导数难点突破一：导数研究不等式恒（能）成立问题讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【导数研究不等式的恒（能）成立问题】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：分离参数法解决恒（能）成立问题】 知识讲解 求解含参不等式恒成立问题的关键是过“双关” 转化关 通过分离参数，将不等式转化为（或）对任意的（D为定义域）恒成立，再转化为（或）． 最值关 求函数在区间D上的最大值（或最小值）． 解决指对混合不等式时，通常需要利用指对运算挖掘同构特点（指对同构）进行整体代换，从而构造新函数解决问题，其运算实质还是指对互化与指数、对数恒等式的变换.常见变形方式有：. 例题精选 【类型一：分离参数后构造函数直接求最值】 1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，，若对任意的，恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原问题等价转化，即对任意的，恒成立，分，两种情况，利用分离参数法求出a的取值范围. 【详解】将原问题等价转化，即对任意的，恒成立，等价于对任意的，恒成立． 分，两种情况，利用分离参数法求出a的取值范围. ①当时，恒成立，此时； ②当时，不等式等价于． 设，则． 设，则， 令，得，则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增． 因为，所以，又通过观察函数的解析式得到， 所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以. 故a的取值范围为． 故选：C. 2.（24-25高二下·江苏·开学考试）已知函数，若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用分离参数得恒成立，设，利用导数求函数最大值，即可得解. 【详解】根据题意，，因为， 所以由恒成立，即恒成立， 设， 则在上恒成立， 所以函数在上单调递减，所以， 所以，即实数的取值范围是． 故答案为： 【类型二：结合指对同构构造函数求最值】 多选题 2．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知对任意，不等式恒成立，则实数的可能取值为（    ） A．1 B． C．e D． 【答案】ABC 【分析】将不等式运算转化为指对同构形式，整体换元转化不等式，分离参数后再构造函数求最值可得的范围. 【详解】由，可化为， 则又可化为， 令，则，令，得， 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 故，且当，. 再令，则， 则关于的不等式在恒成立， 即在恒成立， 令，， 则，由解得， 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 所以， 要使在恒成立，则. 故选：ABC. 2.（24-25高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）设，若不等式在时恒成立，则k的最大值为 【答案】 【分析】利用同构法整理不等式，构造函数并研究单调性，可化简不等式，利用分离参数，再构造新函数，利用单调性，可得答案. 【详解】由于在时恒成立， 则在时恒成立. 令，，则， 所以在上单调递增， 当时，由，则； 当时，由，则显然成立； 综上所述：，可得，即. 令，，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以，所以，则的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用幂指恒等代换进同构整理，由此构造函数即可. 3.（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将原不等式做适当变形构造函数，利用函数单调性把参数分离出来，最后转化为求函数最值问题。 【详解】∵ ∴ 两边加上得 设，则在上单调递增， ∴，即 令，则 ∵的定义域是 ∴当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴当时，取得极大值即为最大值，且， ∴，∴即为所求. 故答案为： 【类型三：构造函数后同构隐零点求最值】 1.（2024·广东广州·模拟预测）已知，若关于的不等式有整数解，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，得，设，利用导数研究的最小值，再分和两种情况讨论得解. 【详解】不等式，即， 设，， 设，，所以单调递增，且，， 所以存在，使，即， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 因为，所以， 当时，，当时，， 不等式有整数解，即有整数解， 若时，即，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以时，，所以无整数解，不符合题意， 当时，因为， 显然0，1是的两个整数解，符合题意， 综上可知，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：借助，可得. 2.（2024·海南·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最大整数值为 . 【答案】2 【分析】分离参数，利用换元法得，构造函数，利用导数研究其单调性结合隐零点求最小值即可. 【详解】原不等式等价于在时恒成立， 令，则上式化为， 构造函数， 则， 令， 所以在上单调递增，而在， 故使得，故在上单调递减，在上单调递增， 即， 所以， 又，故的最大整数值为2. 故答案为：2 【点睛】思路点睛：分离参数并换元得，构造函数结合隐零点计算其最小值即可. 相似练习 1.（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可. 【详解】由题意，不等式即，进而转化为， 令，则， 当时，，所以在上单调递增. 则不等式等价于恒成立. 因为，所以， 所以对任意恒成立，即恒成立. 设，可得， 当时，单调递增，当时，单调递减． 所以时，有最大值，于是，解得． 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解本题的关键是，将已知条件转化为恒成立，通过构造函数，利用导数结合函数的单调性得到，进而构造函数，计算求得结果. 2.（2024·江西·模拟预测）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用参变分离可得，然后构造函数，利用导数求函数的最值即得. 【详解】因为关于的不等式在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则， 令，则， 易得在上单调递增， 又， 所以存在，使得，即， 则， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故， 所以在上恒成立， 所以在区间上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本题的关键是利用参变分离，再运用函数的思想研究不等式，并结合导数研究函数的单调性与最值. 3.（23-24高三上·黑龙江大庆·期末）设函数，若不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，把不等式转化为，令，求得，令，得到，结合，得到存在唯一的使得，得出函数的单调性，结合的值和题设条件，得出，即可求解. 【详解】由函数，若不等式，即， 因为，可化为，令，可得， 令，可得，所以在R上单调递增， 又由，所以存在唯一的使得， 当时，，可得，所以单调递减， 当时，，可得，所以单调递增，且， 又因为，， 所以当原不等式有且仅有三个整数解时，有， 解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 4.（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用不等式的性质将题设条件中的不等式等价变形，构造辅助函数，利用导数和函数单调性的关系、函数的极值与最值、分离参数法分析运算即可得解. 【详解】解：由题意，，即，可得， 即对任意的恒成立， 令，则， ∴当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ∴当时，是的极小值，也是最小值， ∴当时，． 令，则，则对任意的恒成立， 等价于对任意的恒成立， ∴对任意的恒成立，则当时，． 令，则，则在上单调递增， ∴是在上的最小值，即， ∴，即实数的取值范围为． 故答案为：. 4.．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）＝3ex.若对任意x≥2，f（x）≥ax－2a恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（－∞，3e3]. 【详解】解：（解法1：分离变量） ① 当x＝2时，则f（x）＝3e2＞0成立，此时a∈R； ② 当x＞2时，由题意得a≤恒成立， 令h（x）＝，其中x＞2，得a≤h（x）min，以下只需求h（x）min. h′（x）＝，当2＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）单调递减； 当x＞3时，h′（x）＞0，h（x）单调递增． 所以h（x）min＝h（3）＝3e3，所以a≤3e3. 综上所述，实数a的取值范围是（－∞，3e3]. 5.（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为 (2) 【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得； （2）通过代入不等式整理成在上存在实数解问题，故可转化成求函数在得最小值问题，计算即得. 【详解】（1）当时，， ∴，由，得，由，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； （2）原条件等价于：在上存在实数解． 化为在上存在实数解， 令，                    则， ∴在上，，得，故在上单调递增， ∴的最小值为， ∴时，不等式在上存在实数解． 6.（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）先求出导数，再求斜率结合点斜式写出切线方程； （2）先把恒成立问题通过参数分离转化为求最小值求出的最大值. 【详解】（1）当时，， 因为 ，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由题意，知对任意恒成立， 可知对任意恒成立． 设函数，只需． 对函数求导，得． 设函数，对函数求导，得， 所以函数在上单调递增． 又， 所以存在，使，即， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以， 所以．又，所以， 所以整数的最大值为2． 【题型二：分类讨论法解决恒（能）成立问题】 知识讲解 本质上是讨论参数影响单调性的情况 例题精选 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数．若对任意都有成立，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】方法一：构造函数，然后分和两种情况讨论； 方法二：构造函数，将恒成立转化为恒成立，然后利用导数分析最值即可. 【详解】方法一：令， 则． ，． ①当，即时，， 在上单调递增， 又，恒成立，故满足题意． ②当，即时， 令，得， 时，；时，， 在上单调递减，在上单调递增， 与恒成立矛盾，故不满足题意． 综上有，故实数a的取值范围是． 方法二：当时，恒成立， 即恒成立． 令． ． 令， ， 在上单调递增． ， 恒成立， ，故在上单调递增． 由洛必达法则知， ，故实数a的取值范围是． 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题： ①构造函数，然后分析即可； ②分离参数，然后构造函数求最值. 2．（24-25高三上·河南漯河·期末）已知函数． (1)讨论函数在区间上的零点个数； (2)证明：当时， 【答案】(1)答案见解析． (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，利用导数研究的性质，结合零点与函数图象交点之间的关系即可求解； （2）利用导数研究求得，进而，即在上恒成立，结合导数的应用求出即可. 【详解】（1）由题可得函数的定义域为 令，可得，令，则， 由可得，由可得， 故在上单调递增，在上单调递减． 且. 所以当或时，直线与函数图象无交点，此时函数无零点； 当或时，直线与函数图象有1个交点，此时函数有1个零点； 当时，直线与函数图象有2个交点，此时函数有2个零点． （2），则． 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 所以． 要证，即证， 即证恒成立，令， 则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则恒成立，所以当时，恒成立． 相似练习 3．（24-25高三下·山东·开学考试）已知函数. (1)当时，求曲线过点的切线方程; (2)当时，，求a的取值范围. 【答案】(1) 或； (2) 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义，按点是否为切点分类求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类探讨函数的单调性求解. 【详解】（1）当时，函数，求导得，而， 当为切点时，，切线方程为； 当不为切点时，设切点为，， 则，整理得， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增，，即， 因此，，切点为，切线方程为， 所以曲线过点的切线方程为，或. （2）函数，求导得，且，当时，， 则当时，恒成立，函数在R上单调递增，，因此； 当时，令，求导得，由，得， 若，则，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，不符合题意； 若，恒成立， 函数在上单调递增，恒成立，因此， 所以实数a的取值范围是 4．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知函数. (1)若在区间上单调递增，求a的取值范围; (2).当时，恒成立，求实数a的取值范围 【答案】(1). (2). 【分析】（1）把在区间上单调递增，转化成在给定区间上恒成立，再通过分离参数，转化成求函数最值问题，再利用导数求解即可. （2）通过构造函数，把函数在给定区间上恒成立问题转化成函数最值问题，再利用导数求解，关键是要根据式子的正负分情况讨论. 【详解】（1）若在区间上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立，令，， 所以在(上恒成立， 所以在上单调递减，所以， 所以，即a的取值范围为. （2）令， 所以在区间上恒成立， 即函数在区间上恒成立. 又， 令， 则. ①当时，， 所以函数在区间上单调递减，所以， 所以函数在区间上单调递减，又， 所以时，在区间上恒成立； ②当时， 令，则， 因为，所以， 故函数在区间上单调递减，又， 所以函数在区间上单调递减，且， 所以函数在区间上单调递减，又， 所以当时，在区间上恒成立； ③当时，构造函数，其中，因为， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增，所以，即， 所以， 所以， 又，所以存在使得， 即当时，，此时函数在上单调递增， 又，所以函数在上单调递增， 又，不合题意. 综上所述，实数a的取值范围是. 【点睛】思路点睛：把函数在给定区间上恒成立转化成求函数最值，再利用导数求最值是解决恒成立问题最常用的解题思路. 5．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若，，求整数的最大值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出导函数，分，讨论的正负区间，进而求得函数的单调区间； （2）化简不等式，构造函数，利用导数讨论的单调性，求出，由得构造函数，讨论其单调性，可求得整数的最大值． 【详解】（1）函数的定义域为，又， 则当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，由，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）依题知，恒成立， 即恒成立， 化简为恒成立． 设， 则， 当时，恒成立， 故在上单调递增，因为，所以不符合题意； 当时，又因为，由，得， 由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 只需即可， 整理得． 设，， 则恒成立，所以在上单调递增， 又，且，因为，所以，则， 所以， 所以在上存在唯一零点，当时，当时， 因为，所以， 所以整数的最大值为． 【点睛】关键点点睛：第（1）问，是利用导数研究的单调性时，由于含有参数，需要根据参数的范围分类讨论；第（2）问，是化简不等式后，构造函数，利用导数法讨论函数的单调性和最值，找出需要满足的条件为，再利用导数探讨的可取值． 【题型三：等价转化法解决恒（能）成立问题】 例题精选 1．（20-21高三上·四川宜宾�阶段练习）已知函数，函数，若对任意的，总存在使得，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用导数判断的单调性求出的最值，即可得的值域，由单调性可得的值域，由题意可得在的值域是的值域的子集，根据包含关系列不等式组即可求解． 【详解】由可得， 当时，；时，； 所以在单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，， 可得在的值域为， 由在递增， 可得的值域为， 由对任意的，总存在，使得， 可得，所以，可得， 实数的取值范围是. 故答案为：. 相似练习 2．（20-21高二下·山西长治�期中）设，. （1）如果存在使得成立，求满足上述条件的最大值； （2）如果对于任意的，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据题意转化为，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解； （2）根据题意转化为在区间上，，由（1）得到，把恒成立转化为恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解. 【详解】（1）由题意，存在使成立，等价于， 因为函数，可得. 令，解得或；令，解得， 又因为，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 又由，所以， 所以，即的最大值为. （2）对于任意的，都有成立， 等价于在区间上，， 由（1）知在区间上， 在区间上，恒成立等价于恒成立， 设，可得 可知在区间上是减函数， 又由，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，所以，即的取值范围是. 【课后题型加强训练】 1．（湖北省八市2025届高三下学期3月联考数学试卷）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 三、解答题 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数（a为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 5．（2025·河北保定·一模）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于的不等式有实数解，求的取值范围. 6．（22-23高二下·福建漳州·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 7．（2025·河北邯郸·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 8．（2025·河北唐山·一模）已知函数． (1)当时，求的极小值； (2)当时，，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 答案 D A 1．D 【分析】对分类讨论，通过同构可将问题转化为,构造，利用导数求解最值即可. 【详解】当时，，合题意. 当时，即 ， 为的增函数，，即， 由题意，只需, 记， 当在单调递减，在单调递增， 故，所以， 综上，的取值范围为， 故选：D 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 2．A 【分析】将不等式变形为，构造函数，分析可知该函数为增函数，可得出，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，由可得，即函数的定义域为， 可得， 即， 构造函数，其中，则，故函数在上单调递增， 所以，可得，则， 即，其中，令，其中， 则，当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，解得. 综上， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将不等式变形为，结合不等式的结果构造函数，转化为函数的单调性以及参变量分离法求解. 3． 【分析】将问题转化为，求出，然后参变分离，构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】由题意，，当时，，，所以； 当时，，，所以， 等号仅当时成立，所以. 所以对，即，即. 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，因此. 故答案为： 4．(1)证明见解析； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）利用导数证明函数的区间单调性即可； （2）利用导数研究函数的单调性，进而求区间内最值即可； （3）将问题化为在上能成立，应用导数研究右侧的单调性并求最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设，则， 则在上有，故在上是增函数，得证； （2）由题设，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以最小值为时，最大值为时； （3）由题设在上能成立，则， 对于，则在上恒成立， 故在上单调递增，且时，即在上恒成立， 所以在上能成立， 令且，则， 对于且，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当，，即在上恒成立， 在上恒成立，则在上单调递增，故， 所以. 5．(1)的极大值为，无极小值 (2) 【分析】（1）通过求导来分析函数的单调性，进而求出函数的极值； （2）分类讨论，得到单调性，求出函数最值，根据最值满足的条件来确定参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值. （2）由题得2a）， 当时，，不符合题意； 当时，令，得； 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 由 得，解得； 当时，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 由， 得，解得. 综上，的取值范围为. 6．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分和，两种情况分类讨论得出导函数的正负即得函数单调性； （2）先化为恒成立，应用导数求右侧的最值，即可得参数范围. 【详解】（1）因为，所以. 因为，若，即时，在上单调递增， 若，即时，令，得； 令，得，所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）因为，恒成立， 所以，则， 令且，则， 令，则，故在上单调递增， 又，所以时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 所以，实数的取值范围为. 7．(1) (2) 【分析】（1）将代入，求出函数解析式，求出导数，根据导数的几何意义即可求出切线方程，求出横纵截距即可求解. （2）化为，构造函数，求出，得到函数的单调性，将表达式转化为，根据函数单调性得到不等式并反解，构造函数，利用求出即可求解. 【详解】（1）当时，，， 切线的斜率，， 所以切点坐标为，切线方程为，， 当时，，当时，， 所以直线与轴交点为，与轴交点为， 所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为. （2）因为，，， 所以， 可化为：， 即， 令，， 所以为上的单调递增函数， 将， 转化为， 因为为上的单调递增函数，所以， 即，即， 整理有：， 令，， 令，即，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 所以， 因为恒成立， 所以. 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于利用同构的方法对不等式进行变形，构造函数利用函数的单调性解决不等式恒成立问题. 8．(1)0 (2) 【分析】（1）当时，通过二次求导判断的单调性，从而求得的极小值； （2）当时，分离变量可得，令，利用导数求得，当，令，求导证明令，即可求解. 【详解】（1）当时，，则 令，则， 所以在上单调递增， 又因为，所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 故在区间上单调递减，在区间上单调递增． 所以为函数的极小值点，极小值． （2）当时，符合题意； 当时，得． 令， 令， 则，令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因为， 所以存在，使得， 且在上，在上, 在单调递增，在单调递减， 又因为， 即当时，单调递增； 所以当时，． 当时，令， ， 则在上单调递增，此时， 故当时，． 所以， 故的取值范围为． 【点睛】方法点睛：利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解； （1）； （2）； （3）； （4）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【导数研究不等式的恒（能）成立问题】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：分离参数法解决恒（能）成立问题】 知识讲解 求解含参不等式恒成立问题的关键是过“双关” 转化关 通过分离参数，将不等式转化为（或）对任意的（D为定义域）恒成立，再转化为（或）． 最值关 求函数在区间D上的最大值（或最小值）． 解决指对混合不等式时，通常需要利用指对运算挖掘同构特点（指对同构）进行整体代换，从而构造新函数解决问题，其运算实质还是指对互化与指数、对数恒等式的变换.常见变形方式有：. 指对同构是一种在导数中解决不等式问题的重要方法，其核心思路是通过对不等式进行变形，构造出具有相同结构的函数，然后利用函数的单调性来求解不等式。以下是常见的解题思路： 1. 观察不等式结构：仔细观察给定的不等式，尝试将其变形为含有指数函数和对数函数的形式，并且使指数部分和对数部分具有相似的结构。例如，对于不等式，可以考虑将其变形为的形式，这样就可以构造出函数。 2. 构造同构函数：根据观察到的结构，构造出相应的同构函数。一般来说，常见的同构函数形式有，，，，等。通过对不等式进行适当的变形，将其转化为可以用这些同构函数表示的形式。例如，对于不等式，可以构造函数，则原不等式可化为。 3. 分析函数单调性：对构造出的同构函数求导，分析其单调性。例如，对于函数，求导可得。当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减。 4. 利用单调性求解不等式：根据函数的单调性，将不等式转化为关于自变量的不等式进行求解。例如，对于，因为在上单调递增，所以可得，解这个不等式即可得到原不等式的解集。 隐零点问题是导数问题中的难点 解题思路 1. 求导分析：对给定的函数求导，得到。通过分析的结构和性质，判断函数的单调性和极值情况。 2. 确定隐零点存在区间：令，若该方程无法直接求出精确解，可利用零点存在定理来确定其零点所在的区间。例如，若，且在$[a,b]$上连续，则在内至少有一个零点。 3. 利用隐零点性质：设隐零点为，虽然不知道的具体值，但可以根据得到一些关于的等式关系，这些关系往往能在后续的计算中起到关键作用。 4. 分析函数值：根据函数的单调性以及隐零点将定义域分成的不同区间，分析在各个区间上的函数值的正负情况。通常需要将代入，并利用进行化简，从而判断与的大小关系，进而求解不等式或证明相关结论。 注意事项 1. 零点存在性的证明：在使用隐零点之前，必须严格证明零点的存在性。不能仅凭直观感觉或特殊值的代入就认定存在零点，要依据零点存在定理进行严谨的推导。 2. 区间的选择：确定隐零点所在区间时，要尽可能选择较小的区间，这样可以更精确地分析函数在该区间附近的性质。同时，要注意区间端点值的选取，确保函数在端点处的函数值异号，且计算相对简便。 3. 隐零点的代换：在利用隐零点进行计算和推导时，要注意准确代换和化简。将变形得到的等式代入中时，要仔细检查每一项的变化，避免出现计算错误。 4. 单调性的准确判断：根据导数判断函数单调性时，要注意导数的正负区间的划分是否准确。特别是在存在多个极值点或导数的表达式较为复杂的情况下，要仔细分析各个区间内导数的符号，确保单调性的判断正确无误。 5. 结果的检验：在得出最终结果后，最好将结果代入原不等式或问题中进行检验，看是否满足条件。这一步骤可以帮助发现解题过程中可能出现的错误，保证答案的准确性。 例题精选 【类型一：分离参数后构造函数直接求最值】 1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，，若对任意的，恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二下·江苏·开学考试）已知函数，若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【类型二：结合指对同构构造函数求最值】 多选题 2．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知对任意，不等式恒成立，则实数的可能取值为（    ） A．1 B． C．e D． 2.（24-25高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）设，若不等式在时恒成立，则k的最大值为 3.（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围是 . 【类型三：构造函数后同构隐零点求最值】 1.（2024·广东广州·模拟预测）已知，若关于的不等式有整数解，则的取值范围为 . 2.（2024·海南·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最大整数值为 . 相似练习 1.（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为 . 2.（2024·江西·模拟预测）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 . 3.（23-24高三上·黑龙江大庆·期末）设函数，若不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是 . 4.（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围为 ． 4.．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）＝3ex.若对任意x≥2，f（x）≥ax－2a恒成立，求实数a的取值范围． 5.（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 6.（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【题型二：分类讨论法解决恒（能）成立问题】 知识讲解 分类讨论法解决导数中不等式恒成立问题的解题思路如下： 1. 构造函数：将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题。通常根据不等式的形式构造出相应的函数，使得原不等式等价于（或）恒成立。 2. 求导分析：对构造的函数求导，得到。通过分析的正负性来确定的单调性和极值点。 3. 确定分类标准：根据函数的特点和导数的形式，确定分类讨论的标准。常见的分类标准有以下几种： 依据导数中参数的取值范围进行分类。例如，当导数中含有参数，且的正负性与的取值有关时，需要对的不同取值范围进行讨论。 根据函数的定义域和导数的零点分布情况进行分类。如果函数的定义域有多个区间，或者导数的零点个数与参数有关，那么可以按照零点的个数、位置以及定义域的区间来分类。 按照函数的单调性变化情况进行分类。例如，当函数在不同区间上的单调性不同，且这种单调性的变化与参数有关时，可根据单调性的变化情况进行分类。 4. 分类讨论：按照确定的分类标准，对参数或函数的不同情况进行分类讨论。在每一类中，分别分析函数的单调性、极值和最值情况，进而确定不等式恒成立的条件。 当在某一取值范围内时，求出的最小值，然后让，解出此时的取值范围。 对于其他取值范围的，同样求出的最值，并根据不等式恒成立的条件列出相应的不等式进行求解。 5. 综合结论：将每一类讨论得到的结果综合起来，得到满足不等式恒成立的参数的取值范围或函数的取值范围。 在使用分类讨论法时，要做到分类全面、不重不漏，并且在每一类讨论中都要严谨地分析和推理，确保结论的正确性。 例题精选 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数．若对任意都有成立，求实数a的取值范围． 2．（24-25高三上·河南漯河·期末）已知函数． (1)讨论函数在区间上的零点个数； (2)证明：当时， 相似练习 3．（24-25高三下·山东·开学考试）已知函数. (1)当时，求曲线过点的切线方程; (2)当时，，求a的取值范围. 4．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知函数. (1)若在区间上单调递增，求a的取值范围; (2).当时，恒成立，求实数a的取值范围 5．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若，，求整数的最大值. 【题型三：等价转化法解决恒（能）成立问题】【比较少出现】 例题精选 1．（20-21高三上·四川宜宾�阶段练习）已知函数，函数，若对任意的，总存在使得，则实数的取值范围是 ． 相似练习 2．（20-21高二下·山西长治�期中）设，. （1）如果存在使得成立，求满足上述条件的最大值； （2）如果对于任意的，都有成立，求实数的取值范围. 【课后题型加强训练】 1．（湖北省八市2025届高三下学期3月联考数学试卷）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 三、解答题 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数（a为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 5．（2025·河北保定·一模）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于的不等式有实数解，求的取值范围. 6．（22-23高二下·福建漳州·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 7．（2025·河北邯郸·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 8．（2025·河北唐山·一模）已知函数． (1)当时，求的极小值； (2)当时，，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$