5.2.1 第2课时 等差数列的性质(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

空学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第2课时 等差数列的性质 情境导入 课程标准 同学们前面我们学习了等差数列的概念，明白了可以从函数的视角认识等差 数列。在学习过程中我们发现了一个非常有意思的事情，比如说an,这是一个正 1.能利用等差数列的定义推出等 整数数列，如果我们把其中的偶数拿出来，即2,4,6,8,10，…容易发现这也是一个等差 差数列的性质 2掌握等差数列的性质，并可以灵 数列，同样，如果我们把所有的奇数拿出来，也能构成一个新的数列，今天我们就具体 研究等差数列中有哪些性质。 活运用性质解决问题。 自主预习明新知 知识点一、等差中项的概念 如果Ay是等差数列，那么称A为x与y的等差中项。根据等差中项与等差数列的定义可知本rA因此A学 知识点二、等差数列的性质 一般地，如果{a}是等差数列，而且正整数s,t,p,g满足s+t=p+q,则as+a=ap+aa。特别地，如果2sp+g,则2a=a+aa ®激提醒 若{a},{b,小分别是公差为dd的等差数列，则有 数列 结论 (c+a,} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·a 公差为cd的等差数列(c为任一常数) (an+am 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N) (pan+qb 公差为pd+gd的等差数列(p,g为常数) 合作探究攻重难 类型一等差中项 【例1】在-1与7之间顺次插入3个数a,b,c,使这5个数成等差数列，求此数列。 解因为-1，a,bc,7成等差数列，所以b是1与7的等差中项所以b艺-3。又a是1与3的等差中项，所以a 共1。又c是3与7的等差中项所以c学=5。所以该数列为-113,57。 反思感悟 ·独家授权侵权必究· 空学科网书城四 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 在等差数列{aJ中，由定义有a1-0。=anan1(n22,n∈N,), 即a,从而由等差中项的定义知，等差数列从第2 2 项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。 【变式训练】若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项。 解由m和2n的等差中项为4，得mt2-8。又由2m和n的等差中项为5，得2m+F10。两式相加，得3m+3F18,即 m+r6。所以m和n的等差中项为学芒=3。 类型二等差数列的性质 【例2】已知等差数列{a,}中，a1+a4+am=15,aea4a645,求此数列的通项公式。 解解法-因为a1+a-2a4,a+a4+am=3a415,所以a-5。又因为a2a4=45,所以a2a69,所以(a4-20(a4+2d0-9,即 (5-2d(5+2d①=9，解得d正±2。若d-2,则a=a4+(r4)23,n∈N若正-2，则an=a4+(r4)正13-2n,n∈N+。 解法二：设等差数列的公差为d则由a+a+ar15,得a+a1+3d止a+6正15，即a1+3正5①。由a2a4a645,得 (a1+d0(a1+3d(a+5045,将①代入上式得(5-2d×5×(5+2d-45,即(5-2d0(5+2d9②，联立①2解得a1-1,d广2或 a1-11,在-2，银即a,-1+2(mr1)=2r3,n∈N:或a=11-2(r1)=-2t13,n∈N。 反思感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等 差数列a}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首 项与公差的求解，属于通用方法：或者兼而有之。这些方法 都运用了整体代换与方程的思想。 【变式训练】(1)在等差数列{a}中，已知a1,23为方程32-10x+21=0的两根，则a2+a2022等于 (A) A.10 B.15 C.20D.40 解析根据韦达定理及等差数列的性质可得a2+202281+a22s10。 (2)在等差数列{a}中，己知+a10,则3as+ar20。 解析因为数列{a是等差数列，所以由等差数列的性质，得a+s+a。a+=10,a4+62as,所以 3as+a=as+2as+ar-as+a+as+ay-2X 10-20. 类型三递推关系构造等差数列 【例3】已知数列a满是A专，且当m1neN时，有空孕=安2，设A,安nEL。 (1)求证：数列{b}为等差数列。 (②)试问，a·a2是否是数列{a}中的项？如果是，是第几项：如果不是，请说明理由。 解诞明当LN时学要。等号产。毫22六击六=4444且专5。而以 {b是等差数列，且公差为4，首项为5。 (2)由(1)知b=b+(rl)d5+4rl)-41。所以a忘4本，neN。所以a1言，专，所以a·a希。令a4本= 希，所以r11。即a·a所以aa2是数列(a中的项是第11项。 反思感悟 已知数列的递推公式求数列的通项时要对递推公式 进行合理变形构造出等差数列，需掌握常见的几种变形形 式，考查学生推理能力与分析问题的能力。 【变式训陈】 若数列a,的各项均为正数，且满足4an+2√an±1，a,求a… 解由aa,2yan1,可得a4n+h1识。因为4，>0，所以n+1=V+1,即V+1√n1。所以Wan是首项 为Va1=1,公差为1的等差数列。所以√an=1+(m1)×1=n。所以a㎡。 ·独家授权侵权必究 空学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 类型四等差数列的实际应用 【例4】某公司2018年生产一种数码产品，获利200万元，从2019年起，预计其利润每年比上一年减少20万元 按照这一规律，知果该公司不研发新产品，也不调整经营策略，试计算从哪一年起，该公司生产这一产品将出现亏损？ 解记2018年为第1年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元…则该公司 每年获得的利润构成等差数列，记为{a,易知当a,<0时，该公司生产此产品将出现亏损。因为a1=200,公差d正-20，所以 am+(r1)F220-20n。由题意知数列aJ为递减款列，令an<0,即220-200解得n>11,即从第12年起也就是从2029 年开始该公司生产此产品将出现亏损。 反思感悟 实际应用问题已成为数学学习与研究的重要内容，等 差数列在实际生活中的应用比较广泛，解答这类题的基本 步骤是： 阅读理解材料，根馨题意找出变量关系 将实际问题转化为等差数列模型，并明 确120“ 研究变量的性质，挖掘愿目中的条件， 确定数列的公聚及首项，进而解决问题 奢资黎别务资囊美蛋骨驿 求解，然后国归到实际问题中 【变式训练】某市出租车的起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费为10元，超出4km(含4km)的路程， 按1.2元km的标准计费。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多 少车费？ 解根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1m,乘客需要支付1.2元。所以我们可以建立一 个等差数列{a来计算车费。令=11.2表示4km处的车费，公差1.2.那么当出租车行至14km处时，n11,此时需要 支付车费为a1=a1+10d11.2+10×1.2-23.2(元)。所以需要支付车费23.2元。 当堂检测提素养 1.已知等差数列{a}的通项公式a,32n,则它的公差d为 (C) A.2B.3 C.-2D.-3 解析由等差数列的定义得广a*1a,3-2(+1)）(32m)-2。 2.在等差数列{a}中，已知a42,ag=14,则5等于 (C) A.32B.-32 C.35 D.-35 解析由a-a(8-4)d本4d12,得d3,所以a15=+(15-8)d本14+7×3=35。 3.在等差数列{a}中，a4+as15,ar-12,则a等于 (A) A.3 B.-3 c.2 D. 解析由等差数列的性质，得a4+aa2+a,所以a=15-12-3。 4.设公差为-2的等差数列a小，如果a+a4+ar++agn=50,那么a+a6+++a9等于 (D) A.-182B.-78 C.-148D.-82 ·独家授权侵权必究· 空学科网书城四 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析as+a+画t+a9(a+20+(a+2d+(ar+2d++(a7+20-(a+a+…+ag7)+2d×33=50+2×(-2)×33=-82。 5.在等差数列{a}中，已知2+2a+a14=120,则2aga1o30。 解析因为a2+2a胸+a14=4a=120,所以ag30.2aga02(a0d-a10广a02正ag-30。 ·独家授权侵权必究·