精品解析：湖北省七市州2024-2025学年高三下学期3月联合统一调研测试数学试题

2025年湖北省七市州高三年级3月联合统一调研测试 数学试卷 命题单位：恩施州教科院 审题单位：宜昌市教科院 十堰市教科院 2025.3 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效， 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集、补集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 又，， 所以，则. 故选：C 2. 复数是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先判断当时，是否等于，以确定充分性是否成立；再判断当时，是否一定等于，以确定必要性是否成立，进而确定条件类型. 【详解】当时， 再计算： ， 所以当时，成立，充分性成立. 由，则：， 即或，所以当时，不一定等于，必要性不成立. 因为充分性成立，必要性不成立，所以复数是成立的充分不必要条件， 故选：A. 3. 在正项等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】因为是方程的两个根， 所以， 又因为在等比数列中，， 又因为是正项等比数列，所以， 所以， 故选:B. 4. 函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出平移后函数解析式，利用它关于轴对称（函数为偶函数）求得值． 【详解】把函数（）的图象向右平移个单位长度， 所得图象对应的函数是（），且它是偶函数， 所以（），，（）， 又因为，所以. 故选：B． 5. 已知向量，向量满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设，即可得到，从而得到，结合求出的取值范围，再计算即可. 【详解】设，则， 又，即，所以， 所以，解得 所以， 所以当时取得最小值，且最小值为. 故选：C 6. 已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与交于两个不同的点，且为线段的一个三等分点，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】设，，应用向量数量关系的坐标表示得到，再令有，结合斜率的两点式求. 【详解】设，不妨设， 所以，则， 令，所以，则， 由，所以. 故选：B 7. 已知是定义域为的单调递减函数，且存在函数使得.若分别是方程和的根，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将化为便可利用的单调性解决. 【详解】因为，且， 所以， 即. 因为是定义域为的单调递减函数， 所以函数单调递减， 又因， 故，即. 故选：A. 8. 在长方体中，，点是平面内的动点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定点所在的截面圆，通过面面垂直找到球心到截面的距离，进而求出截面圆半径，再结合点与截面圆的位置关系求出的最大值. 【详解】如图，连接AC，由，得， 由可知点在以AC的中点为球心，为半径的球面上． 而又在平面内，故为平面与球的截面圆上的动点. 取CD的中点E，AB的中点的中点，连接， 则由长方体的性质得平面且三角形为直角三角形， 而平面，所以平面平面EFG， 作于，因平面平面， 平面，故平面，故为截面圆的圆心. 又， 故截面圆的半径为， 即点在以为圆心，为半径的圆上， 而既在球面上，又在平面内，故在截面圆上， 故的最大值即为截面圆的直径，则的最大值为． 故选：D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若小明坐公交上班的用时（单位：分钟）和骑自行车上班的用时（单位：分钟）分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则 D. 若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正态分布密度曲线的性质及原则、密度函数解析式一一分析选项即可. 【详解】 由题意易知坐公交的方差比骑自行车的方差大， 即的密度曲线较矮胖，的密度曲线更瘦高， 则的密度曲线在38分钟后在的密度曲线的上方，可在同一坐标系中作出密度曲线， 易知，故A错误； 由原则可知，故B正确； 根据条件可知两种方式相应密度函数分别为：， ，建立方程， 整理可得， 则，故C错误； 易知，故D正确. 故选：BD 10. 双曲线的左右焦点分别为为坐标原点，点在双曲线上，且的内切圆圆心为，则（ ） A. 点在直线上 B. C. 外接圆的面积为 D. 连结交轴于点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合图像，利用双曲线焦点三角形的内切圆的特征，可求出，得到双曲线方程及焦点坐标，根据内切圆的性质可推理出是直角三角形，并求得点坐标为，再根据选项要求分别判断即可. 【详解】根据题意，设的内切圆半径为，则，设内切圆与边的切点为， 则有，，结合双曲线定义和内切圆的性质可得，即. 所以双曲线的方程为，焦点. 对于A，点在直线上，故A正确； 由题意，点在第一象限，设内切圆与边的切点为，连接， 易知且， 则四边形是正方形，即有，易得点坐标为. 对于B，在中，,根据勾股定理，，，所以，故B错误； 对于C，由已知条件可知，三角形外接圆半径，所以圆面积为，故C正确； 对于D，在中，因为，所以，则，故D正确. 故答案为：ACD. 11. 已知函数是其导函数.若存在且，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求导函数，再根据函数图象，结合单调性判断A，再根据三角函数化简求解得出进而判断B，D，结合基本不等式计算求解C. 【详解】，数形结合，得到内的大致图象为如图所示， 故，，A对. 由得， 即， 由题意，则， ，则，B正确. 又，D正确. 因为，从而C错误. 故选：ABD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，则__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为，所以， 则，故. 故答案为： 13. 的展开式中的系数为__________. 【答案】20 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项分前面括号内取1和分别求解即可. 【详解】展开式的通项是， 分别令得， 所以展开式中项为， 所以展开式中的系数为. 故答案为：20. 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知数列满足，，当时，令，若函数的图象关于点成中心对称图形，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知有或，结合确定数列前2026项成等差数列，公差为，进而得，再判断的奇偶性，即可得结果. 【详解】因为或， 又， 设2025个差中有个2和个，故，所以， 即数列前2026项成等差数列，公差为. 令， 即， 则 ， 所以为奇函数，结合题设易知，故. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据已知得数列前2026项成等差数列，公差为2，并确定是奇函数为关键. 四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求； （2）若为边上一点（异于端点），，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再结合余弦定理求解角度即可. （2）利用正弦定理结合角平分线定理将目标式利用三角函数表示，结合正切函数的性质求解取值范围即可. 【小问1详解】 在中，因为， 所以， 得到， 据正弦定理可得，则， 由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 在中，因为， 所以，则， 由正弦定理得， 则， 又因为，所以，则， 结合函数性质可得，故的取值范围为. 16. 如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面 （1）证明：； （2）若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 过点作于， 由平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，故，又为直径，易知， 且平面，所以平面，平面， ，且，平面，， 平面，平面，故. （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于，应用面面、线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定证明面，最后应用线面垂直的判定和性质证明结论； （2）根据已知确定三棱锥的体积取得最大有，过点作于，建立合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，取到最大值，过点作于， 建立以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的方向为轴， 设平面与平面的法向量分别为. 则，， 所以，则， 令，可得， 所以，因为平面的法向量为， 则平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若，讨论方程的根的个数. 【答案】（1） 当时，无递增区间，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； （2） 当时，方程有0个实根； 当或时，方程有1个实根； 当时，方程有2个实根. 【解析】 【分析】（1）应用分类讨论及导数研究函数的单调区间即可； （2）根据已知有，构造并应用导数研究函数的单调性，得到，利用导数研究右侧的单调性和最值，即可得参数范围. 【小问1详解】 的定义域为，则， 因，由，解得， ①当时，恒成立， 所以的无递增区间，递减区间为； ②当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； ③当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； 综上所述， 当时，无递增区间，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； 【小问2详解】 由题设， 令，则，即在上单调递增， 故上式中满足，则有，可得， 令，则，由解得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，且，当时，， 故. 结合图象，可知， 当时，方程有0个实根； 当或时，方程有1个实根； 当时，方程有2个实根. 18. 已知某商店出售商品A，据统计分析，发现顾客对商品A的需求量相对稳定，每周内对商品A的不同需求量（单位：个）与概率的数据如下： 对A的需求量 0 1 2 3 概率 若以商品A的库存作为供给量，为了改善经营，该商店决定每周末对商品A进行盘点存货：如果商品A都售出了，则在周末及时采购2个新的商品，只要商品A还有1个存货，就不采购新的商品.记为该商店第周开始时商品A的供给量，假设. （1）求的分布列； （2）记为第周开始时供给量的概率向量，随着的增大，若，则趋向一个定常态分布，记这个定常态分布为. （i）求商品A的定常态分布； （ii）从长远来看，求该商店改善经营后商品A需求大于供给的概率. 【答案】（1）分布列： 1 2 （2）（i）；（ii）.【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式计算得，则； （2）（i）设，利用全概率公式即可得到方程，解出即可； （ii）分析得，再利用全概率公式即可. 【小问1详解】 由题意，第2周开始时商品A不同供给量的概率为，， 第3周开始时商品A供给量的概率为 ， . 第3周开始时商品A的供给量分布列为 1 2 【小问2详解】（i）记为商品A第周内的的需求量，由题意，与的状态有关， 当时，若，则；若，则， 设，即， 由全概率公式可得， ， 由，得，解得，故. （ii）由（i）可知，定常态分布，所以从长远来看， ， 记商品A需求大于供给的概率为，由全概率公式得 . 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是理解定常态分布的定义，再结合全概率公式计算即可. 19. 已知函数的图象与椭圆交于两个不同的点.是上的点，在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于，重复上述操作，依次得到. （1）求； （2）记直线的斜率为. （i）设的面积分别为，证明：； （ii）若，求证：. 【答案】（1），. （2） （i）设，由题意不同时为0，不妨令且； . 由（1）可知； 则. 要证，即证，即证； 令，即证，再令，即证，即证. 构造函数，则，所以在上单调递增； 即.所以得证.即. （ii）由（i）可知，，所以. 因为，得； 即，即. 得，因为，所以； 所以. 所以.即. 当时，有，即； 所以，从而. 【解析】 【分析】（1）根据函数在点处得切线方程即可求出，再根据规律求出. （2）（i）先求出和的关系式，再结合斜率性质，构造函数进行证明. （ii）根据点代入作差作和，利用，通过变形推理进行证明. 【小问1详解】 解：由题意在处的切线方程为； 令，可得，即. 由可知在处的切线方程为； 令可得，即； 所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以. 【小问2详解】 略 【点睛】常见的放缩法技巧： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖北省七市州高三年级3月联合统一调研测试 数学试卷 命题单位：恩施州教科院 审题单位：宜昌市教科院 十堰市教科院 2025.3 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效， 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在正项等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 4. 函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，向量满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与 交于两个不同的点，且为线段的一个三等分点，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 7. 已知是定义域为的单调递减函数，且存在函数使得.若分别是方程和的根，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 8. 在长方体中，，点是平面内的动点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若小明坐公交上班的用时（单位：分钟）和骑自行车上班的用时（单位：分钟）分别满足，且同一坐标系中的密度曲线与的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若的密度曲线与的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则 D. 若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交 10. 双曲线的左右焦点分别为为坐标原点，点在双曲线上，且的内切圆圆心为，则（ ） A. 点在直线上 B. C. 外接圆的面积为 D. 连结交轴于点，则 11. 已知函数是其导函数.若存在且，满足，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，则__________. 13. 的展开式中的系数为__________. 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知数列满足，，当时，令，若函数的图象关于点成中心对称图形，则__________. 四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求； （2）若为边上一点（异于端点），，求的取值范围. 16. 如图，点 是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面 （1）证明：； （2）若线段上存在一点 满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若，讨论方程的根的个数. 18. 已知某商店出售商品A，据统计分析，发现顾客对商品A的需求量相对稳定，每周内对商品A的不同需求量（单位：个）与概率的数据如下： 对A的需求量 0 1 2 3 概率 若以商品A的库存作为供给量，为了改善经营，该商店决定每周末对商品A进行盘点存货：如果商品A都售出了，则在周末及时采购2个新的商品，只要商品A还有1个存货，就不采购新的商品.记为该商店第周开始时商品A的供给量，假设. （1）求的分布列； （2）记为第周开始时供给量的概率向量，随着的增大，若，则趋向一个定常态分布，记这个定常态分布为. （i）求商品A的定常态分布； （ii）从长远来看，求该商店改善经营后商品A需求大于供给的概率. 19. 已知函数的图象与椭圆交于两个不同的点.是上的点，在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于，重复上述操作，依次得到. （1）求； （2）记直线的斜率为. （i）设的面积分别为，证明：； （ii）若，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $