5.3.2 第1课时 等比数列前n项和的概念(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

空学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 5.3.2 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列前n项和的概念 情境导人 课程标准 一个人知道一则消息，他第一次对2个人说了结果全城人中就有3 1理解等比数列的前n项和公式并掌握公 式推导思路： 个人知道了：这2个人又每人把消息告诉了2个人结果全城人中就有7 个人知道了。假邀如这样传播9次，全城中该有多少人知道了？ 2会用等比数列的前n项和公式解决有关 等比数列的一些简单问题。 自主预习明新知 知识点一、等比数列前n项和公式 (nay q=1, 设等比数列{a的公比为q,前n项和为S,则S, 1-9型=9 1-q 9,9+1。 知识点二、错位相减法 1.推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法。 2.该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{色}是公差d≠0的等差数列{c}是 公比q≠1的等比数列，求数列6·c的前n项和S时，可以用这种方法。 ◇微提醒 在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1,n,q,aS。知道其中任意三个，可求其余两个。 更要注意的是应用该公式计算时，一定不要忽略斥1情况的讨论。 合作探究攻重难 类型一运用等比数列前n项和公式求基本量 【例1】在等比数列{a中， (1)已知a=-1,a464,求q和S4 (2)已知a41=3,F2,求6，S (3)已知a3-3,S3-9,求a1,q 品1-a9-上64-4 解(1)因为a4=a1c,所以64-d。所以r-4,所以S4-g 1--4 =51。 aa3X296.s2g219. 1-2■ ·独家授权侵权必究· 空学科网书城四 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 a3=a1q2=3 ① 1+叶q ()由题意，得sg=a1+q+g习=9 ② 令②÷①，得-3，所以24q1=0,所以F1或a专。当q1 时，a1=3当qf专时，a=12。 反思感悟 在等比数列{a中，首项a1与公比g是两个最基本的元 素有关等比数列的问题，均可化成关于a1,9的方程或方程 组求解。解题过程中要注意 (1)选择适当的公式。 (2)利用等比数列的有关性质。 (3)注意在使用等比敖列前n项和公式时，要考虑g是否等 于1 【变式训练】 (1)在等比数列{a中，若+ag10,4+a6浮，求a4和Ss。 a1+a192=10, 1a(1+g2)=10 ① 解设公比为α，由通项公式及已知条件得 a1g3+a1g5=年即(a191+9叫=月 因为a≠0,1+≠ 0所20得即g专所以a8所以4a8x(佳)”1华9琴. 1 (2)求数列{(-1)P*2的前100项的和。 1) 解解法-冷a(n∈N,因为品1（≥2，ne0,a(114≠0，所以该数列是等批数列，所以 -1--y网] S1001-1 -0。 解法二：数列(-1)*为-1,1，-1,1，所以S050×(1+1)=0。 类型二错位相减法求和 【例2】己知正项等差数列{a}的前n项和为S若S。-12,且2a,a2,a+1成等比数列。 (1)求{a的通项公式： (②)记b,专的前n项和为In求In 解(1)设正项等差数列{a}的公差为d,则d①0。因为Sg12即ata2+a=12,所以3a2=12,所以a24。又2a1,2,+1成 等比数列，所以a2a1×(a+1),即42-2(4-d×(4+什1)解得d3或在-4（舍去），所以=a21,故数列{a的通项公式为 am3m2。 ②h,爱产-(3m2)×学，所以11×号+4×京+7×寺+…+3r2)×字①，①×号得1×京+4×京+7×亭+… r可X寺6分×声@08得子X有X专5×字m习×产发 2-(3m2） ×六青×品-Bm2×品，所以1×品×宁号×京。 反思感悟 一般地，如果数列{a}是等差数列，{也}是等比数列，求数 列ab小的前n项和时，可采用错位相减法。 【变式训练】已知数列{a}的通项公式an·2,求该数列的前n项和S。 解因为S-1×21+2×22+3×23++n·2,2S-1×22+2×23+…+(r1)·2+n·2*1,所以-S2+22+23+…+2”-n·2*, 所以Sn…2*1-(2+22+22+42=n·213-1 1-2 =n·2*1-(2*1-2)=(n-1)·2m1+2。 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城▣ 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.ZxxK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 当堂检测提素养 1.等比数列{a的各项都是正数，若a181,a516,则它的前5顶的和是 (®) A.179B.211C.243D.275 解折国为学-（自）m以m以 1-=211. 2.等比数列{a的前n项和Sk·3+1,则k的值为 ®) A.全体实数 B.-1 C.1D. 解析 因为5，g斋竞·g又S1k·3所以合1，k六1。 3.在等比数列{a}中，若qF-2,S=44,则a1的值为 (A) A.4B.-4 C.2D.-2 ·独家授权侵权必究·