5.2.2 第1课时 等差数列前n项和的概念(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

5.2.2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列前n项和的概念 　　 泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(如图),奢靡之程度,可见一斑。你知道这个图案一共用了多少颗宝石吗? 1.理解等差数列前n项和公式的推导过程; 2.掌握等差数列前n项和公式; 3.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系。 知识点一、等差数列前n项和公式 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=。 2.因为an=a1+(n-1)d,所以等差数列前n项求和公式也可以改写为Sn=na1+。 知识点二、a1,d,n,an,Sn知三求二 1.等差数列的前n项和公式有两个,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量,通常已知其中三个量,可求另外两个量,解答方法就是解方程组。 2.当已知首项a1和末项an及项数n时,用公式Sn=来求和,用此公式时常结合等差数列的性质。 3.当已知首项a1和公差d及项数n时,用公式Sn=na1+d来求和。 知识点三、数列中an与Sn的关系 数列中an与Sn的关系:对任意数列{an},Sn与an的关系可以表示为an= 微提醒 　　等差数列的前n项和公式 倒序相加法是解决等差数列求和问题的基本方法,利用倒序相加法可以推出等差数列的前n项和公式。 类型一 等差数列前n项和应用 　　【例1】　在等差数列{an}中, (1)已知S8=24,S12=84,求a1和d; (2)已知a6=20,S5=10,求a8和S8; (3)已知a1=-3,a2=5,求S10; (4)已知a16=3,求S31。 解　(1)由得所以a1=-4,d=2。 (2)由得所以a8=a6+2d=32,S8==88。 (3)解法一:因为a1=-3,a2=5,所以公差d=a2-a1=8,所以S10=10×(-3)+×8=330。 解法二:公差d=a2-a1=8,a10=a1+(10-1)d=-3+72=69,所以S10===330。 (4)S31=×31=a16×31=93。 　　在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,均可化成有关a1,d的方程或方程组求解。解题过程中,要注意:(1)选择适当的公式;(2)合理利用等差数列的有关性质。 【变式训练】　在等差数列{an}中,已知d=2,an=11,Sn=35,求a1和n。 解　由 得解方程组得或 类型二 由Sn求an 　　【例2】　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2-3n,求证数列{an}是等差数列。 证明　a1=S1=1-3=-2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2-3n)-[(n-1)2-3(n-1)]=2n-4,当n=1时,2n-4=-2=a1,所以an=2n-4。又因为an-an-1=(2n-4)-[2(n-1)-4]=2(n≥2),所以{an}是等差数列。 (2)已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n,求an。 解　①当n=1时,a1=S1=3+2=5。②当n≥2时,Sn-1=3+2n-1,又Sn=3+2n,所以an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1。又当n=1时,a1=5≠21-1=1,所以an= 　　一般地,an与Sn有如下关系 an= an=Sn-Sn-1并非对所有的n∈N+都成立,而只对n≥2的正整数成立。由Sn求通项公式an时,要分n=1和n≥2两种情形,然后验证n=1时是否满足n≥2的解析式,若不满足,则用分段函数的形式表示。 【变式训练】　已知数列{an}中,an>0,Sn是数列{an}的前n项和,且an+=2Sn,求an。 解　将an+=2Sn变形为+1=2Snan。将an=Sn-Sn-1(n≥2)代入并化简,得-=1。由已知可得a1+=2a1,则S1=a1=1。所以数列{}是公差为1,首项为1的等差数列。所以=1+(n-1)·1=n。因为an>0,所以Sn>0。所以Sn=。所以当n≥2时,an=-。而当n=1时,a1=1也适合上式。所以数列{an}的通项公式为an=-,n∈N+。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型三 等差数列Sn的实际应用 　　【例3】　(1)一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120°,公差为5°,那么这个多边形的边数n等于 (C) A.12 B.16 C.9 D.16或9 解析　an=120°+5°(n-1)=5°n+115°,an<180°,所以n<13,n∈N+,由n边形内角和定理得(n-2)×180°=120°n+×5°,解得n=16或n=9,又n<13,n∈N+,所以n=9。 (2)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一棵树的树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为 2 000 米。  解析　记公路一侧所植的树依次记为第1棵、第2课、第3棵、…、第20棵,设在第n棵树的树坑旁放置所有树苗,领取树苗往返所走的路程总和为f(n)(n为正整数),则f(n)=[10+20+…+10(n-1)]+[10+20+…+10(20-n)]=5(n2-n)+5(20-n)(21-n)=5(n2-n)+5(n2-41n+420)=10n2-210n+2 100,所以f(n)=20(n2-21n+210),相应的二次函数图像关于n=10.5对称,结合n为整数,可得当n=10或11时,f(n)的最小值为2 000米。 　　应用等差数列解决实际问题的一般思路 【变式训练】　某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1 150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%。若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱? 解　设每次交款数额依次为a1,a2,…,a20,则a1=50+1 000×1%=60,a2=50+(1 000-50)×1%=59.5,…a10=50+(1 000-9×50)×1%=55.5,即第10个月应付款55.5元。由于{an}是以60为首项,以-0.5为公差的等差数列,所以有S20=×20=1 105,即全部付清后实际付款1 105+150=1 255元。 1.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a17=10,则S19的值为 (B) A.55 B.95 C.100 D.不能确定 2.若等差数列{an}的前三项的和S3=9,a1=1,则a2= (A) A.3 B.4 C.5 D.6 3.设数列{an}的前n项和为Sn=2-2·3n,则通项公式an= -4·3n-1 。  4.在等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前n项和Sn=100,则n= 10 。  5.等差数列{an}的前n项和记为Sn。已知a10=30,a20=50。 (1)求通项an; (2)若Sn=242,求n。 解　(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组解得a1=12,d=2。所以an=2n+10。 (2) 由Sn=na1+d=242,得方程12n+×2=242。解得n=11或n=-22(舍去)。 学科网（北京）股份有限公司 $$