法计数原理将各步骤的方法数相乘。例如，用、、、组成无重复数字的四位数，可分四步，第一步确定千位数字，有种选法；第二步确定百位数字，有种选法（因为千位已用去一个数字）；第三步确定十位数字，有种选法；第四步确定个位数字，有种选法。所以共有种排法。 分类：当问题可以按照不同情况进行分类时，分别计算每类情况的方法数，然后根据分类加法计数原理将各类方法数相加。例如，用、、、组成无重复数字的偶数，可分两类，一类是个位为，此时有种排法；另一类是个位为，此时千位有种选法（不能选），百位有种选法，十位有种选法，共有种排法。所以一共有种排法。 5. 检查结果 检查计算过程是否正确，是否遗漏了某些情况或重复计算了某些结果。特别是在分类和分步的过程中，要确保每一种情况都被准确考虑，且没有交叉重复。例如，在分类时要保证各类之间相互独立，在分步时要保证每一步的方法数计算准确。 例题精选 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（    ） A．30个 B．36个 C．42个 D．48个 【答案】C 【分析】分同一个数字出现3次和两个数字出现两次，第三个数字出现1次两种情况，求出各个情况数，相加得到答案. 【详解】同一个数字出现3次时，其他两个数字进行插空， 故有种情况， 有两个数字出现两次，第三个数字出现1次时，此时有种情况， 以两个1，两个2，一个3为例， 若两个1出现在万位和百位，此时2可以在千位和十位或千位和个位，有2种情况， 若两个1出现在万位和十位，此时2可以在千位和个位或百位和个位，有2种情况， 若两个1出现在万位和个位，此时2只能在千位和十位，有1种情况， 若两个1出现在千位和十位，此时2可以在万位和百位或万位和个位或百位和个位，有3种情况， 若两个1出现在千位和个位，此时2可以在万位和百位或万位和十位，有2种情况， 若两个1出现在百位和个位，此时2可以在万位和十位或千位和十位，有2种情况， 故有种情况， 所以，共有种情况， 综上，这样的五位数共有种. 故选：C 2．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）用0．1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．24个 B．26个 C．30个 D．42个 【答案】C 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理，结合排列的定义即可求. 【详解】若0在个位，则可组成个偶数； 若2在个位，则可组成个偶数； 若4在个位，则可组成个偶数； 所以偶数共有个. 故选：C 3．（2024高三·全国·专题练习）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有（   ） A．252个 B．300个 C．324个 D．228个 【答案】B 【分析】根据题意，分三种情况进行讨论，四位数中包含5和0的情况，四位数中包含5，不含0的情况，四位数中包含0，不含5的情况，再由分步计数原理，即可求解． 【详解】（1）若四位数中含有数字0不含数字5，则选法是，可以组成四位数个； （2）若四位数中含有数字5不含数字0，则选法是，可以组成四位数个； （3）若既含数字0，又含数字5，选法是，排法是若0在个位，有种， 若5在个位，有种，故可以组成四位数 个． 根据加法原理，共有个． 故选：Ｂ． 相似练习 二、多选题 4．（24-25高二·全国·课堂例题）（多选）用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】直接法进行求解，先考虑末位数字，再考虑其他位置，得到答案； 间接法进行求解，先求出无重复数字的四位数，再求出无重复数字的四位奇数的个数，相减得到答案. 【详解】直接法：末位数字需在中选一个，排法有种，其他位置排法有种，共有种排法； 间接法：数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，有种排法， 其中组成无重复数字的四位奇数的个数为， 理由如下：末位数字需在中选一个，排法有种，其他位置排法有种，故有种排法； 所以偶数的个数为. 故选：CD． 三、填空题 5．（2025·河北邯郸·一模）设一个三位数的个位、十位、百位上的数字分别为，，，若，，则称这个三位数为“峰型三位数”，例如251和121都是“峰型三位数”，在由0，1，2，3，4，5中的部分数字组成的三位数中，“峰型三位数”的个数为 . 【答案】30 【分析】根据给定条件，利用“峰型三位数”是否含有数字0分类，结合排列、组合计数问题列式计算即得. 【详解】当“峰型三位数”含有数字0时，0必为个位，再从余下5个数字中任取两个，大的数字为十位，有种方法； 当“峰型三位数”没有数字0时，从除0外的5个数字中任取3个，最大数字作十位， 有种方法， 所以“峰型三位数”的个数为. 故答案为：30 四、解答题 6．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）（1）用、、、、、可以组成多少个无重复数字的密码箱的四位密码； （2）用、、、、、可以组成多少个无重复数字的比大的四位偶数． 【答案】（1）360；（2）120. 【分析】（1）根据给定条件，利用排列计数问题列式计算得解. （2）按最高位上的数字是2和大于2分类，利用有限制条件的排列问题列式求解. 【详解】（1）无重复数字的四位密码相当于从6个数字中任取4个的排列， 所以无重复数字的密码箱的四位密码个数为. （2）最高位上的数字为2的无重复数字的四位偶数，其个位是之一，共有个； 最高位上的数字为之一的无重复数字的四位偶数，其个位是之一，共有个， 最高位上的数字为4的无重复数字的四位偶数，其个位是之一，共有个， 所以比大的无重复数字的四位偶数个数为. 【题型十一：隔板法】 知识讲解 1. 明确问题特征 确定问题是将个相同的元素分成组，每组至少有一个元素。例如，将$10$个相同的苹果分给个小朋友，每个小朋友至少分个苹果，就符合隔板法的问题特征。 2. 构建隔板模型 将个相同元素排成一排，元素之间形成个空位。例如，$10$个苹果排成一排，中间就有个空位。 在这个空位中插入个隔板，将元素分成组。比如要将$10$个苹果分给个小朋友，就需要在个空位中插入个隔板。 3. 计算方法数 根据组合数公式计算插入隔板的方法数，也就是将个相同元素分成组的方法数。例如，$10$个苹果分给个小朋友的分法有种。 4. 特殊情况处理 如果题目要求每组可以没有元素，即允许有空组的情况，需要先进行转化。可以先给每个组都补上个元素，这样就变成了个元素分成组，每组至少有个元素的问题，然后再用隔板法求解。例如，将$10$个相同的苹果分给个小朋友，允许有小朋友分不到苹果，那么先给每个小朋友都补上个苹果，就相当于有$13$个苹果分给个小朋友，每个小朋友至少分个苹果，方法数为种。 5. 检查与验证 检查计算过程是否正确，特别是组合数的计算是否准确。同时，验证结果是否符合题目条件，比如分组的数量和元素的分配情况是否与题目要求一致。 例题精选 1．（24-25高三上·陕西西安·期末）《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有（   ） A．715种 B．572种 C．312种 D．286种 【答案】D 【分析】本题以《九章算术》中的粟米为背景，考查排列组合的应用，考查化归与转化的数学思想和应用意识． 【详解】本题可转化为将14个大小相同，质地均匀的小球分给甲，乙，丙，丁4个人，每人至少分1个，利用隔板法在中间13个空隙（两端除外）当中插入3个隔板，可得分配的方案数为，所以不同的分配方法有286种． 故选：D. 2．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）某学校利用周末时间组织学生进行志愿者服务，高二年级共6个班，其中（1）班有2个志愿者队长，本次志愿者服务一共20个名额，志愿者队长必须参加且不占名额，若每个班至少有3人参加，则共有（   ）种分配方法. A．90 B．60 C．126 D．120 【答案】C 【分析】将问题转化为将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，进而结合隔板法求解即可得到. 【详解】若每个班至少3人参加，由于（1）班有2个志愿者队长， 故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额， 再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额， 故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，有种分配方法. 故选：C. 二、填空题 3．（24-25高二上·天津红桥·期末）某学校准备组建一个18人的足球队，这18人由高二年级十个班的学生组成，每个班至少一人，名额分配方案共 种(用数字填写). 【答案】24310 【分析】采用“隔板法”求解即可. 【详解】构成一个隔板模型，取18个棋子排成一排，在相邻的每两个棋子形成的17个间隙中选取9个插入隔板，这样就把18个元素分成10个区间， 第个区间的棋子个数对应第个班级的学生名额， 因此，名额分配方案的种数与隔板插入数相等， 因隔板插入数为， 所以名额分配方案共有24310种. 故答案为：24310. 相似练习 4．（23-24高二下·全国·课堂例题）四元一次方程的正整数解有 组，非负整数解有 组． 【答案】 84 286 【详解】将问题转化为有10个小球排成一排，利用隔板法可求正整数解、非负整数解的组数. 的正整数解的组数相当于在10个小球之间的9个空隙中插入3个隔板， 把球分为4组的方法数，即一共有种， 故第1空答案为84； 非负整数解的组数相当于的正整数解的组数，即的正整数解组数， 同样的方法看成14个小球排成一排，在13个空隙中插入3个隔板分成4组的方法数， 则共有：种. 故答案为：84；286. 5．（21-22高二下·安徽马鞍山·期中）高二年级将10个优秀团员的名额分配给3个班级，一共有 种分法. 【答案】66 【分析】使用插隔板方法即可求解. 【详解】本题相当于10个名额和2个虚名额分配给3个班级，利用隔板法解决， 从12个位置中选2个位置放隔板，共有种分配方法. 故答案为：66 三、解答题 6．（22-23高二下·浙江·期中）（1）求方程的正整数解的个数； （2）求方程的正整数解的个数. 【答案】（1）21；（2）34 【分析】（1）方法一：分别令，列举得到正整数解个数；方法二：与排列组合问题结合，看成八个物品分成三份，由挡板法可得到答案； （2）分别令，列举得到正整数解的个数. 【详解】（1）方法一： 当时，，则一共有6种；当时，，则一共有5种； 当时，，则一共有4种；当时，，则一共有3种； 当时，，则一共有2种；当时，，则一共有1种. 所以方程的正整数解的个数有种 方法二：利用挡板法可得正整数解的个数为； （2）当时，方程转化为，由（1）知一共有21种； 当时，方程转化为，则一共有10种； 当时，方程转化为，则一共有3种； 当时，不合题意； 综上所述，方程的正整数解的个数为. 课后针对训练 1．（2024·福建福州·模拟预测）将甲、乙等5名同学分配到3个社区进行志愿服务，要求每人只去一个社区，每个社区不能少于1人，且甲、乙在同一社区，则不同的安排方法数为（    ） A．54 B．45 C．36 D．27 2．（2024·福建泉州·二模）2024年“花开刺桐城”闽南风情系列活动在泉州举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书画笔会，文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有2幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品、1幅不同的摄影作品，将这6幅作品排成两排挂在同一面墙上，第一排挂4幅，第二排挂2幅，则美术作品不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建厦门·三模）某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学.若同学甲去A公司，则不同的安排方法共有（    ） A．18种 B．30种 C．42种 D．60种 4．（2024·湖南邵阳·二模）某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲､乙､丙等六人分别上台发言，其中负责人甲､乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（    ） A．240种 B．120种 C．156种 D．144种 5．（2024·浙江台州·一模）杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（    ） A．288种 B．360种 C．480种 D．504种 6．（2023·福建宁德·模拟预测）近年来喜欢养宠物猫的人越来越多．某猫舍只有5个不同的猫笼﹐金渐层猫3只（猫妈妈和2只小猫嶲）、银渐层猫4只、布偶猫1只．该猫舍计划将3只金渐层猫放在同一个猫笼里，4只银渐层猫每2只放在一个猫笼里，布偶猫单独放在一个猫笼里，则不同的安排有（    ） A．8种 B．30种 C．360种 D．1440种 7．（2023·福建宁德·二模）为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·福建福州·三模）厦门市博物馆由厦门博物馆主馆、郑成功纪念馆、厦门经济特区纪念馆、厦门市文化遗产保护中心、破狱斗争陈列馆、陈化成纪念馆、陈圣元故居七个馆区组成.甲、乙两名同学各自选取一个馆区参观且所选馆区互不相同，若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观方案有（    ） A．22种 B．20种 C．12种 D．10种 二、填空题 9．（2025·福建厦门·二模）在五一小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有 种. 10．（24-25高三上·浙江·阶段练习）甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是 . 11．（24-25高三上·江苏·期末）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，且这三个数之和为偶数，记满足条件的取法种数为；从0，1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数之和为奇数，记满足条件的取法种数为.若从个取法和个取法各随机选一种，这两种取法的数字完全不同的概率是 . 12．（2024·福建·模拟预测）正八面体中，以其顶点为顶点的三棱锥的个数为 （用数字作答）． 13．（2024·福建泉州·模拟预测）9人身高各不相等，排成前后排，前排5人，要求每排从左至右身高逐渐增加，则不同的排法共有 种（用数字作答）． 14．（2024·福建莆田·三模）甲、乙等5人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有 种. 15．（2023·福建厦门·模拟预测）某商场举行抽奖活动，箱子里有10个大小一样的小球，其中红色的5个，黄色的3个，蓝色的2个，现从中任意取出3个，则其中至少含有两种不同颜色的小球的概率为 . 16．（2023·福建厦门·模拟预测）某校表演队的演员中，会演歌唱节目的有6人，会演舞蹈节目的有5人，当中同时能歌能舞的只有2人，现在从中选派4人参加校际演出队，要求至少有2人能演舞蹈节目，那么不同选派方法共有 .（用数字作答） 2024-2025高二下学期重难点题型归纳 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B D C C C A 1．C 【分析】利用整体法，结合分配分组法求解即可. 【详解】将甲和乙视为一人，则问题转化为将四个人分配到三个社区，且每个社区都被分配至少一人. 此时，三个社区被分配的人数必定是：两个社区恰被分配一人，一个社区恰被分配两人. 被分配到两人的社区有3种选择，一经选择，分配方法有种. 从而不同的方法数为. 故选：C. 2．C 【分析】利用排列组合公式，还需要用到分类计数加法原理和分步计数乘法原理，因为遇到不相邻问题，还得用插空法原理. 【详解】由题意知这6幅作品排成两排挂在同一面墙上的不同挂法有：种， 由于美术作品不相邻，按以下情形分类： ①美术作品挂在第一排的不同挂法有：种； ②美术作品分挂在两排的不同挂法有：种； 所以美术作品不相邻的概率是：， 故选：C. 3．B 【分析】分只有同学甲去A公司及除同学甲外还有一名同学去A公司进行讨论，结合排列数与组合数的计算即可得. 【详解】若只有同学甲去A公司，则共有种可能， 若除同学甲外还有一名同学去A公司，则共有种可能， 故共有种可能. 故选：B. 4．D 【分析】将甲乙捆绑，并确定丙的位置，排序即可. 【详解】将将甲乙捆绑看做一个元素，由丙不能在第一个与最后一个发言， 则丙的位置有3个，将剩余4个元素再排序有种方法， 故不同的安排方法共有种. 故选：D. 5．C 【分析】根据排列数以及插空法的知识求得正确答案. 【详解】先安排甲乙以外的个人，然后插空安排甲乙两人， 所以不同的传递方案共有种. 故选：C 6．C 【分析】根据分组原理先确定4只银渐层猫分两组的分组方法，再根据排列数计算即可得安排方法总数. 【详解】根据题意，将3只金渐层猫放在同一个猫笼里，则把3只金渐层猫看成是1个整体， 4只银渐层猫每2只放在一个猫笼里，则分组方法有（种） 一共有4个整体进行排列放在5个不同的猫笼，在5个不同的猫笼中可以放4个整体， 则一共可以安排的方法有：（种） 故选：C. 7．C 【分析】按照两位女教师分派到同一个地方时，男老师也分配到该地方的人数为标准进行分类讨论,根据古典概型公式计算即可 【详解】五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，分派方案可按人数分为3，1，1或2，2，1两种情况, 则有：种方法； 两位女教师分派到同一个地方根据题意，分派方案可分为两种情况： 若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：种方法； 若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：种方法； 故一共有：种分派方法, 这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的概率为. 故选： 8．A 【分析】分为郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆选一个和两个，两种情况分开求解即可得出答案. 【详解】若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆选一个：种， 若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆选二个：种， 故若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观方案有种方案. 故选：A. 9．80 【分析】根据值班人数为2和3两种情况，结合排列组合即可求解. 【详解】根据题意可知，值班的人数为2人或者3个人， 若人数为2，则需要一个人值班首尾两天，一个人值中间的那一天，故, 若人数为3，则每人值一天班，故, 故总的方法有， 故答案为：80 10． 【分析】依题意可知游戏结束时共抽取了5张卡片，甲抽取的三张卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片数字之和不为12，分别计算出所对应的排列总数即可得出结论. 【详解】根据题意可知甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束相当于从7张卡片中抽取了5张， 且甲抽取的三张卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片数字之和不为12； 总的情况相当于从7张卡片中抽取了5张并进行全排列，即共种排法； 其中三张卡片数字之和为12的组合有；；；；共5种情况； 当甲抽取的数字为；；；时， 乙在剩余的4个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有种； 当甲抽取的数字为时， 若乙抽取的两张卡片数字可能为，此时不合题意，此时共有种； 所以符合题意的排列总数为种， 而基本事件的总数为 可得所求概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于首先明确游戏结束时甲乙两人抽取的卡片张数以及数字之和的所有情况，再利用全排列公式计算出各种情况对应的种类数可得结论. 11．/0.5 【分析】利用按2个奇数和1个偶数或3个偶数分类选取来满足选取的三个数和为偶数，同理按1个奇数和1个偶数分类选取来满足选取的两个数和为奇数，在分析两次选取不能有重复数字时，则可进行分类分步研究即可求解. 【详解】从中任取3个不同的数，要满足三个数之和为偶数， 第一类：取两个奇数和一个偶数，共有； 第二类：取三个偶数，共有； 所以满足三个数之和为偶数的取法种数有种，即； 从中任取2个不同的数，且这两个数之和为奇数， 则取一个奇数和一个偶数，即种，所以； 若从中任取一个奇数和0时，则从中任取3个数之和为偶数，且与前面取的数不重复，则共有； 若从中任取一个奇数和非0偶数时，则从中任取3个数之和为偶数，且与前面取的数不重复，则共有； 所以这两种取法数字完全不同的概率为 故答案为：. 12．12 【分析】根据给定条件，利用几何图形的组合计数问题，结合排除法列式计算即得. 【详解】作出正八面体，如图，正八面体共有6个顶点，其中有3组不同的四点共面， 则以正八面体顶点为顶点的三棱锥的个数为. 故答案为：12 13．126 【分析】按照先选再排的方法，即可求解. 【详解】从9人选5人排在前排，5人的身高不同，按要求只有1种排法，即种方法，后排4人，也只有1种排法，所以共有126种排法. 故答案为：126 14． 【分析】根据题意，分甲或乙参加A活动和甲和乙都不参加A活动，两种情况讨论，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】甲或乙参加A活动的情况有种， 甲和乙都不参加A活动的情况有种， 则他们参加活动的不同方案有种. 故答案为：. 15． 【分析】 应用组合数求取出3个为同一种颜色的取法、任取3个球的取法，应用古典概型、对立事件概率求法求至少含有两种不同颜色的小球的概率. 【详解】由题意，取出3个为同一种颜色有种取法， 10个大小一样的小球任取3个球有种取法， 所以至少含有两种不同颜色的小球的概率为. 故答案为： 16．105 【分析】将演员分为两类，会演舞蹈节目的有5人，不会表演舞蹈的有4人，然后从问题的反面思考，将从9人中任选4人的基本事件中排除对立事件没有或者1人会表演舞蹈，计算事件个数即可； 【详解】根据题意，某校表演队的演员中，会演歌唱节目的有6人，会演舞蹈节目的有5人，当中同时能歌能舞的只有2人，则该表演队一共有9人，不会表演舞蹈的有4人， 从9人中任选4人，有种选法， 至少有2人能演舞蹈节目对立事件：其中4人都不会表演舞蹈的有种情况，只有1人会表演舞蹈的有种情况， 则至少有2人能演舞蹈节目，有种. 故答案为：105. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$