【专项练】勾股定理的实际应用-沪科版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 勾股定理的实际应用 1．如图，一架 25分米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底部 7分米，如 果梯子的顶端沿墙下滑 4分米，那么梯子的底端将向外平滑（ ） A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米 2．如图，有一个水池，水面是边长为 8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是 （ ） A．7.5尺 B．8尺 C．8.5尺 D．9尺 3．如图，有两棵树，一棵高 10米，另一棵高 4米，两树相距 8米．一只小鸟从一棵树的树梢 飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（ ） A．10米 B．8米 C．6米 D．4米 4．《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折 者高几何？题意是：一根竹子原高 1丈（1丈 10 尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹 根 3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 5．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这支 铅笔在笔筒内部的长度 l的取值范围是（ ） A．12cm 15cml  B．9cm 12cml  C．10cm 15cml  D．10cm 12cml  6．如图，甲轮船以 16海里/小时的速度离开港口 O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南 方向航行，已知他们离开港口 1.5小时后分别到达 B、A两点，且知 AB＝30海里，则乙轮船 每小时航行（ ） A．30海里 B．24海里 C．18海里 D．12海里 7．如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点 C与 欲到达地点 B相距 10米，结果轮船在水中实际航行的路程 AC比河的宽度 AB多 2米，则河 的宽度 AB是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 8．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为 5米， 5AC  米， 13AB  米，若在楼梯上铺设防滑材 料，则所需防滑材料的面积至少为（ ） A．65 2m B．85 2m C．90 2m D．150 2m 9．一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、 2，A和 B是这个台阶两个相对的 端点，A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B点最短路程为 （ ） A． 481 B．25 C．30 D． 35 10．如图，铁路MN和公路 PQ在点O处交汇， 30QON  ．公路 PQ上A处距O点 240 米，如果火车行驶时，周围 200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向 以 20米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ） A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 11．如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点A知道校车自点 B处沿 x轴向原点O方 向匀速驶来，去截汽车．若点A的坐标为  2,3 ，点 B的坐标为  8,0 ，则小蓓最快截住汽车 的坐标为（ ） A．  3,0 B．  5.5,0 C． 17 ,0 4       D．  7.5,0 12．刷牙是我们每天都要做的事，坚持早、晚刷牙有利于健康．如图，是一把长为15cm的牙 刷置于底面直径为6cm，高为8cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为 cmh ，则 h的 取值范围是 cm． 13．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A 处的正前方30m的C处，过了5s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽 车的速度是 m / s． 14．如图，有两条公路 OM、ON相交成 30°角，沿公路 OM方向离 O点 160米处有一所学校 A， 当重型运输卡车 P沿道路 ON方向行驶时，在以 P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受 到卡车噪声的影响，且卡车 P与学校 A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车 P沿 道路 ON方向行驶的速度为 36千米/时，则对学校 A的噪声影响最大时卡车 P与学校 A的距离 是 米；重型运输卡车 P沿道路 ON方向行驶一次给学校 A带来噪声影响的时间是 秒． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 15．如图所示，A、B两块试验田相距 200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便 灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地 C直接修筑两条水渠分别到 A、B； 乙方案；过点 C作 AB的垂线，垂足为 H，先从水源地 C修筑一条水渠到 AB所在直线上的 H 处，再从 H分别向 A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 勾股定理的实际应用 1．D 【难度】0.85 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用．掌握直角三角形三边之间满足两直角边的平方和等于斜边 的平方是解决此题的关键．注意：整个过程中，梯子的长度不变． 先利用勾股定理求出 AO，再根据顶端下滑 4分米求出BO，根据勾股定理求出OD，即可得 出底部平滑的距离． 【详解】解：在 AOC△ 中，根据勾股定理 2 2 2 225 7 24AO AC OC= - = - = 分米， 当梯子的顶端沿墙下滑 4分米时，梯子的顶部距离墙底端距离： 24 4 20BO    分米， 在 BOD中根据勾股定理 2 2 2 225 20 15OD BD OB= - = - = 分米， 则梯子的底部将向外平滑距离： 15 7 8CD OD OC     分米． 故选：D 2．C 【难度】0.85 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】找到题中的直角三角形，设芦苇的长度为 x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设芦苇的长度为 x尺，则 AB为  1x  尺， 根据勾股定理得： 2 2 28( 1) ( ) 2 x x   ， 解得： 8.5x  ， ∴芦苇的长度为 8.5尺． 故选 C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 3．A 【难度】0.85 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．过 C点作CE AB 于点 E，则四边形EBDC是矩 形．BE CD ， AE长度可求，在Rt AEC△ 中，可根据勾股定理求出 AC长． 【详解】解：如图，连接 AC，设大树高为 10AB  米，小树高为 4CD  米， 过 C点作CE AB 于点 E，则四边形EBDC是矩形． 4EB CD  米， 8EC  米， 10 4 6AE AB EB     （米）． 在Rt AEC△ 中，根据勾股定理得： 2 2 10AC AE EC   （米）， 故选：A． 4．A 【难度】0.85 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．设折断处离地面的高度为 x尺，根据勾股定理结合题 意，列出方程求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为 x尺， 结合勾股定理可得出：  22 23 10x x   ， 解得： 4.55x  ． ∴折断处离地面的高度为 4.55尺． 故选：A． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 5．A 【难度】0.85 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，当笔斜放时，运用勾股定理可得 l的最大值， 当笔竖立时可得 l最小值，由此即可求解． 【详解】解：当笔竖立时， 12l cm ； 当笔斜放时， 2 29 12 15l cm   ， ∴12 15cm l cm  ， 故选：A ． 6．D 【难度】0.85 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据题目提供的方位角判定 AO BO ，然后根据甲 轮船的速度和行驶时间求得OB的长，利用勾股定理求得OA的长，除以时间即得到乙轮船的 行驶速度． 【详解】 16 1.5 24 30 90OB AB AOB      ， ， 2 230 24 18OA    18 1.5 12   （海里/小时） 故选：D 7．D 【难度】0.65 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知 ABCV 为直角三角形，根据勾股定理列 方程就可求出直角边 AB的长度． 【详解】解：根据题意可知 10BC  米， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 设 AB x ，则 2AC x  ， Rt ABC△ 中，由勾股定理得 2 2 2AC AB BC  ， 即( ) 2 2 22 10x x+ = + ， 解得 24x  ． ∴该河的宽度 AB为 24米． 故选：D． 8．B 【难度】0.65 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】勾股定理求出 BC，平移的性质推出防滑毯的长为 AC BC ，利用面积公式进行求 解即可． 【详解】解： 由图可知： 90C  ， ∵ 5AC  米， 13AB  米， ∴ 2 2 12BC AB AC   米， 由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度 12BC  （米），铅直的防滑毯的长度 5AC  （米）， ∴至少需防滑毯的长为： 17AC BC  （米）， ∵防滑毯宽为 5米 ∴至少需防滑毯的面积为：17 5 85  （平方米）． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长 之和． 9．B 【难度】0.65 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)、最短路径问题 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】如图所示， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∵三级台阶平面展开图为长方形，长为 20，宽为(2+3)×3， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到 B点最短路程是此长方形的对角线长 AB． 由勾股定理得： 2AB = 220 +   2[ 2 3 3]  = 225 ， 解得： 25AB  ． 故选：B． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题以及勾股定理的应用，用到台阶的平面展开图， 只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 10．B 【难度】0.65 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、含 30度角的直角三角形 【分析】本题考查的是点勾股定理的应用，过点A作 AC ON ，利用直角三角形的性质求出 AC的长与 200m相比较，发现受到影响，然后过点A作 200mAD AB  ，求出 BD的长即 可得出受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点A作 AC ON ， 200AB AD  米， 30QON   ， 240OA  米， 120AC  米， 当火车到 B点时对A处产生噪音影响，此时 200AB  米， 200AB  米， 120AC  米， 由勾股定理得： 160BC  米， 160CD  米，即 320BD  米， 火车在铁路MN上沿ON方向以 20米 /秒的速度行驶， 影响时间应是：320 20 16  秒． 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 11．C 【难度】0.65 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查勾股定理在实际生活中的运用，根据题意画出图形的能力．在D点小蓓与 汽车相遇，则小蓓的行进路线为 AD，设OD x ，在Rt ACD△ 中， AD为斜边，已知 AC， CD，即可求 AD，且 8BD OB OD x    ，根据 BD AD 的等量关系可以求得 x，即可 求相遇点D的坐标．找到 BD AD 并且根据其求D点坐标是解题的关键． 【详解】解：如图，设在D点小蓓与汽车相遇，且设OD x ，过点 AC x 轴， ∴ BD AD ， =90ACD ， ∵A的坐标为  2,3 ，点 B的坐标为  8,0 ， ∴ 3AC  ， 2OC  ， 2CD x  ， 8BD OB OD x    ， ，在Rt ACD△ 中，  22 2 23 2AD AC CD x     ∴  228 3 2x x    ， 解得： 17 4 x  ， ∴点D坐标为 17 ,0 4       ． 故选：C． 12．5 7h  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【难度】0.65 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能 力，有一定难度． 先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当牙刷与杯底垂直时 h最大， h最大  15 8 7 cm   ． 当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时 h最小， 如图所示： 此时，  2 2 2 28 6 10 cmAB AC BC     ， 故  15 10 5 cmh    ． 故 h的取值范围是5 7h  ． 故答案为：5 7h  ． 13．8 【难度】0.65 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在Rt ACB△ 中，根据题意 30, 50AC AB  ，勾股定 理求得 BC，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】解：依题意，在Rt ABC中， 30mAC  ， 50mAB  ； 据勾股定理可得：BC  2 2AB AC  40 m ， 故小汽车的速度为v  40 5 8m / s． 故答案为：8． 14． 80 12 【难度】0.65 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】作 AD ON 于D，求出 AD的长即可解决问题，如图以A为圆心50m为半径画圆， 交ON于 B、C两点，求出 BC的长，利用时间 路程 速度 计算即可． 【详解】解：作 AD ON 于D， 30MON   ， 160AO  m， 1 80 2 AD OA   m， 即对学校A的噪声影响最大时卡车 P与学校A的距离80m． 如图以A为圆心100m为半径画圆，交ON于 B、C两点， AD BC ， 1 2 BD CD BC   ， 在Rt ABD△ 中， 2 2 2 2100 80 60BD AB AD     m， 120BC  m， 重型运输卡车的速度为 36千米 /时 10 米 /秒， 重型运输卡车经过 BC的时间 120 10 12   （秒 )， 故卡车 P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为 12秒． 故答案为：80，12． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加 常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 15．（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）（2）甲方案所修的水渠较短；理由见解 析 【难度】0.4 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)、用勾股 定理解三角形 【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形； （2）由△ABC的面积求出 CH，得出 AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果． 【详解】解：（1）△ABC是直角三角形； 理由如下： ∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； （2）甲方案所修的水渠较短； 理由如下： ∵△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积＝ 12 AB•CH＝ 1 2 AC•BC， ∴CH＝ 160 120 96 200 AC BC AB     （m）， ∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m）， ∴AC+BC＜CH+AH+BH， ∴甲方案所修的水渠较短． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握 勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键．