第九章 图形的相似 专项训练 证明比例式或等积式的常用方法2024-2025学年鲁教版（五四制）数学八年级下册

第九章图形的相似 专项训练证明比例式或等积式的常用方法 技巧一三点定形法 1.如图，在△ABC中，AB=AC,点E在边BC上移动（点E不与点B,C重合），满足 ∠DEF=∠B,且点D,F分别在边AB,AC上， 1)求证：器=器； (2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC. 技巧二等线段代换法 2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AC与BD相交于点O,点E在线段OB上，AE的 延长线与BC相交于点F,OD=OB:OE. (1)求证：四边形AFCD是平行四边形： (2)如果BC-BD,AE·AF=AD·BF,求证：△ABE∽△ACD. D 3.如图，己知在△ABC中，AD是△ABC的中线，∠DAC∠B,点E在边AD上，CE=CD. ()求证：脂=那： (2)求证：AC2=2AE·AD 技巧三等比代换法 4.如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD,对角线AC,BD相交于点E,点F在边AB 上，连接CF交线段BE于点G,CG=GE·GD. (1)求证：∠ACF=∠ABD: (2)连接EF,求证：EF·BGFG·CB. 5.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，∠AED=∠B,AG分别交 线段DE,BC于点F,G,且AD:AC=DF:CG. 求证：(I)AG平分∠BAC: (2)EF·CG=DF·BG. 技巧四等积代换法 6.如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是△ABC内一点，DE∥BC,过D作AC的 平行线交CE的延长线于点F,C℉与AB交于点P,求证：器=路. 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90,CD是斜边AB上的高，G是DC延长线 上一点，过点B作BELAG,,垂足为E,交CD于点F.求证：CD=DF,DG B 8.如图，在△ABC中，AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点D,E,F. (1)求证：AD=AE·AB; (2)连接EF,求证：AE·BC=EF·AC. 参考答案 1.证明：(1)，AB=AC,.∠B=∠C, .'∠BDE=180°-∠B-∠DEB,∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB, :∠DEF=∠B,∴∠BDE=∠CER,∴△BDE∽△CER,器=器： (②)'△BDE∽△CER,·8器=器， 点E是BC的中点，BECE,器=器，“器=器 .'∠DEF=∠B=∠C,∴.△DEF∽△ECP,∴.∠DFE=∠CFE,∴.FE平分∠DFC 2.证明：1)：0D-0E·0B,8器=8器， :AD∥BC,光=8器，8光=器， 又，∠AOE=∠D0C,∴.△AOE∽△COD,∴.∠EAO=∠DCO,∴.AF∥CD, ∴.四边形AFCD是平行四边形： (②)：AF∥CD,.∠AED-∠BDC,△BEF∽△BDC,+8器=罷， ,BC=BD,∴.BE=BF,∠BDC=∠BCD,∴.∠AED=∠BCD. ,∠AEB=180°-∠AED,∠ADC-180°-∠BCD,∴.∠AEB=∠ADC. :AE·AF=AD·B邵，器=0， :四边形AFCD是平行四边形，∴AF=CD,“能=架， +器=器，∴△ABE∽△ACD. 3.证明：(1)，CD-CE,∴.∠CED=∠EDC, ,'∠AEC+∠CED=180°，∠ADB+∠EDC=180°，∴.∠AEC=∠ADB, '∠DAC=∠B,∴△ACEn△BAD:A指=器， BD-CD-CE,6=器： (2).'∠DAC=∠B,∠ACD=∠BCA,∴.△ACD∽△BCA, 5=盟，AC2=CD·CB, :△ACE∽△BAD,品=器，∴AE·AD=BD·CE, ∴.2AE·AD=2BD·CE=BC·CD,÷AC2=2AE·AD. 4.证明：(1)：CG2=GE·GD,·器=器。 又，∠CGD=∠EGC,∴.△GCD∽△GEC.∴.∠GDC=∠GCE. ,'AB∥CD,∴.∠ABD=∠BDC.∴.∠ACF=∠ABD: (②)'∠ABD∠ACR,∠BGF=∠CGE,.△BGF∽△CGE.·器=恶， 又'∠fGE=∠BGC,.△FGE∽△BGC.·器=器 器=罷，∴FG·BC=FE·BG. 5.证明：(1)，∠DAE+∠AED+∠ADE=180°，∠BAC+∠B+∠C=180°，∠AED=∠B, ∴.∠ADE=∠C, 在△ADF和△ACG中，AD:AC=DF:CG,∠ADE=∠C,∴.△ADF∽△ACG, ∴.∠DAF=∠CAG,.AG平分∠BAC: (②)在△AEF和△ABG中，∠AED-∠B,∠EAF=∠BAG,∴.△AEFn△ABG,·器=器， 在△ADF和△AGC中，∠DAF=∠CAG,∠ADF=∠C,.△ADF∽△ACG, 器=能，·影=器，∴EF·CG=DF·G。 6.证明：：DE∥BC,∴△PDE∽△PBC,器=是，即PD·PC=PB·PE①， ,DF∥AC,.△PDF∽△PAC 贤=跽，即PD·C=PA·PF②，联立①②，得PE·PBPA·PR,得=路 7.证明：，CD⊥AB,BE⊥AG,∴.∠GEB=∠BDF, .∠G=∠DBF,且∠ADG=∠FDB,.△ADG∽△FDB, +架=器，即AD·BD=DF·DG, .'∠ACB=90°，∠CDB=90°，∴.∠ACD+∠DCB=∠CAD+∠ACD, .∠CAD=∠DCB,∴.△ADC∽△CDB 0=器，即AD·BD-CD°，CD=DF.DG 8.证明：(1)DE⊥AB,AD⊥BC,∠AED=∠BDA=90°， 又，'∠EAD=∠DAB,∴.△AED∽△ADB, A8=船，AD2=AE·AB: (②)同（①），得ADP=AF·AC,∴AE·AB=AF·AC,∴A=詣，∠EAF=∠CAB ∴△EAF∽△CAB,是=器，AE·BC=-EF·AC