第3章 §4 4.1 直线的方向向量与平面的法向量(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§4　向量在立体几何中的应用 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 情境导入 课程标准 　　如图所示,铜钱能够在线上移动,说明一个平面的垂线不能确定一个平面, 那么这条直线的方向向量也不能确定一个平面。一个平面垂线的方向向量再添加什么条件可以确定一个平面? 能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量。 自主预习明新知 1.直线的方向向量与直线的向量表示 (1)点的位置向量。 在空间中取一个定点O,那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示,向量就是点P的位置向量。 (2)直线的方向向量。 如图所示,设点A,B是直线l上不重合的任意两点,称为直线l的方向向量。与平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量。 (3)直线的向量表示。 如图所示,已知点M是直线l上的一点,非零向量a是直线l的一个方向向量。那么对于直线l上的任意一点P,一定存在实数t,使得=ta。反之,由几何知识不难确定,满足上式的点P一定在直线l上,因此称=ta为直线l的向量表示。 2.平面的法向量 (1)平面的法向量。 空间中给定一点和一条直线,可以唯一确定过此点与这条直线垂直的平面。因此,如果一条直线l与一个平面α垂直,那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量,则n⊥α。 (2)平面的向量表示。 如图所示,设点M是平面α内给定的一点,向量n是平面α的一个法向量,那么对于平面α内任意一点P,必有·n=0。反之,满足上式的点P都在平面α内,因此称·n=0为平面α的一个向量表示式。 如图所示,在空间直角坐标系中,设平面α的法向量n=(A,B,C),点M(x0,y0,z0)在平面α内,则对于平面α内任意一点P(x,y,z),有=(x-x0,y-y0,z-z0)。 由·n=0得A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0。此即平面α的方程。 微思考 1.线段AB的中点M怎样用向量表示? 提示:在线段AB外任取一点O,则线段AB的中点M的向量表达式为=(+)。 2.平面的法向量有何作用?是否唯一? 提示:平面的法向量与空间一点可以确定一个平面,利用平面的法向量可以判断直线与平面、平面与平面的位置关系。平面的法向量不唯一,它们都是共线的。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　空间中点的向量表示 　　【例1】　已知点A(2,4,0),B(1,3,3)。如图,以的方向为正方向,在直线AB上建立一条数轴,P,Q为轴上的两点,且分别满足条件: ①AP∶PB=1∶2; ②AQ∶QB=2∶1。 求点P和点Q的坐标。 　　解　由已知,得=2,即-=2(-),=+。设点P坐标为(x,y,z),则上式换用坐标表示,得(x,y,z)=(2,4,0)+(1,3,3),即x=+=,y=+=,z=0+1=1。因此P点的坐标是,,1。因为AQ∶QB=2∶1,所以=-2,-=-2(-),=-+2。设点Q的坐标为(x',y',z'),则上式换用坐标表示,得(x',y',z')=-(2,4,0)+2(1,3,3)=(0,2,6),即x'=0,y'=2,z'=6。因此Q点的坐标是(0,2,6)。 　　求空间中点的坐标,一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐标,根据向量式列出方程组,把向量运算转化为代数运算,解方程组可得点的坐标。 【变式训练】　已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点且=,则点C的坐标为 (C) A.,-, B.,-3,2 C.,-1, D.,-, 解析　设C(x,y,z),因为C为线段AB上一点且=,所以=,即(x-4,y-1,z-3)=(-2,-6,-2),所以所以x=,y=-1,z=。因此点C的坐标为,-1,。故选C。 类型二　求直线的方向向量 　　【例2】　在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E在PC上,且CE=3EP,设=a,=b,=c,以{a,b,c}为空间的一组基,求直线AE的一个方向向量。 解　 如图所示,=+=++(-)=++(--)=++=a+b+c。故直线AE的一个方向向量是a+b+c。 　　求直线的方向向量关键是找到直线上两点,用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量,其难点是向量的运算。 【变式训练】　若点A,B,2,在直线l上,则直线l的一个方向向量为 (A) A. B. C. D. 解析　=--,0,=(1,2,3),=(1,2,3)=,又因为与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量。故选A。 类型三　求平面的法向量 　　【例3】　 如图,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,求平面SCD与平面SBA的法向量。 　　解　 因为AD,AB,AS是三条两两垂直的线段,所以以A为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),D,0,0,C(1,1,0),S(0,0,1),=,0,0是平面SAB的一个法向量。设平面SCD的一个法向量n=(1,λ,μ),则解得所以n=1,-,。综上,平面SCD的一个法向量为n=1,-,,平面SBA的一个法向量为=,0,0。 　　待定系数法求平面法向量的步骤:(1)设向量:设平面的一个法向量为n=(x,y,z)。(2)选向量:在平面内选取两个不共线的向量,。(3)列方程组:由列出方程组。(4)解方程组:(5)赋非零值:取其中一个为非零值(常取±1)。(6)得结论:得到平面的一个法向量。 【变式训练】　在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,求证:D是平面ACD1的一个法向量。 证明　设正方体的棱长为1,以D为原点,分别以,,D的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则D=(1,1,1),=(-1,1,0),A=(-1,0,1)。于是有D·=0。所以D⊥,即DB1⊥AC。同理,DB1⊥AD1,又AC∩AD1=A,所以DB1⊥平面ACD1,从而是平面ACD1的一个法向量。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.若点A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为 (A) A.a=(1,2,3) B.b=(1,3,2) C.c=(2,1,3) D.d=(3,2,1) 解析　因为=(2,4,6),所以与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量。故选A。 2.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个法向量是 (D) A.,,- B.,-, C.-,, D.-,-,- 解析　由=(-1,1,0),=(-1,0,1),结合选项,验证知选项D符合题意。 3.若直线l∥α,且l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为,则m= -8 。  解析　因为直线l∥α,所以直线l的方向向量与平面α的法向量垂直,所以(2,m,1)·=2++2=0,解得m=-8。 4.已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1)。若c为平面α的法向量,则m,n的值分别为 -1 , 2 。  解析　c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1)。由c为平面α的法向量,得解得 5.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,P是DD1的中点,O为底面ABCD的中心,求证:O是平面PAC的法向量。 证明　 建立空间直角坐标系如图所示,不妨设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),P(0,0,1),C(0,2,0),B1(2,2,2),O(1,1,0),于是O=(1,1,2),=(-2,2,0),=(-2,0,1),所以O·=-2+2=0,O·=-2+2=0。所以O⊥,O⊥,即OB1⊥AC,OB1⊥AP。因为AC∩AP=A,所以OB1⊥平面PAC,即O是平面PAC的法向量 学科网（北京）股份有限公司 $$