精品解析：江苏省南京师范大学附属实验学校2024-2025学年高一下学期3月份月反馈数学试题

南京师范大学附属实验学校 2024－2025学年度第二学期高一年级3月份月反馈数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 1. 化简得（ ） A. B. C. D. 2. 计算（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（   ） A. B. C. D. 4. 若两个单位向量,的夹角为120°,则 A. B. C. D. 5. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于（ ） A. 8 B. C. 8或 D. 6 7. 已知正方形的边长为2，若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 向量在正方形（边长均为1）网格中的位置如图所示，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 对于任意向量，都有 B. 模为的向量是单位向量 C. 若，则与中至少有一个为 D. 若且，则 10. 如图所示，是的边上的中点，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量是单位向量 B. 与可以作为基底 C. 在上的投影向量为 D. 与的夹角为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 12. 已知向量与的夹角为120°，，则______． 13. 已知平面直角坐标系中，点O为原点，，若，则实数m的值为______． 14. 已知，则______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，，且， （1）求x的值； （2）若，求实数的值. 16. 已知向量，不共线，且，，． （1）若，求的值； （2）若，求证：，，三点共线． 17. 已知平行四边形中，，点是线段的中点． （I）求的值； （II）若，且，求的值． 18. 已知向量，． （1）若∥，求的值； （2）若且，求的值． 19. 已知，. （1）求的值； （2）若，，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京师范大学附属实验学校 2024－2025学年度第二学期高一年级3月份月反馈数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 1. 化简得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加法、减法法则求解. 【详解】. 故选：A 2. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式求解. 【详解】 . 故选：B 3. 已知，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性坐标运算计算求解. 【详解】因为，则. 故选：C. 4. 若两个单位向量,的夹角为120°,则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由根据条件求解即可. 【详解】由两个单位向量,的夹角为120°,可得. 所以. 故选C. 【点睛】本题主要考查了利用数量积求向量的模长，属于基础题. 5. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积运算公式求解. 【详解】因为， 所以， ， 故选：C 6. 定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于（ ） A. 8 B. C. 8或 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由向量数量积定义可求得，根据同角三角函数关系可得，代入定义式即可求得结果. 【详解】，， 又，， . 故选：A. 7. 已知正方形的边长为2，若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算可得结果. 【详解】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示：     由可得为的中点，所以， 易知，可得， 所以. 故选：B 8. 向量在正方形（边长均为1）网格中的位置如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将平移至相同起点，应用和角余弦求，再根据向量数量积的定义求. 【详解】将起点平移到相同起点，如下图示： ， 所以. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 对于任意向量，都有 B. 模为的向量是单位向量 C. 若，则与中至少有一个为 D. 若且，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据零向量的性质判断A，根据单位向量的定义判断B，根据两向量数量积的定义判断C、D. 【详解】对于A，向量与任何向量平行，所以对于任意向量，都有，A正确； 对于B，根据单位向量定义模为的向量是单位向量，B正确； 对于C，，则或与中至少有一个为，所以C错误； 对于D，，则，即或，所以D错误. 故选：AB 10. 如图所示，是的边上的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量的加、减、数乘运算及数量积得运算即可求解. 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确； 故选：ABD 11. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量是单位向量 B. 与可以作为基底 C. 在上的投影向量为 D. 与的夹角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及向量模长的坐标运算即可判断选项A；根据基底的定义即可判断选项B；根据投影向量的定义与计算公式即可判断选项C；根据向量夹角的定义及坐标运算即可判断选项D. 【详解】对于A，，，故向量不是单位向量，选项A错误； 对于B，∵向量与是不共线的非零向量，故向量与可以作为基底，选项B正确； 对于C，在上的投影向量为，选项C正确； 对于D，由题知. ，，即与的夹角为，选项D正确； 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 12. 已知向量与的夹角为120°，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义直接求解即可. 【详解】由，得，而向量与的夹角为120°，且， 所以. 故答案为： 13. 已知平面直角坐标系中，点O为原点，，若，则实数m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列式求解. 【详解】由，得， 由，得，所以. 故答案为： 14. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由同角三角函数商得关系及两角和得余弦公式即可求解； 【详解】，又， 所以， 所以， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，，且， （1）求x的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，结合向量平行的坐标表示运算求解； （2）根据题意可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 因为，则，解得. 【小问2详解】 由题意可得：， 因为，则，解得. 16. 已知向量，不共线，且，，． （1）若，求的值； （2）若，求证：，，三点共线． 【答案】（1）； （2） 若，则， 所以，， 所以，则，，三点共线． 【解析】 【分析】（1）根据向量的共线定理即可求解； （2）由向量的线性运算，可求出、，再根据向量的共线定理，即可证明. 【小问1详解】 若，则，即， 可得，解得，， 所以. 【小问2详解】 略 17. 已知平行四边形中，，点是线段的中点． （I）求的值； （II）若，且，求的值． 【答案】（I）4；（II）. 【解析】 【分析】（I）建立坐标系，利用坐标求解数量积，或者利用数量积的定义求解； （II）求出向量的坐标，结合向量垂直的坐标表示可求的值，或者位置关系求解. 【详解】法1：（I） 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ， ； （II） ， ． 法2： （I）； （II），∴， ∵，， ∴与重合， ∴． 18. 已知向量，． （1）若∥，求的值； （2）若且，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由两向量平行可得，即可得的值； （2）由可得，进而可得，最后利用求解即可. 【小问1详解】 解：因为∥，所以， 即， 所以； 【小问2详解】 解：因为， 即，所以， 又因为，所以， 所以， 所以 19. 已知，. （1）求的值； （2）若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意先求，然后写出的展开式计算即可; （2）根据题意，先求的取值范围和值，然后用求的值. 【小问1详解】 由，，，可得， 所以. 【小问2详解】 由，，可得， 故. 从而 由，可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $