课时达标检测(7) 平面直角坐标系中的距离公式(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

课时达标检测(七)　平面直角坐标系中的距离公式 基础达标 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.点(1,-1)到直线y=1的距离是 (D) A. B. C.3 D.2 解析　d==2。故选D。 2.直线l过点A(3,4)且与点B(-3,2)的距离最远,那么l的方程为 (C) A.3x-y-13=0 B.3x-y+13=0 C.3x+y-13=0 D.3x+y+13=0 解析　由题意知直线l与AB垂直,且过A点,所以kl·kAB=-1,又因为kAB==,所以kl=-3,所以l的方程为y-4=-3(x-3),即3x+y-13=0。 3.若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1,l2间的距离是 (B) A. B. C.4 D.2 解析　因为l1∥l2,所以解得a=-1。所以l1的方程为x-y+6=0,l2的方程为-3x+3y-2=0,即x-y+=0,所以l1,l2间的距离是=。故选B。 4.两平行线分别经过A(3,0),B(0,4),它们之间的距离d满足的条件是 (B) A.0<d≤3 B.0<d≤5 C.0<d<4 D.3≤d≤5 解析　当两平行线与AB垂直时,两平行线间的距离最大为|AB|=5,所以0<d≤5。 5.若两条平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于,则k的取值范围是 (C) A.[-11,-1] B.[-11,0] C.[-11,-6)∪(-6,-1] D.[-1,+∞) 解析　y=-2x-k-2可化为2x+y+k+2=0,由题意,得=≤,且k+2≠-4,所以-11≤k≤-1,且k≠-6。 6.光线从点A(-3,5)射到x轴上,经反射以后经过点B(2,10),则光线从A到B经过的路程为 (C) A.5 B.2 C.5 D.10 解析　点A(-3,5)关于x轴的对称点为A'(-3,-5),则光线从A到B经过的路程为A'B的长度,|A'B|==5。故选C。 二、多项选择题 7.到直线2x+y+1=0的距离等于的直线方程可以为 (AD) A.2x+y=0 B.2x+y-2=0 C.2x-y-2=0 D.2x+y+2=0 解析　根据题意可设所求直线方程为2x+y+C=0(C≠1),因为两直线间的距离等于,所以d==,解得C=0或C=2,故所求直线方程为2x+y=0或2x+y+2=0。 8.已知在△ABC中,A(3,2),B(-1,5),点C在直线3x-y+3=0上。若△ABC的面积为10,则点C的坐标可以为 (AB) A.(-1,0) B.,8 C.(1,6) D.-,-2 解析　设C(m,n),由|AB|=5,△ABC的面积为10,得点C到边AB所在直线的距离为4。又线段AB所在直线的方程为y-5=-(x+1),即3x+4y-17=0。所以解得或故点C的坐标为(-1,0)或,8。 三、填空题 9.经过点P(-3,4),且与原点的距离等于3的直线l的方程为 x=-3或7x+24y-75=0 。  解析　①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-3,原点到直线l:x=-3的距离等于3,满足题意;②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-4=k(x+3),即kx-y+3k+4=0。由原点到直线l的距离d==3,解得k=-。所以直线l的方程为7x+24y-75=0。综上,直线l的方程为x=-3或7x+24y-75=0。 10.若直线l1:2x+my+1=0与直线l2:y=3x-1平行,则m= - ,此时直线l1与l2之间的距离为  。  解析　因为直线l1:2x+my+1=0与直线l2:y=3x-1平行,所以-=3,所以m=-,故直线l1:6x-2y+3=0,直线l2:6x-2y-2=0。则直线l1与l2之间的距离为=。 11.已知直线l1:2x+3y=1和直线l2:4x+6y-9=0,若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为2∶1,则直线l的方程为 2x+3y-8=0或6x+9y-10=0 。  解析　直线l1的方程可化为4x+6y-2=0。易知l1∥l2,且直线l与直线l1,l2平行,所以设直线l的方程为4x+6y+C=0(C≠-2且C≠-9),由题意,可得=2×,解得C=-16或C=-。故直线l的方程为4x+6y-16=0或4x+6y-=0,即2x+3y-8=0或6x+9y-10=0。 四、解答题 12.已知△ABC三边所在直线的方程分别为lAB:3x-2y+6=0,lAC:2x+3y-22=0,lBC:3x+4y-m=0(m∈R,m≠30)。 (1)判断△ABC的形状。 (2)当BC边上的高为1时,求实数m的值。 解　(1)直线AB的斜率为kAB=,直线AC的斜率为kAC=-,所以kAB·kAC=-1,所以直线AB与AC互相垂直,因此△ABC为直角三角形。 (2)由得即A点坐标为(2,6)。由点到直线的距离公式,得点A到BC边的距离即BC边上的高为==1,即|30-m|=5,解得m=25或m=35。 13.已知点P(2,-1)。 (1)求过点P且与原点的距离为2的直线的方程; (2)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由。 解　(1)①当直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,符合题意; ②当直线的斜率存在时,设斜率为k,则直线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0。根据题意,得=2,解得k=,所以直线方程为3x-4y-10=0。故符合题意的直线方程为x-2=0或3x-4y-10=0。 (2)不存在。理由:过点P且与原点的距离最大的直线为过点P且与OP垂直的直线,此时最大距离为|OP|==,而6>,故不存在这样的直线。 素养升级 14.已知x,y∈R,S=+,则S的最小值是 (B) A.0 B.2 C.4 D. 解析　S=+可以看作是点(x,y)到点(-1,0)与点(1,0)的距离之和,数形结合易知最小值为2。 15.设直线l1:x+3y-7=0与直线l2:x-y+1=0的交点为P,则P到直线l:x+ay+2-a=0的距离的最大值为 (A) A. B.4 C.3 D. 解析　由得故P(1,2)。直线l的方程可整理为x+2+a(y-1)=0,故直线l过定点Q(-2,1)。因为点P到直线l的距离d≤|PQ|,当且仅当l⊥PQ时等号成立,所以dmax=|PQ|==。故选A。 16.在平面直角坐标系xOy中,设直线l1:kx-y=0,直线l2:(2k-1)x+(k-1)y-7k+4=0,k∈R。 (1)求证:直线l2过定点C,并求出点C的坐标; (2)当k=2时,设直线l1,l2的交点为A,过A作x轴的垂线,垂足为B,求点A到直线BC的距离d,并求△ABC的面积。 解　(1)证明:因为直线l2:(2k-1)x+(k-1)y-7k+4=0,所以(2x+y-7)k-(x+y-4)=0,由得所以直线l2过定点C(3,1)。 (2)当k=2时,直线l1:2x-y=0,直线l2:3x+y-10=0,由得即A(2,4),B(2,0)。所以直线BC的方程为=,即x-y-2=0,所以点A(2,4)到直线BC的距离d==2。因为|BC|==,所以△ABC的面积S=×2×=2。 学科网（北京）股份有限公司 $$