5.1.2 数列中的递推(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 5.1.2 数列中的递推 情境导人 课程标准 《算盘全书》中有一个关于兔子繁殖的问题如果1对免子每月能1.了解递推公式是数列的一种表示方法： 生1对小兔子（一雄雌），而每1对小兔子在它出生后的第3个月里又 2理解递推公式的概念及含义，能够根据递 能生1对小兔子。在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50推公式写出数列的前几项 个月后会有多少对兔子？从第1个月开始，每月月末的兔子总对数是 3掌握由一些简单的递推公式求数列的通 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,这就是著名的斐波那契数列。 项公式。 自主预习明新知 知识点一、数列的递推关系 如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为 数列的递推关系（也称为递推公式或递归公式） 知识点二、通项公式与递推公式的区别与联系 区别 联系 通项 公式 项an是序号n的函数afn) 都是给出数列的 方法，可求出数列 中任意一项 递推已知a(或前几项)及相邻项（或相 公式邻几项间的关系式 知识点三、数列的前n项和 一般地，给定数列{a,称S=a++as++an为数列{a}的前n项和。 微提醒 递推公式与通项公式一样都是关于n的恒等式我们可用符合要求的正整数依次去替换，从而可以求出数列的各 项。 令微思考 数列的前n项和与通项a,之间的关系？ S1n=1, 提示a,Sn-Snvn≥2。 合作探究攻重难 ·独家授权侵权必究 空学科网书城四 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 类型一由递推关系求数列中的项 【例1】 已知数列a的第一项是2，且a,1嘉(n≥2)，写出这个数列的前5项，你能说出这个数列有什么特点吗？ 解2，a1高1专，1卖1-言-1，a41毫=1青2，a61意1壹方。可以看到从第4项开始，数列中的 项呈周期性地出现2，壳，一1这三个数，也就是说a1=a4,a=a6…,a+3。 反思感悟 由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式冲 各部分的关系，然后依次代入计算即可。 (2)解答这类问题时还需注意若知道的是首项，通常将所给 公式整理成用前面的项表示后面的项的形式。 (3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表 示前面的项的形式。 【变式训练】 己知数列{a}满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式。 (1)a-0,a*1=at(2r1i 23 (2）a1-1,am1=2+a. 解(1)因为a1=0,am1=a+(2m1),所以a2=a1+(2×1-1)0+1=1;a=a+2×2-1)=1+3=4;a4=+2×3-1)=4+5=9: asa+(2×4-1)9+7=16。故该数列的一个通项公式是a(r1)2。 阅由a1是所以嘉手高专A嘉考景专所以它的5项依次是，特是诗，故它的 23 2a21 232 2 一个通项公式为a中市。 类型二由递推关系求通项公式 【例2】 己知数列{a}满足a=-l,a1a方市n∈，求数列a,}的通项公式。 解因为44清品，所以4主克，4时a号青风a青京4an1六(o≥2)所以 (aeH(aa(aa…(a4-(1-主)+（专-寺）+t点清即aa1(n≥2。所以aamt1吉11 方=言(n≥2)，又当r1时，a1=-1,也符合上式。所以a,,n∈N。 反思感悟 由递推公式求通项公式的技巧 (1)由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一 是高考考查的热点，累加法、累乘法、迭代法是解决这类 问题的常用技巧。 (2)当a。a1=f(n)且满足一定条件时，常用 am-(Onan-1)+(an1-onm2)++(ara)+a1来求an,我们通常称这种 方法为累加法。 3)当0且满足一定条件时，常用a=。名号 a,来求a。我们通常称这种方法为累乘法。 【变式训练】 已知数列{a}满足：a=1,2r1a,ar1(n∈N,n≥2)。求数列{aJ的通项公式。 ·独家授权侵权必究· 学科网书城四 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解4完·器…爱·学a()1.(传)-.…（佳）()上1()+2()学 -湘 所以a() 类型三由递推公式求若干项 1+am 【例3】若数列{a}满足a1-2,a1-,neN,求2e☒o 解兰将3岩胡专，4号计专瓷并2所以则是周阳为4的数列所以出 023a4×506+3aF一方。 反思感悟 递推公式反映的是相邻两项（或几项之间的关系。要 判断一个数列是否具有周期性或求解一个周期数列，主要 方法是通过递推公式求出数列的前几项，观察得到规律或 由递推公式直接发现规律。 【变式训练】己知数列{aJ中，a=l,a22,a2at1awn∈N,试写出，aa,a,a,a,你发现数列(a}具有怎样的规律？ 你能否求出该数列中的第2023项？ 解a=1,a2,ag1,a-1,a2,a6-1,a1,as2,。发现an6a数列{a具有周期性周期76。证明如下因为 a*2a1-a,所以atsa2a1(a1a)a1=-a。所以a6=a3（a,a。所以数列a,是周期数列，且T6。所以a 023a337×6+1=a=1。 类型四利用数列的前n项和求通项 【例4】已知数列{a的前n项和S,aa1=壳，求数列{a的通项公式。 解因为S.㎡a①，所以当n≥2时，Sr1(n-1)Pa1②。①-②，得aSm-Sr1an(r1)Par1,整理得 (-104,(-a易知a0,则号号a≥2，所以a通·密·需…是专×号×子×号×…×异×尉= 1 +(a≥2。因为a艺适合a+,所以aw+。 反思感悟 由5n求a的般步骤 (1)已知Sn求aa。 (S n=1, 利用aS。-Sn-1n之2，可由数列的前n项和5，求 得数列的通项公式·。解题过程通常分为四步第一步，令 n=1得a1第二步，令n22得am第三步，在第二步求得的an 的表达式中取=1，判断其值是否为ā：第四步，写出数列的 通项公式（若第三步中n=1时，an表达式的值不等于a1,则数 列的通项公式一定要分段表示)。 (2)已知S.与an之间的关系求an。 解决此类问题通常有两种途径：①由关系式消去5建立0 与an1(或n+i)之间的关系求a②由关系式消去am建立Sn 与5m1之间的关系求Sm,进而求a。 16,n=1 【变式训练】 数列{aJ中，2at+na(+1)(n+2),则数列a时的通项公式为a气2+系，n≥2- ·独家授权侵权必究 空学科网书城四 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析当n≥2时，由已知等式得a+2a2+3t+(r1)·a1=(+1)。把已知等式与上式相减得 6n=1, a(r1mr2)dn1,故a,-2+号a≥2.当m1时商2×3-6不满起上式所以a2+系n≥2。 当堂检测提素养 |a1=2 1.已知a*1=an+2,n∈L 则a4的值为 (C) A.4B.6C.8D.10 解析a2a+2=4,ast2-6,a=a+2-8。故选C。 2.已知a-0,a-4,at1=a-t,则t的值为 (⑧) A.2B.-2C.1D.-1 解析aza1-t,aa2t行a2t4,t-2。故选B。 3.已知数列{a}满足a1=2,a1ant1-0(a∈N),则此数列的通项4等于 (D) A.+1B.t1C.1-nD.3-n解析因为a*1-an-1。所以aa1+(a-a)H(a-a)+(aari)2+(-1)+(1)+… +(-1)=2+(-1)×(m1)=3-n 4.数列x小中，若为=1,1才市-1(eN),则友02L。 解析因为=1，所以X专，所以1，所以数列x的周期为2，所以2x1=1。 5.已知：数列{a}中，a=1,a+中a (1)写出数列的前5项； (2)猜想数列{a}的通项公式。 解(（)a1,中×1方，1承×专，a4×主，4×}吉。 (2） 猜想a方。 ·独家授权侵权必究· 空学科网书城四 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ·独家授权侵权必究·