精品解析：山东省济宁市邹城市第二中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

高二下学期3月质量检测 数学试题 一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义计算求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：C 2. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设、在放射性同位素铯衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，则铯含量在时的瞬间变化率为（　 　） A. （太贝克/年） B. （太贝克/年） C. （太贝克/年） D. （太贝克/年） 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，令即可得到含量在时的瞬间变化率． 【详解】解：依题意， ， 所以铯含量在时的瞬间变化率为：（太贝克年）， 故选：． 【点睛】本题考查了复合函数的导数的计算，对数函数的导数，导数与瞬时变化率，属于基础题． 3. 四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队，每人限报一项，不同的报名方法的种数是（ ） A. 64 B. 81 C. 24 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由分步乘法计算原理求解 【详解】四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队,每人限报一项， 故每人有3种报名方法，共有种不同的报名方法; 故选：B 4. 已知函数在上不存在极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求导数，根据，即可求得实数的取值范围. 【详解】，因为函数在上不存在极值点， 所以在上没有变号零点， 所以， 所以， 所以实数t的取值范围是． 故选：D． 5. 某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六块知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“雨水”与“谷雨”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（ ） （ ） A. 24 B. 48 C. 144 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】先将“立春”和“春分”两块展板捆绑，与“惊蛰”“清明”一起排列，再将“雨水”与“谷雨”两块展板插入个空隙中，结合分步乘法计数原理可得. 【详解】将“立春”和“春分”两块展板捆绑，与“惊蛰”“清明”一起排列，共有种， 再将“雨水”与“谷雨”两块展板插入个空隙中，有种， 按照分步乘法计数原理可知，不同的放置方式有种. 故选：C. 6. 函数 图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域，极限，单调性判断． 【详解】f（x）的定义域为{x|x＞0}，排除A． 当x→0+时，f（x）→+∞，排除D． 当x＞1时，f（x）＝lnx，f′（x）， 令f′（x）＝0解得x＝2， 当x＞2时，f′（x）＜0， ∴f（x）在（2，+∞）上是减函数，排除B． 故选C． 【点睛】本题考查了函数图象的判断，通常从函数的单调性，特殊点等方面采用排除法判断． 7. 已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，根据极值点可得与在内有2个交点，利用导数判断的单调性和最值，结合图象分析求解. 【详解】因为，可知在内有2个变号零点， 由可得，可知：与在内有2个交点， 又因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且，， 结合图象可得，所以实数a的取值范围为. 故选：B. 8. 当时，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，化简得到在上恒成立，令，求得，得到在上单调递增，转化为在上恒成立，令，利用求得函数的单调性和最大值，得到，即可求解. 【详解】由题意，当时，恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，可得，所以在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，由求导的运算法则，对选项逐一验证，即可得到结果. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：BD 10. 已知数字，由它们组成四位数，下列说法正确的有（ ） A. 组成可以有重复数字的四位数有个 B. 组成无重复数字的四位数有96个 C. 组成无重复数字的四位偶数有66个 D. 组成无重复数字的四位奇数有28个 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，由分类分步计数原理依次分析各选项，即可得答案. 【详解】解：对A：四位数的首位不能为0，有4种情况，其他数位有5种情况，则组成可以有重复数字的四位数有个，故选项A正确； 对B：四位数的首位不能为0，有4种情况，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3 个数位，有种情况，则组成无重复数字的四位数有个，故选项B正确； 对C：若0在个位，有个四位偶数，若0不在个位，有个四位偶数，则组成无重复数字的四位偶数共有个四位偶数，故选项C错误； 对D：组成无重复数字的四位奇数有个，故选项D错误； 故选：AB. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数恰有两个零点 B. 当时，不等式对任意恒成立 C. 若函数有两个零点，则 D. 当时，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A分离参数，构造函数，求导，根据导数与单调性的关系，结合题意判断即可，选项B由选项A可知，当时，由，整理可得，对任意恒成立，选项C利用对数运算，换元，构造新函数，对新函数求导，利用分析法证明即可，选项D，不等式变形得到，令，根据函数单调性，将问题转化为，利用函数导数求的最小值即可. 【详解】选项A，由，令， 设， 则， 令， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，， 所以当，，当，， 所以的图形如图所示： 由图可知，函数恰有两个零点时， 即与有两个不同的交点，此时， 故A不正确， 选项B，由选项A，， 当时，， 即对任意恒成立，故B正确， 选项C，由函数有两个零点， 即为方程的两根， 即， 所以，令且， 则， 所以， 欲证，即证， 即证明， 只需证明， 只需证明， 即， 设， 则， 令， 所以 ， 所以在上为增函数， 又，所以， 综上所述，原不等式成立，故， 故C正确， 选项D，当时，， 则不等式对恒成立， 即， 即， 即， 令，当时，单调递增， 所以， 所以对任意恒成立， 即求在上的最小值， 由， 当时，，当在时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，得，而， 所以，所以的取值范围是：， 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某段铁路所有车站共发行种普通车票，那么这段铁路共有车站数是____. 【答案】 【解析】 【分析】根据排列公式解方程即可. 【详解】设这段铁路共有车站个（）， 所以需要普通车票种， 则，即， 解得，这段铁路共有车站数是个， 故答案为：. 13. 已知函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】将函数求导后取，即可求得，则有，再代入，计算即得. 【详解】由求导得， 令，可得，解得， 则，故. 故答案为：. 14. 已知，，请写出与和均相切的一条直线方程______．（只需写一条） 【答案】（或，只要答一个即可）． 【解析】 【分析】设函数图象上的切点为，函数图象上切点为，求出导函数，利用列方程组求得后可得切线方程． 【详解】设函数图象上的切点为，函数图象上切点为， ，，,, 由得，消去得,或,从而有或, 又，， 所以切线方程为或，即或， 故答案为：（或，只要答一个即可）． 四、解答题 15. 已知的一个极值点为2. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，；（2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）由题目极值点为2可以求得解析式中的值，并验证确为极值点，则函数表达式确定，根据导数的正负判断函数单调性即可 （2）根据（1）中对函数单调性的研究，可以判断在区间上的单调性，从而得出最大最小值 【详解】解:（1）因为，所以， 因为的一个极值点为2， 所以，解得， 此时，， 令，得或， 令，得；令，得或， 故函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增.即适合题意 所以，函数单调递减区间为，单调递增区间为， （2）由（1）知，在上为增函数，在上为减函数， 所以是函数的极大值点，又，，， 所以函数在区间上的最小值为，最大值为. 16. 已知，函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，若对恒成立,求实数b的最大值. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的取值，判断函数的单调性； （2）根据对恒成立,变形为恒成立，构造函数，将恒成立问题变为求函数最值问题，即可求得答案. 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，，在上单调递减. 当时，令； 令. 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ∵，∴恒成立， 即恒成立， 令，则， 由，得；由，得， 故在上单调递减，在上单调递增， ∴，即， 故实数b的最大值是. 17. 西樵镇举办花市，如图，有一块半径为20米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形OCD摆放菊花“泥金香”，弓形CMD摆放菊花“紫龙卧雪”，扇形AOC和扇形BOD（其中）摆放菊花“朱砂红霜”.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：泥金香50元/米2，紫龙卧雪30元/米2，朱砂红霜40元/米2. （1）设，试建立日效益总量关于的函数关系式； （2）试探求为何值时，日效益总量达到最大值. 【答案】（1），其中， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可求得，然后根据扇形的面积公式和三角形的面积公式可表示出各个面积，从而可表示出关于的函数关系式； （2）对关于的函数关系式求导，然后根据导数的正负求出其单调区间，从而可求出其最大值. 【小问1详解】 依题意得，， 则 ， 其中，. 【小问2详解】 ，令，得， 当，，函数递增，当时，，函数递减. 所以，是函数的极大值点，且唯一； 从而当时，日效益总量可取得最大值. 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，递减区间为，递增区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1），分、两种情况讨论即可； （2）结合的单调性，分、、三种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，函数，在上单调递增， 当时，，令，得， 所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； （2）由（1）可知，当时，函数，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ①当，即时，最小值为， 所以，得，符合题意， ②当，即时，最小值为， 由，得，不符合题意， 综上，. 19. 已知函数，其中为正实数. （1）若函数在处的切线斜率为2，求的值； （2）求函数的单调区间； （3）若函数有两个极值点，求证： 【答案】（1）1； （2）时，单调减区间为，无增区间；时，单调减区间为,,单调增区间为． （3）证明：由(2)知，当时，函数有两个极值点,且． 因为 要证,只需证． 构造函数，则， 在上单调递增,又,且在定义域上不间断, 由零点存在定理，可知在上唯一实根, 且． 则在上递减, 上递增,所以的最小值为． 因为, 当时, ,则,所以恒成立． 所以,所以，得证． 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义得，解得的值；（2）先求导数，再根据导函数是否变号分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间（3）先根据韦达定理得，再化简，进而化简所证不等式为，最后利用导函数求函数单调性，进而确定最小值，证得结论 【详解】(1)因为，所以， 则,所以的值为1． (2) ，函数的定义域为， 若,即,则,此时的单调减区间为; 若,即,则的两根为, 此时的单调减区间为,, 单调增区间为． (3)略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期3月质量检测 数学试题 一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设、在放射性同位素铯衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，则铯含量在时的瞬间变化率为（　 　） A. （太贝克/年） B. （太贝克/年） C. （太贝克/年） D. （太贝克/年） 3. 四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队，每人限报一项，不同的报名方法的种数是（ ） A. 64 B. 81 C. 24 D. 12 4. 已知函数在上不存在极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六块知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“雨水”与“谷雨”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（ ） （ ） A. 24 B. 48 C. 144 D. 240 6. 函数 图象大致为( ) A. B. C. D. 7. 已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 8. 当时，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数字，由它们组成四位数，下列说法正确的有（ ） A. 组成可以有重复数字的四位数有个 B. 组成无重复数字的四位数有96个 C. 组成无重复数字的四位偶数有66个 D. 组成无重复数字的四位奇数有28个 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数恰有两个零点 B. 当时，不等式对任意恒成立 C. 若函数有两个零点，则 D. 当时，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某段铁路所有车站共发行种普通车票，那么这段铁路共有车站数是____. 13. 已知函数，则___________． 14. 已知，，请写出与和均相切的一条直线方程______．（只需写一条） 四、解答题 15. 已知的一个极值点为2. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最值. 16. 已知，函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，若对恒成立,求实数b的最大值. 17. 西樵镇举办花市，如图，有一块半径为20米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形OCD摆放菊花“泥金香”，弓形CMD摆放菊花“紫龙卧雪”，扇形AOC和扇形BOD（其中）摆放菊花“朱砂红霜”.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：泥金香50元/米2，紫龙卧雪30元/米2，朱砂红霜40元/米2. （1）设，试建立日效益总量关于的函数关系式； （2）试探求为何值时，日效益总量达到最大值. 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 19. 已知函数，其中为正实数. （1）若函数在处的切线斜率为2，求的值； （2）求函数的单调区间； （3）若函数有两个极值点，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $