精品解析：河南省新乡市2024-2025学年九年级下学期第一次联考数学试题

2024-2025学年九年级下学期联考试卷数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，比大的数为（ ） A. B. C. D. 2. 2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩平均数相同，方差如下，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 8. “千门万户曈曈日，总把新桃换旧符”．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片(分别写有“福”字、春联、灯笼)的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品．现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是( ) A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和（k为常数，）的图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心与原点O重合，射线l与正六边形的边交于点P．射线l从射线的位置开始，绕点沿逆时针方向旋转，每次旋转．已知，则第2024次旋转结束时，点P的坐标为（ ） A B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：____ 12. 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为__________公里．（用含x的代数式表示） 13. 如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为___________． 14. 如图，在扇形中，，将扇形沿方向平移得到扇形，点恰好落在上．若，则图中阴影部分的面积为____． 15. 如图，∠AOB=30°，OA=4，D为OA的中点，点P是射线OB上的一个动点，连结AP，DP，将△ADP沿DP折叠，折叠后得到△DPA'，当△DPA'与△ODP的重叠部分的面积恰好为△ODP面积的一半时，OP的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解不等式，并数轴上表示解集． （2）下面是某同学计算的解题过程： 解： ① ② ③ ④ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确解题过程． 17. 为了解本校七年级学生的暑期课外阅读情况，某数学兴趣小组抽取了50名学生进行问卷调查． （1）下面的抽取方法中，应该选择______； A．从七年级随机抽取一个班的50名学生 B．从七年级女生中随机抽取50名学生 C．从七年级所有学生中随机抽取50名学生 （2）对调查数据进行整理，得到下列两幅尚不完整的统计图表： 暑期课外阅读情况统计表 阅读数量（本） 人数 0 5 1 25 2 a 3本及以上 5 合计 50 求出统计表中的a的值并补全条形统计图； （3）若七年级共有800名学生，估计七年级学生暑期课外阅读数量达到2本以上的学生人数． 18. 随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．已知甲、乙两条路线的长度均为，甲路线的平均速度为乙路线的倍，甲路线的行驶时间比乙路线少，求甲路线的行驶时间． 19. 无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为，楼顶C点处的俯角为，已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度（结果保留根号） 20. 如图，在中，，以为直径的交边于点D，连接过点C作． （1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作的切线，交于点F（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； （2）在（1）的条件下，求证：． 21. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分． （1）写出的最高点坐标，并求a，c的值； （2）若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 22. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）_______，_______； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 23. 在中，，点O为的中点，点D在直线上（不与点A，B重合），连接，线段绕点C逆时针旋转，得到线段，过点B作直线，过点E作，垂足为点F，直线交直线于点G． （1）如图（1），当点D与点O重合时，请直接写出线段与线段的数量关系； （2）如图（2），当点D在线段上时，求证： ； （3）连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期联考试卷数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，比大的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的意义，根据有理数的大小比较方法即可得出答案，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， ∴比大的数是， 故选：D． 2. 2023年5月28日，我国自主研发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功，C919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据186000用科学记数法表示为； 故选B 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图是三角形，结合选项即可求解． 【详解】解：∵主视图是直角三角形， 故A，C，D选项不合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据三视图还原几何体，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形，掌握三视图的定义是解题关键． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：由得， 由得， 解集在数轴上表示为： ， 则不等式组的解集为． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 5. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得的度数，根据垂直的定义可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，熟知两直线平行同旁内角互补是解本题的关键． 6. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的意义，熟练掌握方差的意义是解决此题的关键．根据方差判断稳定性，方差越小，成绩越稳定，由此可解． 【详解】解：∵甲、乙、丙、丁成绩的平均数相同，， ∴成绩最稳定的同学是丁， 故选：D． 7. 一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】挂重后弹簧长度等于不挂重时的长度加上挂重后弹簧伸长的长度，据此即可求得函数关系式． 【详解】解：由题意知：； 故选：B． 【点睛】本题考查了求函数关系式，正确理解题意是关键． 8. “千门万户曈曈日，总把新桃换旧符”．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片(分别写有“福”字、春联、灯笼)的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品．现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别用表示写有“福”字、春联、灯笼的三张卡片，利用列表法求出概率即可． 【详解】解：分别用A，B，C表示写有“福”字、春联、灯笼的三张卡片，列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 共有9中等可能的结果，其中他们恰好领取同一类礼品有种等可能的结果， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查列表法求概率，解题的关键是正确的列出表格． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和（k为常数，）的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质；根据一次函数的图象确定两个函数经过的象限及升降，即可作出判断． 【详解】解：∵和（k为常数，）， ∴函数过原点，且经过二、四象限，图象是下降的；一次函数的图象经过一，三、四，且图象是上升的， 故A、B、C不合题意， D选项符合题意； 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心与原点O重合，射线l与正六边形的边交于点P．射线l从射线的位置开始，绕点沿逆时针方向旋转，每次旋转．已知，则第2024次旋转结束时，点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正六边形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，连接，得到是等边三角形， 得到，又由，可知射线每旋转次为一个循环，由，可得第次旋转结束时，射线的位置如图所示，下线与轴正半轴重合，即点与点重合，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： 由题意可知，是等边三角形， ， ， ∴射线每旋转次为一个循环， ， ∴第次旋转结束时，射线的位置如图所示，下线与轴正半轴重合，即点与点重合， ∴点的坐标为， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，先算零指数幂，立方根，再算加法即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 12. 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为__________公里．（用含x的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出代数式即可． 【详解】根据题意可得， 他离健康跑终点的路程为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意． 13. 如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】延长交x轴于点F，设，利用相似三角形的判定与性质可求得矩形的长与宽，再由矩形的面积即可求和k的值． 【详解】解：延长交x轴于点F，如图， 由点D在反比例函数的图象上，则设， ∵矩形边平行于轴，，， ∴轴，， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，其中相似三角形的判定与性质是关键． 14. 如图，在扇形中，，将扇形沿方向平移得到扇形，点恰好落在上．若，则图中阴影部分的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，扇形的面积，含角的直角三角形等知识，设，，围成的图形的面积为，，围成的图形的面积为，则，得到，求得，得到，再根据扇形面积和三角形面积公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设，，围成的图形的面积为，，围成的图形的面积为，则， ， 如图，连接， 由平移可知，，，， ， ， 又∵， ， 过点作于点，则， ． 15. 如图，∠AOB=30°，OA=4，D为OA的中点，点P是射线OB上的一个动点，连结AP，DP，将△ADP沿DP折叠，折叠后得到△DPA'，当△DPA'与△ODP的重叠部分的面积恰好为△ODP面积的一半时，OP的长为________． 【答案】2或##2或2 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①若PA′与AO交于点F，连接A′O，易得S△DFP=S△ODP=S△A′DP，即可得到DF=OD=OF，PF=A′P=A′F．从而可得四边形A′DPO是平行四边形，即可得到OP=A′D，从而可求出OP；②若DA′与OC交于点G，连接AA′，交DP与H，如图，同理可得GP=OG，DG=DA′=1，根据三角形中位线定理可得AP=2，此时点P与点C重合，从而可求出OP． 【详解】解：①若PA′与为OA交于点F，连接A′O，如图． ∵点D是AO的中点， ∴OD=AD=2． 由折叠可得A′D=AD=2， 由题可得S△DFP=S△ODP=S△ADP=S△A′DP， ∴DF=OD=OF，PF=A′P=A′F． ∴四边形A′DPO是平行四边形， ∴OP=A′D=2； ②若DA′与BO交于点G，连接AA′，交DP与H，如图． 同理可得GP=OP=OG，DG=DA′=×2=1． ∵OD=AD， ∴DG=AP=1， ∴AP=2， 过点A作AC⊥OB于点C， ∵∠AOB=30°，OA=4， ∴AC=2， ∴点P与点C重合， ∴OP=OC=2． 故答案为：2或2． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、平行四边形的判定与性质、等高三角形的面积比等于底的比、三角形中位线定理等知识，运用分类讨论的思想是解决本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解不等式，并在数轴上表示解集． （2）下面是某同学计算解题过程： 解： ① ② ③ ④ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程． 【答案】（1）（2）从第①步开始出错，过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据解不等式的步骤，解不等式即可； （2）根据分式的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：； （2）从第①步开始出错，正确的解题过程如下： ． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，分式的加减运算．熟练掌握解不等式的步骤，分式的运算法则，是解题的关键． 17. 为了解本校七年级学生的暑期课外阅读情况，某数学兴趣小组抽取了50名学生进行问卷调查． （1）下面的抽取方法中，应该选择______； A．从七年级随机抽取一个班的50名学生 B．从七年级女生中随机抽取50名学生 C．从七年级所有学生中随机抽取50名学生 （2）对调查数据进行整理，得到下列两幅尚不完整的统计图表： 暑期课外阅读情况统计表 阅读数量（本） 人数 0 5 1 25 2 a 3本及以上 5 合计 50 求出统计表中的a的值并补全条形统计图； （3）若七年级共有800名学生，估计七年级学生暑期课外阅读数量达到2本以上的学生人数． 【答案】（1）C （2）15；图见解析 （3）80人 【解析】 【分析】（1）根据所抽取的样本必须具有广泛性和代表性，即可解答； （2）用样本容量减去总计量为0本，1本以及3本及以上的人数可得a的值，再补全条形统计图即可； （3）用800乘以样本中暑期课外阅读数量达到2本及以上所占百分比即可得出结论． 【小问1详解】 解：为了解本校七年级学生的暑期课外阅读情况，应该选择从七年级所有学生中随机抽取50名学生，这样抽取的样本具有广泛性和代表性， 故选：C； 【小问2详解】 解：； 补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 （人）， 答：七年级学生暑期课外阅读数量达到2本及以上的学生约为80人． 【点睛】本题考查了抽样调查的可靠性，频数分布表以及条形统计图，熟练掌握条形统计图是解题的关键． 18. 随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．已知甲、乙两条路线的长度均为，甲路线的平均速度为乙路线的倍，甲路线的行驶时间比乙路线少，求甲路线的行驶时间． 【答案】甲路线的行驶时间为． 【解析】 【分析】设甲路线的行驶时间为，则乙路线的行驶事件为，根据“甲路线的平均速度为乙路线的倍”列分式方程求解即可． 【详解】解：甲路线的行驶时间为，则乙路线的行驶事件为，由题意可得， ， 解得， 经检验是原方程的解， ∴甲路线的行驶时间为， 答：甲路线的行驶时间为． 【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系列出相应的分式方程． 19. 无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为，楼顶C点处的俯角为，已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度（结果保留根号） 【答案】大楼的高度为． 【解析】 【分析】如图，过作于，过作于，而，则四边形是矩形，可得，，求解，，可得，，可得． 【详解】解：如图，过作于，过作于，而， 则四边形是矩形， ∴，， 由题意可得：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴大楼的高度为． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含义是解本题的关键． 20. 如图，在中，，以为直径的交边于点D，连接过点C作． （1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作的切线，交于点F（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）图见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了作圆的切线，切线的性质，全等三角形判定与性质，解题的关键是掌握基本作图，能熟练运用三角形全等的判定定理． （1）过B作的垂线即为过点的的切线； （2）由， ，可得，而点D在以为直径的圆上，为的切线，可得，即可证明，从而． 【小问1详解】 解：过B作，交于F，直线即为所求直线，如图： 【小问2详解】 证明：， ， ， ， ， ∵点在以为直径的圆上， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 21. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分． （1）写出的最高点坐标，并求a，c的值； （2）若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 【答案】（1）的最高点坐标为，，； （2）符合条件的n的整数值为4和5． 【解析】 【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值； （2）求得点A的坐标范围为，求得n的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴的最高点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为，令，则； 【小问2详解】 解：∵到点A水平距离不超过范围内可以接到沙包， ∴点A的坐标范围为， 当经过时，， 解得； 当经过时，， 解得； ∴ ∴符合条件的n的整数值为4和5． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 22. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 … （1）_______，_______； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 【答案】（1）2， （2）①见解析；②函数值逐渐减小 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据解析式求解即可； （2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论； （3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，， 当时，由得， 当时，， 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图： ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小， 故答案为：函数值逐渐减小； 【小问3详解】 解：当时，，当时，， ∴函数与函数的图象交点坐标为，， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图， 由图知，当或时，， 即当时，的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键． 23. 在中，，点O为的中点，点D在直线上（不与点A，B重合），连接，线段绕点C逆时针旋转，得到线段，过点B作直线，过点E作，垂足为点F，直线交直线于点G． （1）如图（1），当点D与点O重合时，请直接写出线段与线段的数量关系； （2）如图（2），当点D在线段上时，求证： ； （3）连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值． 【答案】（1），理由见解析； （2）证明见解析； （3）值为或． 【解析】 【分析】（1）连接，由，，得，根据线段绕点C逆时针旋转，，得到线段，有，，可得，从而，，知是等腰直角三角形，，故； （2）由，O为的中点，得， ，证明，得，根据，即得； （3）由，设，则，分两种情况：当D在线段上时，延长交于K，由，得，而四边形是矩形，有，根据勾股定理可得，故，，即得；当D在射线上时，延长交于T，同理可得． 【小问1详解】 解：，理由如下： 连接，如图： ，， ， ∵线段绕点C逆时针旋转，得到线段， ，， ， 和中， ， ， ，， ∵直线， ， 又∵，垂足为点F， 是等腰直角三角形， ， ； 【小问2详解】 证明：如图： ∵，为的中点， ，，， ∴， ∵，垂足为点F，即， ∴， ∵直线，直线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ； 【小问3详解】 解：由，设，则，D不可能在射线上，因为此时的值大于的值， 当在线段上时，延长交于，如图： 由（2）知， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵， ， ； 当在射线上时，延长交于，如图： 同理可得，， ， ， ， ，，为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$