平面向量的数量积专项练习-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【平面向量的数量积专项练习】【期中期末精选】 总览 题型梳理 题型一：数量积的计算 题型二：向量的夹角问题（含平行与垂直） 题型三：向量的模长计算 平面向量的数量积 题型四：投形向量 题型五：向量的最值与取值范围 题型六：极化恒等式的应用 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：数量积的计算】 一、单选题 1.(22-23高一下，福建福州·期中)己知向量a,c在由7×4小正方形（边长1）组成的网格中的位置如图所 示，则(2a+b)c=() A.12 B.4 C.6 D.3 【答案】C 【分析】选择适当的向量作为平面向量基底，用基底来表示向量云c,即可解 【详解】以网格的小正方形相邻两边所在方向单位向量看为基底如图 则a=2-j,6-2i+2j,c-i+2j, 2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 所以2a+b=6i,则(2a+b)c=6i:1+2j=6 i 故选：C 2.(23-24高一下福建泉州期中)如图，点A,B,C均在边长为1的小正方形组成的网格上，则 AB-AC-2AB=（) B A.-10 B.-V10 C.10 D.10 【答案】A 【分析】根据给定的条件，求出AB,AC,BC1,进而判断三角形形状，再利用数量积的运算律计算即得 【详解】依题意，1 BCHAB卡P+3=0,AC=√4+2=25， 显然1BC2+|AB2=AC2,即∠ABC=90°， AB-(AC-2AB)=AB(AC-AB-AB)=AB.(BC-AB)=AB.BC-AB'=-10 故选：A B 3.(20-21高一下浙江丽水期末)已知A8C的外接圆圆心为0，且240=B+4C,O-,则 BA·BC=() A.iBC B.-IBC' 2 2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 c.5nc' D.BC' 4 【答案】A 【分析】由题意可知BC是圆的直径，△OAB为等边三角形，然后由平面向量的数量积求解即可 【详解】 B 0 因为2AO=AB+AC,所以点O是BC的中点，即BC是圆的直径， 又因为OA=AB=OB=R,R是圆的半径， 所以△OAB为等边三角形， 所以ABO ABC 60, 所以B1:Bc=Bcos60=Rx2RxR-8C, 4 故选：A 4.(2023北京朝阳一模)如图，圆E为ABC的外接圆，AB=4,AC=6,D为边BC的中点，则 AD.AE=() A A.26 B.13 C.10 D.5 【答案】B 【分析】由中点关系可得D=征+A0,利用E为48C的外接圆的圆心，可待 正丽=丽=×4=8，同理可得正Cc=18,即可得出结论。 【详解】由于D是BC边的中点，可得AD=(+AC, 3 2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 E是ABC的外接圆的圆心， :正西花1丽cos∠BE支西=x4=8, 同理可得正C=C18, 而正-而+40-正-正+正c-x8+18=13。 故选：B 5.(223高一下河南阶段练习)在4BC中，4B=4C=4,∠B4C=号，点D为边BC上靠近B的三等 分点，则AD.BC的值为() 16 A.3 16 B. C.-4 D.4 3 【答案】B 【分析】利用B、AC表示向量AD、BC,利用平面向量数量积的运算性质可求得AD·C的值 【详解】如下图所示： B 而=丽+丽-仍+c=+(C-丽到-+c, 由平面向量数量积的定义可得C=网Cco号1x4×2, 因此，AD.Bc=2B+AC)AC-AB)=AC+AB.AC-2aB） 4+2-2)-9 故选：B 6.(23.24商一下山东德州阶段练习)如图，在4BC中，∠B4C=行D=2DB,P为CD上一点，且 =mAC+号，若C卡3，西4，则的值为() D 4 2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 A.-5 B.5 c D. 13 12 【答案】C 【分析】先利用向量共线求得m的值，再依据向量数量积即可求得AP.AB的值 【详解】记B=a,AC=i,则同=4，=3，(a,-子 则a万=4×3×)6，又0=2DB,则D=2a, 则D=nC+须=6+0=m6+而， 又C,P,D三点共线，则m+3=1,解之得m= 则AP·AB i+aa=a-6+a=x6+x16=19 1-11 1 2 4 2 4 2 2 故选：C 7.(21-22高三上·福建三明期末)己知△ABC中，AB=AC=1,BC=√2，点O是△ABC的外心，则 CO.AB=() A.- 2 B.- c D. 2 【答案】C 【分析】由△ABC为等腰直角三角形，得出∠ABC=45,COAB=BC.BA结合数量积公式计算即可 【详解】AB2+AC2=BC2,.AC⊥AB,即△ABC为等腰直角三角形，即∠ABC=45 :点O是△ABC的外心，：点O是BC的中点 C0.B=8c-BA=×xIx5 故选：C 二、填空趣 8.(23-24高一下：福建福州期末)已知∠ABC=60°，AB=2,BC=√5，则AB.BC= 【答案】-5 【分析】由向量数量积公式AB.BC=4B-BCcos(AB,BC)算得结果，注意这两个向量夹角不是∠ABC, 而是它的补角 5 2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【详解】而c-@ceos(a.c)-2x5x习-5 故答案为：-√5 9.(22-23高一下·天津滨海新期中)已知在ABC中，AB=5,AC=6,BC=5,则 AB.BA+BC= 【答案】-32 【分析】取BC的中点D,连接BD,将BA+BC用BD表示，再利用向量数量积的定义结合等腰三角形性 质求解作答 【详解】在ABC中，AB=5,AC=6,BC=5,取BC的中点D,连接BD,如图， D 则有BD⊥AC,且BD=√AB'-AD=V52-32=4,BA+BC=2BD, 所以AB(BA+BC)=-BA~2BD=-21 BAI BD1cos∠ABD=-21BD=-32 故答案为：-32 10.(22-23高三上福建福州期中)已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=120°，点E,F分别在边BC,DC上， BE=BC,DF=DC,则BF.DE= 3 【答案】-66 【分析】根据条件配：号BC,DF-DC,得到BF=号DC-历，D正=DC+C西，再根据数量积的运 算及条件即可求出结果 【详解】因为配=号8C,F-号Dc, 所以F=CF-CB=-2DC-Ci,DE=DC+CE=DC+CB, 3 则FE-(c-0c8=0cc.西-西c-, 又菱形ABCD的边长为6，∠BAD=120°， 所以8F.0E=子×36-×6x6x060°-6x6xcm60°-×36=-24-6-18-18=-66. 3 3 故答案为：-66 2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【题型二：向量的夹角问题（含平行与垂直）】 1.(2024云南楚雄一模)已知向量a,无满足d-=a-i=2,口-=0，则cos(a,)=（) B.2 【答案】A 【分析】利用向量的相关知识，计算出=5，借助数量积公式计算即可 【详解】结合题意：口-=+-2-方=10，：同+=14， (a-列-日+-2=4，=5， cos(a.B= ab 2 丽 5 故选：A 2.(23-24高-下福建福州期中)若向量ā，满足a-25,=4,ā1(a-6),则a与的夹角为() A月 B. 2π D.6 π 【答案】C 【分析】结合ā⊥（ā-b),则由数量积为0结合数量积的定义以及运算律即可求解夹角 【详解】设ā与五的夹角为0,0e0,π， 同=25,5=4，a1(a-), a2-a6=l2-la5cos0=12-85cos0=0, cos0=3 点0= 2 6 故选：C 3.(2024江苏南京模拟预测)已知云、均为单位向量，且a+=a-,则云与万-a的夹角大小为() 2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 A B C3玩 D.π 4 【答案】C 【分析】由模长公式求出ā6=0，方-叫，进而由夹角公式求解即可 【详解】因为a+-a-,所以a2+6+2a6=a2+62-2a6,即ab=0 5-d=后+6-2a6=5, a-6-d.-1-5 则ma6-0)那-h 因为(a,-d)e0,小，所以云与万-a的夹角大小为 4 故选：C 4.(22-23高三上福建福州期中)已知向量ā，6满足a=5,=6,ā-方=-6，则cos(6,ā+)=(） A马 B. 19 C.35 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积公式及求夹角公式可求解 【详解】因为a=5,=6,āb=-6, 所以万-(a+)=a6+62-=a-6+时=6+36=30， a+6-Va+6=va2+2ā-6+6-25-12+36=49=7， 所以cos(6,a+b) 后+6 故选：D 5.(23-24高三上江苏连云港阶段练习)向量=同=1，日=5且a+i+c=0,则cos(a-c,i-c）=() A号 B.3 14 c 【答案】A 【分析】利用平面向量的数量积及模长计算夹角即可 2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【详解】由已知可得c=-(a+b)→c2=+b2+2ab=a-6=} 又a-c=2a+b,b-c=2b+a, 2a+b)a+2b) 所以cosa-c,b-c= 2a2+5a.b+2b213 4a2+4ab+62462+4a.b+a2 √7×√7 -14 故选：A 6.(23-24高一下福建泉州期中)已知向量2d=6=25,a.6=2,则cos(a-i,a)=（) A.面 D. 33 B. 11 【答案】B 【分析】先计算后-，再代入向量的夹角公式计算即可 【详解】--a-矿-后+6-2a6-而， 所以cos(a-6,a} (a-aa-a.i。13的 a-阿1×533对， 故选：B 二、填空题 7.(22-23高一下·福建厦门期中)如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点 B的三等分点，AF与DE交于M,则cos∠EMF=, D C M B E 【答案】巨5 1010 【分析】令AB,AD=b作为基底，将AF,DE表示出来，再根据向量的数量积公式求夹角即可 【详解】解：设a,D=6,则=+所=+兮8C=+兮而=a+与场。 9 2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 DE=征-D-)B-D=)a-6,又d-=6,ai=0 所以cos∠EMF=cos DE,AF= DE.AF -6+ DE .AF 1 a2-162 6 √2 +6+ 3W5×21010 0 故答案为： 分 8.(22-23高一下·福建龙岩期中)如图，在ABC中，已知AB=2,AC=4,LBAC=60°，BC,AC边上 的两条中线AM,BN相交于点P,则∠APN的余弦值为一· 【】识-古5 【分析】根据题意建立直角坐标系，从而得到各点坐标，进而利用向量夹角余弦的坐标表示即可得解 【详解】依题意，以A为原点，AC所在直线为x轴，过A作AC的垂线为y轴，如图所示， A C 因为AB=2,AC=4,∠BAC=60°， 所以A0,o,B,5.C4,0.N2,0,则M3,5 22 MA= 2-2 BN=L,-√5)， “∠APN即为向量M与BN的夹角， 102024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【平面向量的数量积专项练习】【期中期末精选】 总览 题型梳理 题型一：数量积的计算 题型二：向量的夹角问题（含平行与垂直） 题型三：向量的模长计算 平面向量的数量积 题型四：投形向量 题型五：向量的最值与取值范围 题型六：极化恒等式的应用 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：数量积的计算】 一、单选题 1.(22-23高一下·福建福州·期中)己知向量a,c在由7×4小正方形（边长1）组成的网格中的位置如图所 示，则(2a+b)c=() A.12 B.4 C.6 D.3 2.(23-24高一下·福建泉州期中)如图，点A,B,C均在边长为1的小正方形组成的网格上，则 2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 ABAC-2AB=() A A.-10 B.-V10 C.10 D.10 3.(2021高一下浙江丽水期末)已知4BC的外接圆圆心为0，且20=B+4C,可-，则 BA·BC=() B.-IBC 4 c.5nc' D.5 4 4.(2023北京朝阳一模)如图，圆E为ABC的外接圆，AB=4,AC=6,D为边BC的中点，则 AD·AE=() A B D A.26 B.13 C.10 D.5 5.(2,23高-下河南阶段练习)在4BC中，4B=l4AC=4,∠BAC:子，点D为边BC上靠近B的三等 分点，则AD.BC的值为() A.、16 6 B. C.-4 D.4 6.(23-24高一下山东德州阶段练习)如图，在ABC中，LBAC=,AD=2DB,P为CD上一点，且 2 2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 P=mAC+)AB,若AC卡3,4B=4,则P.AB的值为(） D B A.-5 B.5 C. D.3 2 7.(21-22高三上福建三明期末)己知△ABC中，AB=AC=1,BC=√2，点O是△4BC的外心，则 CO.AB=() A.-② 2 B.-3 C. D.2 2 二、填空题 8.(23-24高一下.福建福州期末)己知∠ABC=60°，AB=2,BC=V5,则AB.BC=一 9.(22-23高一下·天津滨海新期中)已知在ABC中，AB=5,AC=6,BC=5,则 AB.BA+BC= 10.(22-23高三上福建福州期中)己知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=120°，点E,F分别在边BC,DC上， 8E=}BC,DF-DC,则FD元=一 【题型二：向量的夹角问题（含平行与垂直）】 1.(2024云南楚雄一模)已知向量a,乃满足日-=ai=2,a-=0,则cos(a,}=（) A号 B. c月 D 2.(23-24高一下福建福州期中)若向量ā，B满足a=25,=4,ā1(a-),则a与B的夹角为() A B 2π c D. 3.(2024江苏南京模拟预测)已知a、均为单位向量，且ā+=a-,则云与i-a的夹角大小为() A B. c D.π 3 2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 4.(22-23高三上福建福州期中)已知向量ā，6满足=5，=6，a-6=-6,则cos(6,ā+6)=（) A月 B. c号 5.(23-24高三上江苏连云港阶段练习)向量a=同=1，=5且a+b+c=0,则cos(a-c,6-c)=() B. 13 14 c 6.(23-24高一下.福建泉州期中)已知向量2=6=25，a6=2,则cos(a-i,a）=（) A. i B.3 33 33 c D. 11 二、填空趣 7.(22-23高一下.福建厦门期中)如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点 B的三等分点，AF与DE交于M,则cos∠EMF=一 F 8.(22-23高一下，福建龙岩期中)如图，在ABC中，已知AB=2,AC=4,∠B4C=60,BC,AC边上 的两条中线AM,BN相交于点P,则LAPN的余弦值为一· B 9,(23-24高一下福建泉州期中)已知向量a,乃满足1a=3,b=2,12a-6=23,则a与的夹角为 三、解答题 4 2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 10.(2324高三上陕西安康阶段练习)如图，在平行四边形A8CD中，M=}D,令a,4C=不 (I)用a,b表示AM,BM,CM: (2)若AB=AM=2,且AC.BM=10,求cos(a,b) 【题型三：向量的模长计算】 1.(24-25高三上河北保定阶段练习)已知向量a,乃满足d=2,口-2=2，且(a-)1a,则=（) A.② C.1 D.2 2 B.√2 2.(223高-下幅建泉州期中)平面向量a与Z的夹角为行，=0,21，则-251等于() A.22 B.2√5 C.10 D.4 3.(223高一下福建蒲田期末)在ABC中，∠BAC-骨4D=2DB,P为CD上一点，且满足 P=AC+}B.若1AC=2.AB=3,则A的值为() A.1 B. C. D.2 4.(23-24高一下福建福州期末)如图，平行四边形ABCD中，AB=2,AD=4.∠BAD=,E为CD的中点， 3 AE与DB交于F,则() B A.BF在AB方向上的投影向量为AB B.AF=24B+AD C.AF.AB=2 D.丽=2 3 5.(23-24高一下福建宁德期末)若平面向量a,6,c两两的夹角相等，1a=1,b=2,c=3,则1a+万+c=() 5 2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 A.3 B.6 C.5或6 D.3或6 二、填空题 6.(23-24高一下福建福州期末)己知向量a,的夹角为45，日=1，=2，则25-d= 7.(23-24高一下福建福州期末)己知向量a,币满足d=1,a+2=2,且(6-2a16,则 6= 三、解答题 8.(23-24商一下福建葡田期中)如图，在4BC中，D是4B的中点，历=}西。 6 B (①)若AC=2BC=2,∠4CB=60,求CD: (2)若C0=1CD,求1的值 9.(22-23高一下·江苏南京期末)己知ABC中，AB=2,AC=1,∠BAC=120°，点D在边BC上且满 足CD=2BD B (I)用AB、AC表示AD,并求AD: (②)若点E为边AB中点，求C正与AD夹角的余弦值 6 2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 10.(2021高一下广东深圳期末)如图，在A8C中，D=2B,点E为4C中点，点F为BC上的三 等分点，且靠近点C,设CA=ā，CB=b (1)用a,b表示EF,CD: (2)如果LACB=60°，AC=2,且CD⊥EF,求CD 【题型四：投影向量】 一、单选趣 1.(23.24商一下都建福州期未)已知向量a与的夹角是寻x,且间=反，-2，则向量a在向量 五上的投影向量是() A.-b B.Z c D.-6 2 2.(2024浙江绍兴三模)若非零向量a,五满足a==a+列，则ā+25在方向上的投影向量为() A.26 B. 36 C. 3.(2024黑龙江佳木斯三模)己知非零向量a,B满足2ā+)上(2ā-，且向量a在向量B上的投影向 量是56，则石与的夹角是() 4 A. 6 B. c D.Sx 6 4.(23-24高一下重庆渝中：期中)已知等腰A8C中，A=名元，测BC在B1上的投影向量为() C.3BA D.-3BA 7 2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 5.(23-24高一上福建莆田期末)己知ABC外接圆圆心为0，半径为1,2A0=AB+AC,且 5OA=AB,则向量AB在向量BC上的投影向量为() 3BC A 4 B.BC 4 c. D.-3BC 4 6.(22-23高一下.福建福州期末)在ABC中，已知AC=4,向量AB在向量AC方向上的投影向量为 AC BD=2DC,则AC.BD=() A.12 B.8 C.6 D.4 7.(223商一下相建龙岩期未)已知向量云。不。满足=3，网=4，的夹角的余弦值为}，则向 量G在向量五上的投影向量为() A.a B.3a c D. 96 8.(2023湖南长沙二模)已知单位向量a,的夹角为60°，则向量a+b在a方向上的投影向量为() 1 A.2 B. 2 c. 二、填空趣 9.(2324高一下·福建泉州期末)已知ABC中，AB=2√2，AC-1,向量A8在向量AC上的投影向量为 -2AC,则∠A= 三、未知 10.(2024全国模拟预测)已知向量ā，五满足=1，a+b=7,向量a在向量B方向上的投影向量为 3b,则a=() A.3 B.10 C.2 D.3 8 2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【题型五：向量的最值与取值范围】 一、单选趣 1.(2324高一下·福建福州期末)《易经》是闸述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》 中记载的几何图形一八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图 形代表八卦田，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，点P是正八边形ABCDEFGH的内部（包含边界） 任一点，则AP.EF的取值范围是() A B A.[-82,16+82 B.[-16-82,8v21 C.[-16-82,16+82] D.[-8v2,82 2.(22-23高一下福建福州期末)已知向量a,6均为单位向量，且a1方，向量C满足d=V5,则 (c-a(c-列的最大值为() A.3+6 B.3-V6 C.3+5 D.3-5 3.(22-23高一下，湖北期末)己知平面向量ā，b满足引ā=1，b=2且对t∈R,有16+a26-a1恒成立， 则2a-与的夹角为() B. 2 D. 4.(22-23高二下河南周口阶段练习)已知平面向量a,B满足同=6，a+2=3a-46,则a在b方向 上的投影向量的模的最小值为() A B.9 c号 D.4 9 2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 二、多选趣 5.(22-23高一下.福建龙岩期末)己知M是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面内一点， 1=(Ma+MC(MB+MD,则下列结论正确的是() A,当M为正六边形ABCDEF的中心时，t=号 B.t的最大值为4 C的最小值为4 D.t可以为0 三、填空趣 6.(23-24高一下·福建期末)在长方形ABCD中，AB=8,AD=6,点E,F分别为边BC和CD上两个 动点（含端点），且EF=5,设BE=BC,DF=μDC,则AE,AF的最小值为 7.(23-24高一下-广东佛山期中)如图，在ABC中，已知AB=√2，AC=4,∠BAC=45°，D为线段AC 上一动点，则CD.BD的最小值为一 D 8.(23-24高三上福建福州期末)己知⊙0的半径是1，点P满足0P=√2，直线PA与⊙0相切于点A, 直线PB与O0交于B,C两点，D为BC的中点，设∠APC=a0<a<母}，则当a= 时， PA·PD取得最大值. 9.(21-22高一下，福建福州期末)已知ABC为等腰直角三角形，AB=AC=2,圆M为ABC的外接圆， M证=Mi+M例，则M丽=一：若P为圆M上的动点，则PM,PE的最大值为 四、解答趣 10