第2章 §2 2.1 双曲线及其标准方程(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxK.com 您身边的互联网+教辅专家 $2 双曲线 2.1 双曲线及其标准方程 情境导入 课程标准 做下面一个实验。(1)取一条拉链拉开一部分。(2)在拉开的两边各选择一点 分别固定在点F.F上。 1.了解双曲线的定义、几何图形 和标准方程。 2.通过双曲线方程的学习进一步 体会数形结合的思想 (3)把笔尖放在M处.随着拉链的拉开或闭拢画出一条曲线。试观察这是一条什么 样的曲线?点M在运动过程中满足什么几何条件? 自主预习明新知 1.双曲线的定义 平面内到两个定点F.B的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于FF)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线。 这两个定点F叫作双曲线的焦点,两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距 2.双曲线的标准方程 焦点所在 x轴 的坐标轴 v轴 标准 方程 (a>0bo) (a>obo) 续表 焦点所在 x轴 的坐标轴 ### 图形 焦点 F(-c0). 坐标 f(Co) (o-c)E(o.c abc的 关系式 c2=a2+b2 合作探穷攻重难 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 类型一 双曲线定义的应用 #知FP是双曲线=一1的两个焦点。 【例1】 (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16.求点M到另一个焦点的距离: (②)若点P是双曲线上的一点,且之FPF-60{*}求△FPB的面积。 解 (1)设 =16根据双曲线的定义知 -16=6即 -16=6解得 =10或ME=2 2 (2)由-1.得a-3.b=4.ce5。由定义和余弦定理得|PP1PF6. F-F-lP|2+P-21PP·Pcos 60% ,所以10-(IPP-1P)PF · Pl.所以P·IP64.所以S r, r1PP ·IP· sin FiPF 64$ -16。 反思感悟 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时,若已知该点的横、纵坐标则根据两点间的距离公式可求结果若已知该点 到另一焦点的距离,则根据 PF -PF。=2a求解,注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去目所求距离应该不小 于c-a)。(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时,首先要注意定义中的条件||PF1-lPF|=2a的应用;其次是要 利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算,在运真中要注意整体思想和一些变形技巧的应用 【变式训练】 (1)(多选)已知定点F(-20)F(20)在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是 (B) A. P -Pl=士2 B. PF-PPl=士3 C. PF -lPP-士4 D. PF 2-P2-士4 解析 FF。=4.根据双曲线的定义知选AB。 等于48。 解析 线C的右支上点所以PF -PF =2a=6所以P |=16。如图过E作FT1PF 于7.则T为P 的中点目 PT|=8所以 |FTl=6.所以S△PFF-×16X6=48。 ## 类型二 求双曲线的标准方程 【例2】 根据下列条件,求双曲线的标准方程: 40). (2)与双曲线爸 (3)过点#(3)。(1)焦点在标往上。 焦点在y轴上时,设所求标准方程为-=1(b>20).,把点A的坐标代入得b=9。故所求双曲线的标准方程为=1。 线经过点(322).所以=1②。由①②得a-=12.b-8.故双曲线的标准方程为号=1。 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [9A+15B=1, #A=-1# (25A+25B=1. 解得B一。 (3)设双曲线的方程为Ax2+By^=1.AB(0。因为点P.Q在双曲线上,所以 故 双曲线的标准方程为号一1。 反思悟 双曲线标准方程的两种求法:(1)定义法根据双曲线的定义得到相应的abc再写出双曲线的标准方程。(2待定系 提醒若焦点的位置不明确应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为nx+ny=1的形式注意标明条件n0 【变式ll练】 求适合下列条件的双曲线的标准方程。 (1)a-3c-4.焦点在x轴上: (3)以=1长轴的端点为焦点,且经过点(3、10)。 ②焦点为(0-)(06)经过点A(-5.6: 程为。 (1)由题设知a=3c=4.由ca+b得b=c2-=4-3=7。因为双曲线的焦点在x轴上所以所求双曲线的标准方 (2)由已知得c-6.且焦点在y轴上。因为点A(-5.6)在双曲线上所以2a-l(-5-0){+(6+6){}- (-5-0){}+(6-6){}1-113-5]1-8.则a-4.b-c-a--6-4-20。所以所求双曲线的标准方程是=1。 =1.解得a_3.b-=5。故所求双曲线的标准方程为{-21。 类型三 表示双曲线方程的条件 【例3】 (1)已知方程(1+x-(1-=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围为 ) A.(-1.1) B(1) C.(--1) D.(--1)U(1+) (1十k>0. fk-1. 由题意得1-k>0. 解析 解得k<1 即-1k1。故选A. 72-m>0. (2-m<0 依题意有 |ml-3<0或|ml-3>0. 解析 解得-3n2或m)3。所以n的取值范围是(-3.2)U(3.+~)。 拉思感悟 nv}+ny=1表示双曲线的充要条件是m0。当焦点在x轴上时n0n0当焦点在y输上时0n>0 【变式训练】 求满足下列条件的参数的值 (2)圆=1与双曲线1有相的焦点求a的值。 (1)已知双曲线方程为2xvk焦距为6求k的值 解 3.即k--6。综上所述,k的值为6或-6。 (2)由双曲线方程知焦点在x轴上目c=a+2(a>0)。由圆方程,知c*=4-a所以a+2=4-a即a+a-2=0解得a=1或 a-2(舍去)。因此a的值为1。 当堂检测提素养 1.已知F(-5.0)E(5.0)为定点动点P满足PE |-PF=2a当a=3和a=5时P点的轨迹分别为 D A.双曲线和一条直线 B.双曲线的一支和一条直线 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxK.com 您身边的互联网+教辅专家 C.双曲线和一条射线 D.双曲线的一支和一条射线 解析 因为FF=10 |PF |-PF=2a所以当a=3时2a6FE |为双曲线的-支:当a=5时2a=10=FF为-条射线 2.双曲线方程为x-2y=1.则它的右焦点坐标为 {#。) (_t。) A. .t#) D.5o) (B A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当k>9时,9-k<0.k-4>0。方程表示双曲线。当k<4时,9-k>0.k-4<0.方程也表示双曲线。所以“k>9*是{方程 (用数值表示) 上一点且PF |=9根据双曲线的定义可知| PF |-PF |=2a=8所以PF=17.或PF=1.故答案为17或1。 5.设双曲线与圆=1有共同的焦点,且与圆的一个公共点的纵坐标为4.求双曲线的标准方程。 由圆方程得焦点坐标为(0.土3)圆与双曲线的一个公共点为(V1574)。设所求的双曲线方程为- 解 {-1+=1. (a2-4. 解得2-5。 =1(a>0b0).则 1a2+62-9. 故所求双曲线的标准方程为_-21。 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 独家授权侵权必究