5.1.1 第2课时 数列的性质(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

空学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第2课时数列的性质 自主预习明新知 知识点一、数列的分类 1,数列按项数可分为有穷数列和无穷数列。 2.按后一项和前一项的大小关系可分为递增数列、递减数列和常数列。 3.从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，叫做递增数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，叫做 递减数列；各项都相等的数列叫做常数列。 知识点二、数列与函数的关系 数列{}可以看成定义域为正整数集的子集的函数。数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函 数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 令微思考 数列所对应的图像是连续的吗？ 提示：不连续。它的图像是相应的曲线（或直线）上横坐标为正整数的一些孤立的点。 合作探究攻重难 类型一数列的分类 【例1】下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ (1)2020,2022,2024,2026,2028: 20,3号会 1方左2六 (409,9,9,9,9,9。 解(1)(4是有穷数列：(1)(2)是递增数列：(3)是递减数列：(4是常数列。 反思感悟 判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的 特点。对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋 势来分析而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无 限。 【变式训练】 ①20112018年某市普通高中生人数（单位：万人）构成数列82,93,105,119,129,130,132,135。 ②无穷多个V3构成数列3，V3,V3,V3 ③-2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂…构成数列2,4,8,16，-32。 其中，有穷数列是①无穷数列是②③递增数列是①常数列是②。 类型二判断数列的单调性 【例2】 已知数列{a时的通项公式为an+,试判断该数列的单调性。 (+1) 2+1 解因为4+14，+1+本 +4+1+] [叶1)+4 【+1+1]+1)由n∈N,得a1a,>0,即a1>a。所以数 列{a是递增数列。 ·独家授权侵权必究 空学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 反思感悟 单调性是数列的一个重要性质。判断数列的单调性 通常是运用作差或作商的方法判断a1与a(n∈N,)的大小， 若a>0n恒成立，则{a}为递增数列若an1<an恒成立则 {a为递减数列。用作差法判断数列增减性的步骤为：①作 差②变形：③定号④结论。 【变式训练】 己知数列{a,的通项公式是a品，试判断数列{a的单调性。 解解法-因为aF品，所以a1片于是aa器品2叶2+ +1 +1 n n+12+1)-12+3 (2+1X2+3,因 为n∈N,所以2t1)2+3)>0,因此2+12+0，即a1>av故[a是递增数列。 解法二因为4品，所以4种崇于是安器×2钟器1+24丽，因为n∈所以24 +1 2+3n >0,因此1+24>1，即芒>1，又a>0,所以a1>a即a}是递增数列。 类型三求数列的最大（小项 【例3】已知数列{a}的通项公式为a2-5t4。 (1)数列中有多少项是负数？ (②)n为何值时，a有最小值？求出最小值。 解(1)由m2-54<0,解得1<<4。因为n∈N,所以F2,3。所以数列中有两项是负数。 ②解法一因为a的相应函数力(-5x+4(x-)2号，可知对称轴方程为x号2.5。又因为n,故m2 或3时，a,有最小值且2=，其最小值为22-5×2+4=-2。 （an≤a+y (n2-5n+4≤(n+1)2-5(n+1)+4 解法二设第n项最小由an≤n1得(n2-5+4≤(a-1-5式a-)+4。解这个不等式组得2≤0 ≤3。又因为n∈N,所以斤2,3。所以a2=且最小。所以a2出22-5×2+4-2. 反思感悟 求数列{a的最大项和最小项，一种方法是利用函数的 an≤a+y 最值法另一种是不等式法求最小项可由an≤an-1 来 （an之a+y 确定n求最大项可由an≥a-1 来确定n。若数列是单 调的，也可由单调性来确定最大或最小项。 【变式训练】已知数列a的通项公式4，(+)（翌）m∈)，试问数列a有没有最大项若有，求最大项利最 大项的项数；若没有，说明理由。 解假设数列{a}中存在最大项。 因为a4(r2()1*)()”()”7,当9时，41a0即 a1>an当广9时，a1-a0,即2n41Fa当m>9时，ah1-an0,即a1<an故a1<a<a<…<a-a0>a1>a12>,所以数列中有最大 10o 项，最大项为第9,10项且aao1。 类型四数列与函数的关系 【例4】在数列{a}中，a1-2,a66,通项公式a.的相应函数是一次函数。 (1)求{a}的通项公式： (2)88是不是数列{a」中的项？ ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (a1=k+b=2 (k=4 解()设akmh则a17=17k+b=66解得气b=-2。 所以a=42(neN)。 (②)令a88,即42=88，解得F22.5N。所以88不是数列a小中的项。 反思感悟 (1)在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意通项 公式相当于函数中的函数解析式。它的定义域是N(或它 的有限子集{1,2,3…，n)这一约束条件。 (2)判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公 式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确 定这个数是香为数列中的项。 【变式训练】 己知数列{a}的通项公式为a,一P+2+1,该数列的图像有何特点？试利用图像说明该数列的单调性 及所有的正数项。 解由数列与函数的关系可知，数列{a}的图像是分布在一次函数-x2+2x+1图像上的离散的点如图所示从图像 上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项。 4 -5 6 核心素养达成 忽视数列与函数的区别致误 【典例】 设数列a的通项公式为ar+n,且对任意n∈N,a,<a1恒成立，则实数的取值范围是(-3，+oo)。 【易错解法】 arn2号，由n∈，且a,a知数列a是递增数列，所以号≤1，即A∈【2，+∞ 【易错探因】 事实上，由二次函数图像的对称性知，函数f(x)=x2+λx在[1，+∞)上不单调照样可使得数列单调，即对 称轴x号满足分∈（1，)时仍有a<成立。 【正确解答】 解法一由题意知，a+1-a,(t1)P+(t1)㎡-n2n+1+入>0恒成立即>-(2t1)恒成立。因为n∈N, 所以>-3。故实数的取值范围是(-3，+∞)。 解法二4，m4r(n+)2号，由于n∈N,且由4，<a1恒成立可知，数列a是单调递增数列结合二次函数的图 像有号<号，解得》-3，故的取值范围是(3，+∞)。 当堂检测提素养 1.己知a1-a,2-0,n∈N,则数列{a}是 (A) A.递增数列B.递减数列 C.常数列 D.不能确定 解析a*1a,*2>a,n∈N,即该数列每一项均小于后一项，故数列{a,}是递增数列。 ·独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2已知数列{4的通项公式是器，则这个数列是 (A) A.递增数列 B.递减数列 C.有穷数列 D.常数列 解析a,2n,41an中n中20。故选A。 3.已知数列{a小的通项公式a1og+)(如+2)，则它的前30项之积是 (⑧) A.吉 B.5 D10g23+l08m32 C.6D.- 5 解析a1·2·…·a01og3·1og34·1og45·…·10g3132-1og232=5。故选B。 4.已知数列a,(m22(r32)是递减数列，求实数m的取值范围。 解因为数列a为递减数列所以a1<a。所以at1a.(m2-2m[(n+1)3-2(+1)-2+2-(22)3r31)<0。因为n∈ N,所以3r43r13(n+)2子≥5>0。所以㎡-2m<0,解得0m2。故m∈02。 ·独家授权侵权必究· 空学科网书城四 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ·独家授权侵权必究·