课时达标检测(3) 数列中的递推(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

课时达标检测(三)　数列中的递推 学生用书P067 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.已知数列{an}满足:a1=-,an=1-(n≥2),则a4等于 (C) A. B. C.- D. 解析　由题知a2=1-=5,a3=1-=,a4=1-=-。 2.已知数列{an}中,an-1=man+1(n>1,n∈N+),且a2=3,a3=5,则实数m等于 (A) A. B. C.2 D.3 解析　由题意得a2=ma3+1,即3=5m+1,所以m=。 3.已知a1=1,an=an-1+3(n≥2,n∈N+),则数列的通项公式为 (C) A.an=3n+1 B.an=3n C.an=3n-2 D.an=3(n-1) 解析　因为an=+3(n≥2,n∈N+),所以an-an-1=3。所以a2-a1=3,a3-a2=3,a4-a3=3,…,an-an-1=3,以上各式两边分别相加,得an-a1=3(n-1),所以an=a1+3(n-1)=1+3(n-1)=3n-2,a1=1也符合上式,故选C。 4.数列{an}的通项公式为an=cos,n∈N+,其前n项和为Sn,则S2 023= (C) A.1 009 B.-1 009 C.-1 D.0 解析　{an}是周期为4的周期数列,a1=0,a2=-1,a3=0,a4=1,即a1+…+a4=0,故S2 023=a1+a2+a3=-1,故选C。 5.若a1=1,an+1=(n∈N+),则给出的数列{an}的第4项是 (C) A. B. C. D. 解析　a2===,a3===,a4===。 6.设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,n∈N+,则an为 (C) A. B. C. D.3n 解析　因为a1+3a2+32a3+…+3n-1an=　①,所以当n≥2时,a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=　②,则由①-②,得3n-1·an=。所以an=(n≥2)。当n=1时,a1=符合题意,所以an=。故选C。 二、多项选择题 7.下列命题中,正确的有 (BCD) A.已知数列{an}满足an=(n∈N+),那么是这个数列的第10项,且最大项为第10项 B.数列,,2,,…的一个通项公式是an= C.已知数列{an}满足an=kn-5,且a8=11,则a17=29 D.已知an+1=an+3,则数列{an}是递增数列 解析　对于A,令an==⇒n=10,易知最大项为第一项,A错误;对于B,数列,,2,,…即,,,,…,即,,,,…,所以an=,B正确;对于C,an=kn-5,且a8=11⇒k=2⇒an=2n-5⇒a17=29,C正确;对于D,由an+1-an=3>0,易知D正确。故选BCD。 8.已知数列{an},an=bn+m(b<0,n∈N+),满足a1=2,a2=4,则m 与b的值分别为 (BC) A.m=-1 B.m=3 C.b=-1 D.b=3 解析　因为所以故选BC。 三、填空题 9.已知数列{an}满足anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N+)且a1=1,则=  。  解析　由a1=1得a2a1=a1+(-1)2,则a2=2;由a3a2=a2+(-1)3,得a3=;同理得a4=3,a5=,故==。 10.如图,古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…称为三角形数,三角形数中蕴含一定的规律性,则第2 023个三角形数与第2 022个三角形数的差为 2 023 。  解析　归纳可知an-an-1=n(n≥2,n∈N+),所以a2 023-a2 022=2 023。 11.已知数列{an}满足a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N+,则a2 024= 1 ;a2 022= 0 。  解析　依题意得a2 024=a1 012=a506=a253=a4×64-3=1,a2 022=a1 011=a4×253-1=0。 四、解答题 12.已知数列{an}满足a1=1,an+1=pan+qn,其中p,q均为正数,且a2=3,a4=13。 (1)求p,q的值; (2)求an+3与an的递推关系式。 解　(1)由已知可得a2=pa1+q,即p+q=3,a4=pa3+3q=p(pa2+2q)+3q=p2a2+2pq+3q,即3p2+2pq+3q=13,由得或因为p,q均为正数,所以p=1,q=2。 (2)由(1)知an+1=an+2n,则an+2=an+1+2(n+1)=(an+2n)+2(n+1)=an+4n+2。故an+3=an+2+2(n+2)=an+6n+6。 13.正项数列{an}的前n项和为Sn满足-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0。求数列{an}的通项公式。 解　由已知得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0,因为an>0,所以Sn>0,所以Sn=n2+n。因为a1=S1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n,且2×1=2=a1,故an=2n。 素养提升 14.在一个数列中,如果对任意n∈N+,都有anan+1an+2=k(k为常数),那么这个数列叫做等积数列,k叫做这个数列的公积。已知数列{an}是等积数列,且a1=1,a2=2,公积为8,则a1+a2+a3+…+a12= 28 。  解析　依题意得数列{an}是周期为3的数列,且a1=1,a2=2,a3=4,因此a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28。 15.已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N+),试探究数列{an}的通项公式。 解　解法一:将n=1,2,3,4依次代入递推公式,得a2=,a3=,a4=。又因为a1=,所以可猜想an=。应有an+1=,将其代入递推关系式验证成立,所以数列{an}的通项公式为an=(n∈N+)。 解法二:因为an+1=,所以an+1an=2an-2an+1。两边同除以2an+1an,得-=。所以-=,-=,…,-=,n≥2。把以上各式累加,得-=。又因为a1=1,所以an=,n≥2。当n=1时,a1=1=,满足an=,所以数列{an}的通项公式为an=(n∈N+)。 学科网（北京）股份有限公司 $$