2025年中考数学复习几何部分 三角函数 专练

2024-2025学年中考复习几何部分《三角函数》专练 1．某校综合与实践活动中，要利用测角仪测量郊外一小山的高度．如图，两山脚距离，在山脚测得山腰处的仰角为 ，山脚和山腰相距， 在山腰处测得山顶的仰角为 ，在山脚测得山顶的仰角为 ，点，， ，在同一平面内． (1)求山腰到的距离的长； (2)设山高为 (单位：)． ①用含有的式子表示线段的长结果保留三角函数形式)； ②求山高 (取， 取， 取，结果取整数)． 2．李华准备用自己学习到的三角函数知识来测算一下自家楼前景观花坛的宽．如图，李华在阳台处观察到花坛的一边点处的俯角，花坛的另一边点处的俯角，且花坛与地面平行，测得点与李华居住的楼之间的距离，点，，在同一条直线上．求花坛的宽．（精确到，参考数据：，，，） 3．位于沁阳市博物馆院内的三圣塔，是河南省三大金塔之首，距今有多年历史．学完三角函数知识后，某校数学小组的同学决定利用所学知识测量三圣塔的高度．如图，在处用测角仪测得塔顶的仰角为，沿方向前进到达处，又测得塔顶的仰角为．已知测角仪的高度为，测量点，与三圣塔的底部在同一水平线上． (1)求三圣塔的高度．（，，） (2)据史料记载，三圣塔的高度是，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减少误差的合理化建议． 4．小明利用所学三角函数知识对小区洋房的高度进行测量．他们在地面的A点处用测角仪测得楼房顶端D点的仰角为，向楼房前行在B点处测得楼房顶端D点的仰角为，已知测角仪的高度是（点A，B，C在同一条直线上），根据以上数据求楼房CD的高度．（，结果取整数） 5．小东同学学习了《锐角三角函数》一章后，决定运用所学知识测算教室对面远处正在施工的塔吊（一种将重物吊到高处的建筑工具）的高度．小东现在所处的位置是四楼教室的点处，小东利用测角仪测得对面远处塔吊正在施工的六层（每层高）建筑物的顶部点的仰角为，测得被这幢六层建筑物遮住了一部分的塔吊的顶端点的仰角为．按照安全规定：此时塔吊的底部点距建筑物的底部点是．利用这些数据，小东经过详细的计算，得出塔吊的高度约为，但这个高度明显违反了此种塔吊使用的安全规定（塔吊的最高高度与建筑物的最高高度差必须保持在），亲爱的同学，你也来利用小东测得的数据，仔细算一算塔吊的高度，并判断该塔吊是否违规操作．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，）    6．学习完《直角三角形的边角关系》后，数学老师布置了一项利用三角函数测宽的数学实践活动．居住在贾鲁河南岸的小宇选择了测量某段贾鲁河的河宽、如图，在小组同学的共同努力下，他们在河的南岸点处观测到北岸岸边的一棵大树在北偏东方向上，他们沿着北偏东的方向走了30米到达岸边点处，此时他们发现这棵大树在自己的正北方向上．请你帮助小宇组的同学求出这段贾鲁河的河宽．（结果精确到．参考数据：，，    7．我市一4A级风景区（如图1）为了缅怀在宿北大战中献身的革命先烈，在山顶建有一座“宿北大战纪念碑亭”．学完了三角函数知识后，某校“数学社团”的小明和小华同学决定用自己学到的知识测量“宿北大战纪念碑亭”的高度．如图2，已知，斜坡的坡度为，斜坡的水平长度为24米，在坡顶A处的同一水平面上矗立着“宿北大战纪念碑亭”，在斜坡底P处测得该碑亭的亭顶B的仰角为，在坡顶A处测得该碑亭的亭顶B的仰角为．求： (1)坡顶A到地面的距离； (2)求碑亭的高度（结果保留根号）． 8．小明参观海军博物馆的军舰时，想测量一下军舰的长度．军舰停放位置平行于岸边主于道，军舰距离岸边主干道的距离是120米，由于军舰停放的位置正对的岸边是另一片展区，无法穿越，他想到借助于所学三角函数知识来测量计算，他沿平行于岸边的主干道从点C处走200米到点D处，在点C处测得军舰头部点A位于南偏东，在点D处测得军舰尾部点B位于南偏东．求军舰的长度（结果保留1位小数）．（，，，） 9．如图，大渡口义渡古镇某建筑物楼顶立有广告牌，小玲准备利用所学的三角函数知识估测该建筑的高度．由于场地有限，不便测量，所以小玲从点B处沿坡度为的斜坡步行25米到达点C处，测得广告牌底部D的仰角为，广告牌顶部E的仰角为（小玲的身高忽略不计），已知广告牌米．（参考数据：，，） (1)求C处距离水平地面的高度； (2)求建筑物的高度． 10．如图，斜坡的坡角，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点，过其另一端安装支架，所在的直线垂直于水平线，垂足为点为与的交点．已知，前排光伏板的坡角． 三角函数锐角 13° 28° 32° 0.22 0.47 0.53 0.97 0.88 0.85 0.23 0.53 0.62 (1)求的长（结果取整数）； (2)冬至日正午，经过点的太阳光线与所成的角．后排光伏板的前端在上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则的最小值为多少（结果取整数）？参考数据： 11．小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．过点M作， 垂足为N， 测得，． (1)设米， 则的长为 ． (用含x的代数式表示) (2)请你依据所测数据求出这段河流的宽度(结果精确到 )． 参考数据：， 12．《奉天通志》卷75记载了沈阳浑南白塔“出生”的年代，白塔建于明永乐四年（公元1606年），为僧人德本监修．塔座用经过琢磨的白石砌成，塔旁有一庙宇名弥院寺，故又名弥陀寺塔．白塔是沈阳当时的一个标志性建筑．在清代因日俄战争损毁，百年后的2001年，白塔堡政府重建了白塔．浑南区某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 测量对象 沈阳市浑南区白塔． 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 无人机，测角仪等． 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面100m的P点，测得塔的顶端A的俯角为； 2．再将无人机沿水平方向飞行80m到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为． 测量示意图                  请根据以上测量数据，求白塔的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：，，） 13．小雁塔位于唐长安城安仁坊（今陕西省西安市南郊）荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．小明在学习了锐角三角函数后，想利用所学知识测量“小雁塔”的高度，小明在一栋高9.982米的建筑物底部D处测得塔顶端A的仰角为45°，接着在建筑物顶端C处测得塔顶端A的仰角为37.5°．已知AB⊥BD，CD⊥BD，请你根据题中提供的相关信息，求出“小雁塔”的高AB的长度（结果精确到1米）（参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77） 14．【问题发现】如图1，在中，，，探究与的数量关系．小浅在经过思考后，决定通过分割角度的方法解决问题：如图2，小浅作交于，将割成60°与15°，发现是特殊角，进而通过三角函数解决了问题． 【解决问题】（1）请沿着小浅同学的思路，直接写出与的数量关系； 【方法应用】（2）请你使用小浅同学解决问题的方法或使用其他方法，解决如下问题：如图3，在等腰中，，，，，求的度数； 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，点在线段上，且为等边三角形，连接，若，，，试求的度数． 15．学了《锐角三角函数》章节后，某学校九年级数学兴趣小组的同学对岳麓山上的电视塔高度进行了测量，如图，测得仰角为，再往塔的方向前进至B处，测得仰角为．（参考数据：） (1)求的度数； (2)若学生的身高忽略不计，求该塔的高度？（结果精确到） 16．郑州双子塔（如图1）是中国第一高双子塔，建筑造型新颖，柔和的圆弧风车外形与层叠的竹节状建筑元素使整个建筑轻灵通透，超高层双子塔作为高铁站西广场的门户，已经成为郑州标志性的建筑．在学会三角函数知识后，家住双子塔附近的李亮同学决定用自己学到的知识测量其中一座塔的高度，如图2，李亮在小区门口点C处测得其中一个塔的顶部B的仰角为，然后在自家阳台上的点D处测得B的仰角为，若李亮家的阳台D到地面E的距离为，点E到点C的水平距离为，且A，C，E三点共线，求的高度（结果精确到．参考数据：，，）．    17．【阅读理解】 在学习了《锐角三角函数》这一章内容后，我们知道了，，这几个特殊角的三角函数值，我们还能求出的值．    如图1，在中，，，延长到点D，使，则有 在中，  ∴   在中   ∴． (1)【实际应用】2022年北京冬奥会持续点燃了群众们的冰雪热情，在“大力发展寒地冰雪经济”的黄金发展时期，西宁市某滑雪场为满足青少年滑雪初学者的需求，设计了一条滑道，如图2所示，滑道的坡角，水平宽度．请根据以上材料提供的数据，求出图2中滑道的铅直高度AC是多少米？（结果取整数，参考数据）． (2)【类比探究】如果滑雪场准备再建一条坡角为22.5°的滑道，你能根据图3求出的值吗？ 类比上面提供的方法，请你将下列探究过程补充完整： 解：中，，，    18．无影塔位于河南汝南城南，俗传夏至正午无塔影，故称无影塔．某数学兴趣小组在学习完锐角三角函数后，分成A，B两个小组利用无人机测量无影塔的高度．如下是两个小组设计的两种测量方案． 课题 测量无影塔的高度 方案 A组方案 B组方案 测量示意图       方案说明 点A为塔的最高点，点B为塔底座的最右端，无人机在点C处测得塔顶端A处的俯角为，测得点B处的俯角为（A，B，C三点在同一竖直平面内） 点A为塔的最高点，点B，C在同一水平线上，在点B处测得塔顶端A处的俯角为，在点C处测得塔顶端A处的俯角为（A，B，C三点在同一竖直平面内） 测量数据 ，，无人机距离塔底端所在水平地面的距离为36m ，，点B，C之间的距离为28m，无人机距离塔底端所在水平地面的距离为38m 参考数据 ，，， ，， (1)他们在计算过程中发现A组的方案比B组的方案误差大，为什么？ (2)请利用B组的方案求该塔的高度． 19．某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在处测得福塔主体建筑顶点的仰角为，福塔顶部桅杆天线高，再沿方向前进到达处，测得桅杆天线顶部的侧角为． (1)求中原福塔的总高度；（结果精确到参考数据；，，） (2)“景点简介”显示，中原福塔的高度为米，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 20．“一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为著名景区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如图，为测量景区中一座雕像的高度，某数学兴趣小组在处用测角仪测得雕像顶部的仰角为，测得底部的俯角为．已知测角仪与水平地面垂直且高度为1米，求雕像的高．（用非特殊角的三角函数及根式表示即可） 参考答案 1．(1) (2)①；② 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题； （1）在中，利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； （2）①在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； ②过点作，垂足为，根据题意可得：，从而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用①的结论，再根据，列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：在中，， ， 山腰到的距离的长为； （2）①在中，， 即的长为 ②如图，, 过点作，垂足为 根据题意，， ∴四边形 是矩形， ∴ 在中， ∴ 即 ∴ 答:山高 约为. 2．花坛的宽为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由题意得，，在，求出的长，在中，求出的长，再根据计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ， 故花坛的宽为． 3．(1)三圣塔的高度为 (2)误差为，增加测量次数减少误差（建议不唯一） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）延长交于点．由题意知，，设，在可得，在中，得出=31，进而即可求解． （2）根据题意，即可求得误差，根据增加测量次数减少误差（建议不唯一）． 【详解】（1）解：如图所示，延长交于点．由题意知，，则四边形，是矩形， ∴ 设， 在中，， ， 在中，，   ，         ， 解得： （） 答：三圣塔的高度为32.5． （2） () 答：误差为．增加测量次数减少误差（建议不唯一） 4．楼房的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意可得：，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得,再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴, 在中，， ∴． 答：楼房的高度约为． 5．塔吊的高度为：，塔吊没有违规操作. 【分析】如图，过作于，交于，则，，，，，，，可得，再分别求解，，，从而可得答案. 【详解】解：如图，过作于，交于，则， ∵， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，，，，， ∴，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴塔吊的高度为：， 而， ∴塔吊没有违规操作. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线，理解仰角的含义是解本题的关键． 6．23米 【分析】过点作，交的延长线于点，根据题意可得：，，，从而可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，    由题意得：，，， ，， 在中，米， （米， （米， 在中，（米， （米， 这段贾鲁河的河宽约为23米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 7．(1)10米 (2)米 【分析】（1）过点A作于点D，根据斜坡的坡度为，可求出米，即可求解； （2）过点C作于点E，则米，设米，在和中，利用锐角三角函数，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点D， ∵斜坡的坡度为，斜坡的水平长度为24米， ∴米， 即坡顶A到地面的距离10米； （2）解：过点C作于点E，则米， 设米， 在中，， 即， 解得：， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 解得：， 即碑亭的高度为米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 8．米 【分析】如图所示，过点D作交延长线于E，交于F，先根据题意得到米，，，再解求出米，解求出米，解求出米，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作交延长线于E，交于F， ∵军舰距离岸边主干道的距离是120米，军舰停放位置平行于岸边主于道， ∴米，，， 在中，米， ∴米， ∴米， 在中，米， 在中，米， ∴米， ∴军舰的长度为米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线是解题的关键． 9．(1)20米； (2)50米． 【分析】（1）过点作于，根据坡比设，用勾股定理求，求解得出即可； （2）过点作于，先证四边形为矩形，得，再利用三角函数解可得的长，从而得解． 【详解】（1）解：过点作于，如图所示， ， 设， ， ， ， ， 答：点C处距离水平地面的高度为20米； （2）解：过点作于，如图所示， ， 四边形为矩形， ； ， ， ， 设， ， 在中，， ， 即， ， 答：建筑物的高度约为50米． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用：坡比与仰角问题，熟练掌握坡比与仰角的定义、勾股定理、三角函数、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质是解答此题的关键． 10．(1)91cm (2)32cm 【分析】（1）在Rt△ADF中，由锐角三角函数定义求出AF的长，再在Rt△AEF中，由锐角三角函数定义求出AE的长即可； （2）设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，由锐角三角函数定义求出DF、FG的长，得出AG的长，再由锐角三角函数定义求出AN的长，然后证△AMN为等腰直角三角形，得AM＝（cm），由EM＝AM−AE，即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）在Rt△ADF中，， ∴ = = =88cm， 在Rt△AEF中，， ∴． （2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图所示： 则， ∴， 在Rt△ADF中，， 在Rt△DFG中，， ∴（cm）， ∴AG=AF+FG=88+75.8=（cm）， ∵AN⊥GD， ∴∠ANG=90°， ∴， 在Rt△ANM中，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，求出AE、AM的长是解题的关键． 11．(1)米 (2)这段河流的宽度约为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用： （1）直接解即可得到答案； （2）解得到米，则可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，， ∴米， 故答案为：米； （2）解：在中，， ∴米， ∵， ∴， 解得， ∴这段河流的宽度约为米． 12．白塔的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．延长交于，则，根据等腰直角三角形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：延长交于， 则， ， ， ， ， 解得， ， 答：白塔的高度约为． 13．43米 【分析】作CE⊥AB于E，则四边形BDCE是矩形，BE=CD=9.982米，设AB=x．根据tan∠ACE=，列出方程即可解决问题． 【详解】解：如图，作CE⊥AB于E．则四边形BDCE是矩形，BE=CD=9.982米，设AB=x． 在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°， ∴AB=BD=x， 在Rt△AEC中， tan∠ACE==tan37.5°≈0.77， ∴=0.77， 解得x≈43， 答：“小雁塔”的高AB的长度约为43米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题． 14．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由等角对等边得出，求出，根据含角的直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出答案； （2）取中点，连接，由等腰直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，得出．设，则，从而即可得解； （3）过点作，且，连接，，证明，得出，勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，进而解，得出，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示： ， ， ． ． 在中，，根据勾股定理，． ； （2）如图，取中点，连接． ，，点为中点， ． ， ， 为等边三角形． ． 设， ， 又∵， ∴． ． （3）过点作，且，连接，，如图， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∴，，即， ∴ ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴，即， 在中， ∴， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 15．(1)的度数为； (2)该塔的高度约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题， （1）根据题意可得：，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答； （2）根据题意可得：米，再利用（1）的结论可得：，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵是的一个外角， ∴， ∴的度数为； （2）解：由题意得：米， 由（1）得：， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴该塔的高度约为88米． 16． 【分析】过点D作于点，根据题意得四边形为矩形，设，利用直角三角形锐角三角函数求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于点．    ，， ， 四边形为矩形． ， ，，． 设，在中，， ∴， ∴，． 在中，， ∴，解得． 答：塔的高度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，正确理解题意，将实际问题转化为数字问题，准确计算锐角三角函数是解题的关键． 17．(1)滑道的铅直高度是27米 (2) 【分析】（1）在中，根据，，即可求解； （2）延长到点，使，连接，构造，然后在中， ，得出，在中，根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：在中 ∵， ∴ 答：滑道的铅直高度是米． （2）解：延长到点，使，连接 ∴（等边对等角） ∵ ∴ 在中，   ∵，   ∴   ∴   ∴ 在中， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 18．(1)见解析 (2)26m 【分析】（1）由A组的方案测得塔底端的俯角不是塔底正中心的，可得误差大的原因； （2）记塔底端中心为点D，连接并延长交于点E，如解图所示，则，．设．可得．可得．从而可得． 【详解】（1）解： A组的方案测得塔底端的俯角不是塔底正中心的，故A组方案的误差较大． （2）记塔底端中心为点D，连接并延长交于点E，如解图所示，则，．    设． 在中，∵， ∴． 在中，∵， ∴． ∴， 解得． ∴． 答：该塔的高度约为26m． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握仰角俯角的含义是解本题的关键． 19．(1)中原福塔的总高度约为 (2)多次测量，求平均值 【分析】（1）设为，根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义列出方程，解方程即可得到答案； （2）误差：391-389，建议：多次测量，求平均值． 【详解】（1）设为，则， 在中，， ， ， 在中，，即， 解得，， ， 答：中原福塔的总高度约为． （2）误差：， 建议：多次测量，求平均值． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 20．米 【分析】过点作于，则四边形是矩形，则，在与中，分别表示出，根据即可求解． 【详解】如图，过点作于，则四边形是矩形， ， 中，， ， 中，， ， （米） 答：雕像的高为米 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$