5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

空学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第2课时 等差数列前n项和的性质 情境导入 课程标准 等差数列的前n项和公式是一个关于n的函数那么 1掌握等差数列与其前n项和S。有关的一些性质，能熟 这个函敖和二次函数有什么关系呢？等差数列的前项和 公式又具有什么独特的性质呢？这一节课我们就来研究一 练运用这些性质解题 下这些问题。 2会利用等差数列前n项和的函数特征求最值。 自主预习明新知 知识点一、等差数列前n项和的性质 性质一：等差数列中依次k项之和S,S2S,S-S2组成公差为d的等差数列。 性质二等差数列的项数为2lne),则S2naa-5得Snl启芒(S04≠0若等差数列的项数为 2m1a∈N,则S12 ea-Daia是数列的中间到S有5有a。学(S有≠0. 性质三a为等差数列-{音}为等差数列。 知识点二、等差数列前n项和S的最值 1.公式Smme可化成关于n的表达式S一号+(a1-号)n当d0时，5关于n的表达式是一个常数项 2 为零的二次式，即点(，S)在其相应的二次函数的图像上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图 像是抛物线号2+(1一号)x上横坐标为正整数的一系列孤立的点。 （an≥0， 2.在等差数列a}中，当0，水0时，S,有最大值，使S,取得最值的n可由不等式组(a#1≤0确定：当a<0,d0时， an≤0 s,有最小值，使S,取得最值的n可由不等式组气a种1≥0确定。 令微思考 {a是等差数列其前n项和为S{a}的前n项和也是S,吗？ 提示不一定。 合作探究攻重难 类型一等差数列前n项和性质一 【例1】己知等差数列{aJ,SS2Se分别是其前m,前2m,前3m项和，若Sw30,S2=100,求S ·独家授权侵权必究· 学科网书城四 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ma+d=30 ① 解解法一设{a}的公差为d,依据题设和前n项和公式有： 2ma1+ 22m-d=100, ②-①，得m1+ 2 空-70，所以S3n3m+m8m-l3m4n-。3×70-210. 2 2 2 解法二：SS2m-S,S3。-S2m成等差数列，所以30,70，S-100成等差数列。所以2×70-30+Sm-100。所以S=210。 解法三在等差数列，中，因为San(rl)d,所以导-a+(r1)号。即数列{产}构成首项为am,公差为号的等差 数列。依题中条件知，器器成等差数列，所以2·器器+册。所以53(S53×(10-30)210。 反思感悟 在等差数列中，前n项和S,的问题利用公式可列出关 于a1和d的方程（组）。要注意等差数列中 5nmr52m5nm53m-52m也成等差数列且公差为m2d,置，是 盖…也成等差数列，用此性质可简化运算。 【变式训练】 已知S,是等差数列a园的前n项利若京青，则片的值为品一 51 解析设=a,S=3a,根据S,S-S,S-S,S2-S,是一个首项为a,公差为a的等差数列，各项分别为a,2a,3a,4a。5元 +2a+3a+4F10· 类型二等差数列前n项和性质二 【例2】项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数。 解设等差数列供2+1项则奇数项有+1项，偶数项有n项，中间项是第叶1项记为a,设公差为d则 （S奇=a1+3+a5十…+a2r1=44, S偶=a2+34+a6+…+a2n=33。 所以S奇-S偶a+n左a1=11,即中间项a+111。又Sa*1=S奇+S偶=77。所以 2*1a+a-d-2*231=7,所以2m1)×11=7,所以2+1-7，即数列的中间项为1，这个数列共7项. 2 2 反思感悟 若5奇表示奇数项的和，5偶表示偶数项的和，公差为d, 则当项数为偶数2n时55奇nd,号-亡当项数力奇数 S#n 2n-1时，5奇-S阀0m3=气。 【变式训练】己知某等差数列共有20项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，求其公差。 解S偶S奇10-30-15-10山卡号。 类型三求等差敖列前n项和的最值问题 【例3】数列{a}的前n项和Sm33m。 (1)求{a}的通项公式： (②)求{a的前多少项和最大。 解(1)解法一当n≥2时，a,-SnSr134-2n,又当1时，a1=S=33-1=32满足a,34-2m。故{a的通项公式为 a=34-2n。 解法二：由S,㎡+33n知S是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{a,}是等差数列，由Sn的结构特征知 ·独家授权侵权必究· 空学科网书城四 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 号=-1 (a1-号=33解得a32,-2,所以a,34-2n (2)解法一令a≥0，得34-2n≥0，所以n≤17，故数列{a的前17项大于或等于零。又a10,故数列{a的前16项或 前17项的和最大。 解法二因为y-2+33x的对称轴为x号距离号最近的整数为16,17。所以由S一㎡+33n的图像可知：当16或 17时，S,取得最大值即数列a的前16项或前17项的和最大。 反思感悟 求等差数列前n项和S,最值的方法 (1)利用通项公式寻找正、负项的分界点，则从第一项起到 分界点该项的各项和为最大（小）。寻找正、负项的分界点， an20, an≤0， 可利用等差数列性质或利用a#1≤0或a+1≥0来 寻找。 (2)借助二次函数的图像及性质求最值。 【变式训练】己知等差数列{a}中，a=9,a4+a0。 (1)求数列{a的通项公式： (②)当n为何值时，数列{a的前n项和取得最大值？ 解(1)由a1=9,a+ar0,得a1+3d+a+6d0,解得本-2，所以a,+(1)·正11-2n(n∈N)。 2解法一由(1)知，a=9,2,S,9n+·(2少m+10m52+25,所以当n5时，5，取得最大值。 2 解法二由(1)知，a9,d-2<0,所以{a是递减数列。令a≥0，则11-2n≥0，解得n≤号。因为n∈N,所以n≤5时， a>0,n≥6时，a,<0。所以当作5时，Sn取得最大值。 当堂检测提素养 1.等差数列{a共有2叶1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n的值是 (A) A.3B.5C.7D.9 解析S奇=4，S偶3，又S奇(+1)·a,S偶=na,所以件号，n3。故选A 2.设Sn为公差不为零的等差数列(a的前n项和。若S3a,则运 15 (A) A.15B.17C.19D.21 解析解法一由于S3 am即59a,号，所以受15。 51s15a+1 解法二设数列a的公差为d则s3a9a+36d3a+7-a=号则爱a+4-15。 3.已知等差数列{a}的前n项和为Sn7as+5a0,且ag>as,S,取得最小值时n的值为 (®) A.5B.6C.7D.8 解析由7as+5a0,即7a1+28d+5a1+40d0,得后=号。又a>,所以dD0,a1<0。因为函数y厂号2+(a1-号)x的图像 的对称轴为x专支号号，取最接近的整数6，故S,取得最小值时n的值为6。 4.等差数列{a}中，S2=4,S4-9,则S=15。 解析由S,S-S2S-S4成等差数列，所以4+(S。9)-2×5,所以S=15。 5.若等差数列{a的前n项和为S.-2+3n,p广q5,则aa。20。 解析由S.号2+(a1-号)r22+3n知公差d4所以a,a(pdd5×420。 ·独家授权侵权必究· 空学科网书城四 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ·独家授权侵权必究·