第2章 §3 3.2 抛物线的简单几何性质(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

3.2　抛物线的简单几何性质 情境导入 课程标准 　　一只很小的灯泡发出的光,会分散地射向各方,但 把它装在手电筒里,经过适当调节,就能射出一束较强的平行光,这是什么原因呢? 1.掌握抛物线的几何性质。 2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题。 3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题。 自主预习明新知 抛物线的简单几何性质 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 图象 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 对称 轴 x轴 x轴 y轴 y轴 续表 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 焦点 坐标 准线 方程 x=- x= y=- y= 顶点 坐标 O(0,0) 离心 率 e=1 微思考 过焦点垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段长度是多少? 提示:这条线段是抛物线的通径,长度为2p,借助于通径可以画出较准确的抛物线。 合作探究攻重难 　　　　　　　　　　　　　　 类型一　由抛物线的几何性质求标准方程 　　【例1】　已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长为2,求抛物线的方程。 解　设所求抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),抛物线与圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),则|y1|+|y2|=2,即y1-y2=2。由对称性,知y2=-y1,代入上式,得y1=,把y1=代入x2+y2=4,得x1=±1,所以点(1,)在抛物线y2=2px上,点(-1,)在抛物线y2=-2px上,可得p=。于是所求抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x。 　　求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置,不同的焦点设出不同的方程。 【变式训练】　边长为1的等边三角形AOB,O为坐标原点,AB⊥x轴,以O为顶点且过A,B的抛物线方程是 (C) A.y2=x B.y2=-x C.y2=±x D.y2=±x 解析　设抛物线方程为y2=ax(a≠0)。又A±,(取点A在x轴上方),则有=±a,解得a=±,所以抛物线方程为y2=±x。故选C。 类型二　抛物线的焦点弦问题 　　【例2】　已知抛物线方程为y2=2px(p>0),过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|=p,求AB所在的直线方程。 解　由题意知焦点F,0,设A(x1,y1),B(x2,y2)。若AB⊥x轴,则|AB|=2p<p,不满足题意。所以直线AB的斜率存在,设为k,则直线AB的方程为y=kx-,k≠0。由消去y,整理得k2x2-(k2p+2p)x+=0。由根与系数的关系得x1+x2=p+。所以|AB|=x1++x2+=x1+x2+p=2p+=p,解得k=±2。所以AB所在的直线方程为y=2x-或y=-2x-,即2x-y-p=0或2x+y-p=0。 　　(1)解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题,从而可借助根与系数的关系进行求解。(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论。 【变式训练】　已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点。 (1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值; (2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离。 解　(1)因为直线l的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°=。又F,0,所以直线l的方程为y=x-。联立消去y得x2-5x+=0。若设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5,又|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p,所以|AB|=5+3=8。 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p=x1+x2+3=9,所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3,又准线方程是x=-,所以点M到准线的距离等于3+=。 类型三　抛物线性质的应用 　　【例3】　已知抛物线y2=2px(p>0)的准线l与x轴相交于点K,BK与抛物线的焦点弦AB垂直,AH垂直于x轴,求证:|AH|=|BH|。 证明　如图,记抛物线的焦点为F,过A,B作准线l的垂线,垂足分别为A1,B1。由抛物线的定义得|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|。连接AK,因为FK∥AA1∥BB1,所以=,所以=,所以Rt△AA1K∽Rt△BB1K,所以∠A1KA=∠B1KB,所以∠1=∠2。又BK⊥AB,AH⊥KH,所以AHBK是圆内接四边形,其中AK为圆的直径。所以∠3=∠2,∠1=∠4,又∠1=∠2,所以∠3=∠4,所以|AH|=|BH|。 　　这里充分利用了抛物线的定义、平面几何知识,并结合图形使问题得以顺利地解决。对于本例,使用几何方法比代数方法更为简捷。 【变式训练】　设直线l过抛物线y2=4px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于P,Q两点,由P,Q分别向准线引垂线PR,QS,垂足分别为R,S,设|PF|=a,|QF|=b,M为RS的中点,则|MF|=。 解析　 如图所示,连接RF,SF。因为PR∥OF,所以∠PRF=∠RFO。由抛物线的定义知|PR|=|PF|,所以∠PRF=∠PFR,所以∠PFR=∠RFO。同理,∠SFO=∠SFQ,从而∠RFS=90°。由直角三角形的性质知|MF|=|RS|。又|RS|==2,所以|MF|=。 抛物线焦点弦常见性质 如图,AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的一条弦。设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),相应的准线为l。 (1)以AB为直径的圆必与准线l相切。 (2)|AB|=2x0+(焦点弦长与中点关系)。 (3)|AB|=x1+x2+p。 (4)若直线AB的倾斜角为α,则|AB|=,S△AOB=。当α=90°时,线段AB叫做抛物线的通径,是所有焦点弦中最短的。 (5)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即x1x2=,y1y2=-p2。 对以上(1)~(5)证明如下:(1)分别过A,B,M作准线l的垂线AA1,BB1,MM1,垂足分别为A1,B1,M1,如图所示。 由抛物线的定义可知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,在直角梯形ABB1A1中,|MM1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|,故圆心M到准线l的距离等于半径,所以以AB为直径的圆必与准线l相切。 (2)由(1)知,|MM1|=|AB|,则|AB|=2|MM1|,因为|MM1|=x0+,所以|AB|=2。 (3)因为|AF|=|AA1|=x1+,|BF|=|BB1|=x2+,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p。 (4)设直线AB的方程为x=my+,代入y2=2px,可得y2-2pmy-p2=0,所以y1y2=-p2,y1+y2=2pm,所以x1+x2=my1++my2+=m(y1+y2)+p=2pm2+p,当α=90°时,m=0,|AB|=x1+x2+p=2pm2+p+p=2p=;当α≠90°时,m=,|AB|=+2p=。综上所述,|AB|=。因为S△AOB=S△AOF+S△BOF=|OF|·y1+|OF|·(-y2)=|OF|·(y1-y2)=··=·,当α=90°时,m=0,S△AOB==;当α≠90°时,m=,S△AOB=·=。综上所述,S△AOB=。又当α=90°时,sin α取最大值,所以此时|AB|最短,即当α=90°时,弦AB是所有焦点弦中最短的。 (5)由(4)得y1y2=-p2,则x1x2=·===。 【典例】　(1)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 () A. B. C. D. (2)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为 () A.16 B.14 C.12 D.10 【解析】　(1)解法一:由题意可知,直线AB的方程为y=x-,代入抛物线的方程可得4y2-12y-9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=3,y1y2=-,故所求三角形的面积为××=。 解法二:运用焦点弦倾斜角相关的面积公式,则S△OAB===。 (2)解法一:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),由题意可知l1,l2的斜率存在且不为0。不妨设直线l1的斜率为k,则l1:y=k(x-1),l2:y=-(x-1),由消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2+,由抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+2=2++2=4+。同理得|DE|=4+4k2,所以|AB|+|DE|=4++4+4k2=8+4+k2≥8+8=16,当且仅当=k2,即k=±1时取等号,故|AB|+|DE|的最小值为16。 解法二:运用焦点弦的倾斜角公式,注意到两条弦互相垂直,因此|AB|+|DE|=+=+==≥16。 【答案】　(1)D　(2)A 　　上述两道题目均是研究抛物线的焦点弦问题,涉及抛物线焦点弦长度与三角形面积,从高考客观题快速解答的要求来看,常规解法显然小题大做了,而利用焦点弦性质,可以快速解决此类小题。 【变式训练】　过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=,|AF|<|BF|,则|AF|=  。  解析　y2=2x的焦点坐标为,0。由题干知A,B所在直线的斜率存在,设A,B所在直线的方程为y=kx-,A(x1,y1),B(x2,y2),x1<x2,将y=kx-代入y2=2x,得k2x-2=2x,所以k2x2-(k2+2)x+=0。所以x1x2=。而|AB|=x1+x2+p=x1+x2+1=,所以x1+x2=。所以x1=,x2=。所以|AF|=x1+=+=。 当堂检测提素养 　　　　　　　　　　　　　　 1.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p= (D) A.2 B.3 C.4 D.8 解析　椭圆+=1的焦点是(±,0),抛物线y2=2px(p>0)的焦点是,0,所以=,所以p=8,故选D。 2.若抛物线x2=8y上一点P(x0,y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍,则y0= (D) A. B. C.1 D.2 解析　抛物线x2=8y的准线为y=-2,点P(x0,y0)到焦点的距离等于P到准线y=-2的距离,所以y0+2=2y0,y0=2,故选D。 3.已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为 x2=16y 。  解析　双曲线-=1的离心率e=2,又e====2,所以=,双曲线的渐近线方程为y=±x。又抛物线焦点0,到y=±x的距离d===2,p=8,所以抛物线C2的方程为x2=16y。 4.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2)。若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为  。  解析　由抛物线y2=2px(p>0),得焦点F的坐标为,0,则FA的中点B的坐标为,1,代入抛物线方程得2p×=1,所以p=,所以B点到准线的距离为+=p=。 5.已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴。l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程。 解　由题意知,抛物线方程为y2=2px(p≠0),焦点F,0,直线l:x=,所以A,B两点的坐标分别为,p,,-p,所以|AB|=2|p|,因为△OAB的面积为4,所以··2|p|=4,所以p=±2。所以抛物线方程为y2=±4x。 学科网（北京）股份有限公司 $$