第2章 §4 直线与圆锥曲线的位置关系(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§4　直线与圆锥曲线的位置关系 情境导入 课程标准 观察上面图形,你能找出其中哪些是曲线,哪些是直线吗?请说出它们的位置关系。 1.了解直线与圆锥曲线的三种位置关系。 2.掌握直线与圆锥曲线相交所得弦的弦长。 自主预习明新知 1.直线与圆锥曲线的交点及位置关系 直线与圆锥曲线联立,消元得方程ax2+bx+c=0。 方程特征 交点个数 位置关系 直线与椭圆 a≠0,Δ>0 2 相交 a≠0,Δ=0 1 相切 a≠0,Δ<0 0 相离 直线与双曲线 a=0 1 直线与双曲线的渐近线平行且两者相交 a≠0,Δ>0 2 相交 a≠0,Δ=0 1 相切 a≠0,Δ<0 0 相离 直线与抛物线 a=0 1 直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交 a≠0,Δ>0 2 相交 a≠0,Δ=0 1 相切 a≠0,Δ<0 0 相离 2.直线与圆锥曲线相交的弦长问题 (1)圆锥曲线的弦 直线与圆锥曲线有两个不同的交点时,直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。 (2)弦长的计算 设直线l与圆锥曲线C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若直线l的斜率k存在,则 |AB|= =|x2-x1| =; 当直线l的斜率存在且不为零时, |AB|= =|y2-y1| =。 即|AB|= =(k≠0), 我们称上式为弦长公式。 特别地,当直线l的斜率不存在时,|AB|=|y1-y2|。 3.中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率。 (2)根与系数的关系法:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解。 微思考 直线和圆锥曲线只有一个公共点,是否可以说直线与圆锥曲线相切? 提示:不可以。因为当直线与椭圆只有一个公共点时,直线与椭圆相切;而当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时,也只有一个公共点,但不是相切。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　直线与圆锥曲线的位置关系 　　【例1】　若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆+=1总有公共点,求m的取值范围。 解　由消去y,得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0,所以Δ=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1)。因为直线与椭圆总有公共点,所以Δ≥0对任意k∈R都成立。因为m>0,所以5k2≥1-m恒成立,所以1-m≤0,即m≥1。又椭圆的焦点在x轴上,所以1≤m<5。 　　直线与椭圆的位置关系可类比直线与圆的位置关系来判断,一般用Δ法判别,其步骤是:(1)联立方程组;(2)消元,转化为一元二次方程;(3)计算Δ=b2-4ac,当Δ>0时,直线和椭圆有两个交点(相交);当Δ=0时,直线和椭圆有且只有一个公共点(相切);当Δ<0时,直线和椭圆没有公共点(相离)。 【变式训练】　已知直线l:kx-y+2-k=0,双曲线C:x2-4y2=4。当k为何值时: (1)l与C无公共点; (2)l与C有唯一公共点; (3)l与C有两个不同的公共点。 解　将直线方程与双曲线方程联立,消去y得 (1-4k2)x2-8k(2-k)x-4(k2-4k+5)=0　①。 (1)要使l与C无公共点,即方程无实数解,当1-4k2=0时,方程有解,不满足条件;当1-4k2≠0时,Δ<0,即64k2(2-k)2+16(1-4k2)(k2-4k+5)<0,解得k<或k>。故当k<或k>时,l与C无公共点。 (2)当1-4k2=0,即k=±时,显然方程①只有一个解,l与C有唯一公共点;当1-4k2≠0时,Δ=0,得k=时,l与C有唯一公共点。 (3)当1-4k2≠0且Δ>0时,方程①有两个不同的解,即l与C有两个公共点,即<k<且k≠±。 类型二　弦长问题 　　【例2】　已知动点P与平面上两定点A(-,0),B(,0)连线的斜率的积为定值-。 (1)试求动点P的轨迹方程C; (2)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M,N两点,当|MN|=时,求直线l的方程。 解　(1)设动点P的坐标是(x,y),由题意得kPA·kPB=-。所以·=-,化简整理得+y2=1。故P点的轨迹方程C是+y2=1(x≠±)。 (2)设直线l与曲线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),由得(1+2k2)x2+4kx=0。Δ=16k2-4(1+2k2)·0=16k2>0,所以k≠0,所以x1+x2=,x1x2=0。|MN|=·=,整理得k4+k2-2=0,解得k2=1。所以k=±1,经检验符合题意。所以直线l的方程是y=±x+1,即x-y+1=0或x+y-1=0。 　　求弦长的两种方法:(1)求出直线与圆锥曲线的两交点坐标,用两点间距离公式求弦长。(2)联立直线与圆锥曲线的方程,消元得到关于一个未知数的一元二次方程,利用弦长公式:|P1P2|=·或|P1P2|=·,其中x1,x2(y1,y2)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长。 【变式训练】　已知抛物线x2=4y被直线y=2x+k截得的弦AB长为20,求实数k的值。 解　将y=2x+k代入x2=4y得x2-8x-4k=0,由Δ=64+16k>0可知k>-4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,x1x2=-4k,由|AB|=|x1-x2|=×=20,解得k=1,满足条件。故k=1。 类型三　中点弦问题 　　【例3】　已知双曲线的方程为x2-=1,是否存在被点B(1,1)平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线方程;如果不存在,请说明理由。 解　解法一:设被B(1,1)平分的弦所在的直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程x2-=1,得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0,所以Δ=[-2k(k-1)]2-4(k2-2)(k2-2k+3)>0,解得k<,且x1+x2=。因为B(1,1)是弦的中点,所以=1,所以k=2>。故不存在被点B(1,1)平分的弦。 解法二:设存在被点B平分的弦MN,M(x1,y1),N(x2,y2)。则x1+x2=2,y1+y2=2,且①-②得(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)×(y1-y2)=0。所以kMN==2,故直线MN的方程为y-1=2(x-1)。由消去y,得2x2-4x+3=0,Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0。这说明直线MN与双曲线不相交,故被点B平分的弦不存在。 　　中点弦问题的求法:(1)可联立方程组消元后,用判别式和中点坐标公式求解。(2)可以用点差法和中点坐标公式求解。 【变式训练】　已知椭圆+=1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点。 (1)当直线l的斜率为时,求线段AB的长度; (2)当点P恰好为线段AB的中点时,求l的方程。 解　(1)由已知可得直线l的方程为y-2=(x-4),即y=x。联立解得或所以A3,,B-3,-,|AB|==3。所以线段AB的长度为3。 (2)当直线l的斜率不存在时,不符合题意。设l的斜率为k,则其方程为y-2=k(x-4)。联立消去y并整理,得(1+4k2)x2-(32k2-16k)x+(64k2-64k-20)=0。若设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,由于AB的中点恰好为P(4,2),所以==4,解得k=-,且满足Δ>0。这时直线的方程为y-2=-(x-4),即x+2y-8=0。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则 (C) A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 2.函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切,则a= (B) A. B. C. D.1 解析　将y=x代入y=ax2+1得ax2-x+1=0,因为相切,所以Δ=1-4a=0,所以a=。故选B。 3.已知抛物线y2=8x,直线AB的斜率为2,且过抛物线的焦点,则|AB|= 10 。  解析　抛物线y2=8x的焦点为(2,0),则直线AB的方程为y=2(x-2)。由得x2-6x+4=0。设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,故|AB|=x1+x2+4=10。 4.双曲线x2-y2=9被直线x-2y+1=0截得的弦长为  。  解析　联立得3y2-4y-8=0。y1y2=-,y1+y2=。则弦长l=·=×=。 学科网（北京）股份有限公司 $$