课时达标检测(2) 数列的性质(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

课时达标检测(二)　数列的性质 学生用书P065 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是 (C) A.1,,,,… B.-1,-2,-3,-4,… C.-1,-,-,-,… D.1,,,…, 解析　A是无穷递减数列;B是无穷递减数列;C是无穷递增数列;D是有穷数列。故选C。 2.已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n,那么a4的值是 (A) A.-64 B.64 C.16 D.-16 解析　因为an=3n2-28n,所以a4=3×42-28×4=-64。 3.数列{an}满足an=log2(n2+3)-2,则log23是这个数列的第　　　　项。 (C)  A.1 B.2 C.3 D.4 解析　令an=log2(n2+3)-2=log23,解得n=3。 4.设an=-2n2+29n+3,则数列{an}的最大值是 (B) A.107 B.108 C. D.109 解析　因为an=-2n2+29n+3=-2×+,n∈N+,所以n=7时,an取得最大值108。故选B。 5.函数y=f(x)的图像在下图中并且对任意a1∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}满足an+1>an,则该函数的图像是 (A) A　B C　D 解析　由an+1=f(an)>an,得f(x)满足f(x)>x(0<x<1),即f(x)(0<x<1)的图像在y=x的图像上方,故A项正确。 6.已知数列{an},an=n2-kn(n∈N+),且{an}单调递增,则k的取值范围是 (B) A.(-∞,2] B.(-∞,3) C.(-∞,2) D.(-∞,3] 解析　因为an=n2-kn(n∈N+),且{an}单调递增,所以an+1-an>0对任意n∈N+都成立。因为an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k,所以由2n+1-k>0,即k<2n+1恒成立可知k<(2n+1)min=3。 二、多项选择题 7.下列结论中,正确的是 (AB) A.数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数 B.数列若用图像表示,从图像上看都是一群孤立的点 C.数列的项数是无限的 D.数列通项的表达式是唯一的 解析　数列的项数可以是有限的也可以是无限的。数列通项的表达式可以不唯一。例如数列1,0,-1,0,1,0,-1,0,…的通项表达式可以是an=sin,也可以是an=cos。故选AB。 8.已知an=(n∈N+),则在数列{an}的前100项中 (AC) A.最小项为a45 B.最小项为a44 C.最大项为a44 D.最大项为a45 解析　an===1+(n∈N+)。当n≤44时,数列{an}单调递增,且an>1;当n≥45时,数列{an}单调递增,且an<1。所以在数列{an}的前100项中最小项和最大项分别是a45,a44。故选AC。 三、填空题 9.已知数列{an}的通项公式为an=(n+2),则当an取得最大值时,n等于 5或6 。  解析　由题意知,当n≥2时有 所以所以所以n=5或n=6。 10.已知数列{an}满足an+1=若a1=,则a2 023=  。  解析　计算得a2=,a3=,a4=,故数列{an}是以3为周期的周期数列,又知2 023被3除余1,所以a2023=a1=。 11.在数列{an}中,an=n(n-8)-20,n∈N+,请回答下列问题: (1)这个数列共有 9 项为负。  (2)这个数列从第 4 项开始递增。  解析　(1)因为an=n(n-8)-20=(n+2)(n-10),所以当0<n<10,n∈N+时,an<0,所以数列{an}共有9项为负。 (2)因为an+1-an=2n-7,所以当an+1-an>0时,n>,故数列{an}从第4项开始递增。 四、解答题 12.已知数列的通项公式为an=n2+2n-5。 (1)写出数列的前三项; (2)判断数列{an}的单调性。 解　(1)数列的前三项:a1=12+2×1-5=-2;a2=22+2×2-5=3;a3=32+2×3-5=10。 (2)因为an=n2+2n-5,所以an+1-an=(n+1)2+2(n+1)-5-(n2+2n-5)=n2+2n+1+2n+2-5-n2-2n+5=2n+3。因为n∈N+,所以2n+3>0,所以an+1>an。所以数列{an}是递增数列。 13.已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(log2an)=-2n(n∈N+)。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)讨论数列{an}的单调性,并证明你的结论。 解　(1)因为f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,所以有-=-2n,即an-=-2n,所以+2nan-1=0,解得an=-n±。因为an>0,所以an=-n(n∈N+)。 (2)因为==<1,又an>0,所以an+1<an,故数列{an}是递减数列。 素养提升 14.已知数列{pn}中,p>0,n∈N+,则数列{log3 pn} (D) A.是递增数列 B.是递减数列 C.是常数列 D.单调性与p的值有关 解析　当p>1时,pn+1>pn,log3 pn+1>log3 pn,所以数列{log3 pn}是递增数列;当0<p<1时,pn+1<pn,log3 pn+1<log3 pn,所以数列{log3 pn}是递减数列。故选D。 15.已知数列,n∈N+。 (1)求证:该数列是递增数列。 (2)在区间内有无数列中的项?若有,有几项;若没有,请说明理由。 解　(1)证明:因为an=====1-,所以an+1-an=-1-==>0,n∈N+,所以{an}是递增数列。 (2)令<an=<,所以所以所以<n<,所以当且仅当n=2时,上式成立,故区间内有数列中的项,且只有一项为a2=。 学科网（北京）股份有限公司 $$