【专项练】勾股定理有关的证明-沪科版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 勾股定理有关的证明 1．勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，人们对这个定理的证明找到了很多方法．我 国数学家刘徽利用“出入相补”原理（一个平面图形从一处移到另一处，面积不变；又若图形分 成若干块，则各部分的面积和等于原来图形的面积）也证明了勾股定理，如图所示，这种证法 体现的数学思想是（ ） A．数形结合思想 B．分类思想 C．函数思想 D．归纳思想 2．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，这种根据图形 直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现了数形结合的思想．下 列选项中的图形，不能证明勾股定理得是（ ） A． \B． C． D． 3．国是较早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在西 周 由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对勾股定理作出了详细注释， 并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 4．课堂上，王老师给出如图所示甲、乙两个图形，能利用面积验证勾股定理 2 2 2a b c  的是 （ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．甲行、乙不行 B．甲不行、乙行 C．甲、乙都行 D．甲、乙都不行 5．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（ ） A．    2 2a b a b a b    B．  2 2 22a b a ab b    C． 2 2 2c a b  D．  2 2 22a b a ab b    6．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅 图中不能证明勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 7．如图 1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和 8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的 “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图 1）拼成的一个大正方形（如图 2）．设直角 三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b．若 8ab  ，大正方形的面积为 25，则图 2中 EF 的长为（ ） A．3 B．4 C． 2 2 D．3 2 9．在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形(直角边长分别为a，b，斜边长为c ) 构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为a，b的两个正方形和长为b，宽为a的两个长 方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（ ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 10．如图是用 4个全等的直角三角形与 1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积 为 49，小正方形的面积为 4，若用 x，y表示直角三角形的两条直角边长  x y ，下列四个说 法：① 9x y  ；② 2y x  ；③ 2 4 49xy   ；④ 2 2 49x y  ．其中正确的是（ ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④ 11．我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图 1变换到 图 2，可以用下列式子来表示的是（ ） A． 2 2 2 1 14 4 2 2 a b ab c ab      B． 2 2 14 ( ) 2 ab b a c    C． 2 2 1 1 1( ) 2 2 2 2 a b ab c    D． 2 2 1 1 1( ) 2 2 2 2 a b ab c        12．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如 图 1所示“赵爽弦图”（边长为 c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c）． (1)如图 1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积． 方法 1： S 阴影 ______； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 方法 2： S 阴影 ______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的 4个三角形进行了运动变换，得到图 2，请利用图 2证明勾股定理； (3)如图 3，将图 2的 2个三角形进行了运动变换，若 6a  ， 3b  ，求阴影部分的面积． 13．（1）【阅读理解】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想 解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛 而使人着迷，下面三幅图都能够用来验证勾股定理，请选择其中一个验证勾股定理．我选择的 是：______（填“A”或“B”或“C” ） A． B． C． （2）【实践操作】 请在下面的方格纸中（小正方形的边长为 1）画一个三角形，使其三边长分别为 20 ， 13， 5 ； （3）若ΔABC的边长分别为 2 216m n ， 2 29 4m n ， 2 24 4m n （ 0m  ， 0n  ，且 m n ），请在图 3的长方形网格（每个小长方形纵向的边长为 m，横向的边长为 n）中画出 相应的ΔABC，并直接写出ΔABC的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ABCS  ______． （4）拓展应用：代数式：    22 16 8 4 0 8x x x      的最小值是______． 14．综合与实践： 无需语言的证明又称无字证明（proof without words，简称 PWW），本质上是一种数学语言， 形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附 带文字．它比严谨的数学证明更为优雅与有条理．事实上，无字证明并非新概念，它拥有丰厚 的历史，可追溯到古希腊与古代中国时期，如图 1就是我国汉时东吴数学家赵爽利用几何图形 的截、割、拼、补方法创制的一副“无字证明”图形，后人称它为“勾股弦图”．其中四个直 角三角形较长的直角边长都为 a，较短的直角边长都为 b，斜边长都为 c，大正方形的面积可 以表示为 2c ，也可以表示为  214 2 ab a b   ，由此推导出一个代数式之间的恒等关系，也 是一个很重要的定理． 任务一：我会表达 赵爽“无字证明”的方法中体现了______的数学思想．由此图可以推导出你学过的______定理， 该定理的内容是____________； 任务二：我会探索 课后，同学们积极探索其它的无字证明方法．某同学提出了一种证明方法：如图 2，点 B是正 方形 ACDE中CD边上一点，连接 AB，得到Rt ACB△ ，三边分别为 a，b，c，将 ACB△ 裁 剪拼接至 AEF△ 位置，如图 3所示，该同学结合图 2、图 3图形的面积不变验证了此定理．请 你写出该方法验证的过程． 任务三：我会应用 如图所示，在学校的墙上有一个监控摄像头，装在离地面4.5m的墙上，任何东西只要移到离 该监控6m及6m内的位置，该监控就会自动进行记录．若小颖身高1.5m，则她刚好走到离墙 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 几米的地方监控就会开始自动记录． 15．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重 要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用 广泛而使人入迷． (1)证明勾股定理 取 4个与Rt ABC△ （图 1）全等的三角形，其中 90C AB c BC a AC b     ， ， ， ，把 它们拼成边长为 a b 的正方形DEFG，其中四边形OPMN 是边长为 c的正方形，如图 2， 请你利用以下图形验证勾股定理． (2)应用勾股定理 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ①应用场景 1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图 3，在数轴上找出表示 1的点 D和表示 4的点 A，过点 A作直线 l垂直于DA，在 l上取 点 B，使 2AB  ，以点 D为圆心，DB为半径作弧，则弧与数轴的交点 C表示的数是______． ②应用场景 2：解决实际问题． 如图 4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 0.5mBE  ，将它往前推至 C处 时，水平距离 2mCD  ，踏板离地的垂直高度 1.5mCF  ，它的绳索始终拉直，求绳索 AC的 长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 勾股定理有关的证明 1．A 【难度】0.94 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的 数学思想为数形结合思想，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思 想为数形结合思想． 【详解】这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的 数学思想是数形结合思想， 故选：A． 2．C 【难度】0.85 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查勾股定理的证明，根据各个图形，利用面积的不同表示方法，列式证明结论 2 2 2a b c  ，找出不能证明的那个选项． 【详解】解：A、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式  2 214 2 a b ab c    ，可得 2 2 2a b c  ，可以证明勾股定理，不符合题意； B、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式  22 2 214 2 c ab b a a b      ，可得 2 2 2a b c  ，可以证明勾股定理，不符合题意； C、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式  2 2 22a b a ab b    ，不能证明勾股定 理，符合题意； D、通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式   2 21 12 2 2 2 a b ab c     ，可得 2 2 2a b c  ， 可以证明勾股定理，不符合题意； 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 3．C 【难度】0.85 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据图形面积之间的关系， 逐项推理论证判断即可． 【详解】解：A．大正方形的面积为：  2a b ，也可看作是 4个直角三角形和一个小正方形 组成，则其面积为： 2 21 4 2 2 ab c ab c    ，∴  2 22a b ab c   ，∴ 2 2 2a b c  故本选 项不符合题意； B．梯形的面积为：     2 21 12 2a b a b a b ab     ，也可看作是 2个直角三角形和一个等 腰直角三角形组成，则其面积为： 2 21 1 12 2 2 2 ab c ab c    ，∴  2 2 21 12 2ab c a b ab    ， 可以证明勾股定理，故本选项不符合题意； C．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意； D．图中图形面积等于边长为 c的正方形面积，加上两个直角边分别为 a、b的长方形面积， 即其面积为： 2c ab ，也可看作是一个梯形面积加上一个等腰直角三角形的面积，则其面积 为：   21 2 2 a b a b c   ，∴   2 21 2 2 a b a b c ab c     ，∴ 2 2 2a b c  故本选项不符合题 意； 故选：C． 4．C 【难度】0.85 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、运用完全平方公式进行运算、勾股定理的证明方法 【分析】图甲利用大正方形面积减去四周四个直角三角形面积可以表示出中间小正方形的面积， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 根据正方形面积公式，用边长可以直接表示出中间小正方形面积，从而验证勾股定理；图乙用 直角梯形面积减去两个直角三角形面积可以表示中间直角三角形面积，利用三角形面积公式可 以直接表示出面积，从而验证勾股定理． 【详解】解：图甲中大正方形的面积为：  2 2 22a b a ab b    ， 四个直角三角形的面积和为： 14 2 2 ab ab  ， 则中间小正方形的面积为： 2 2 2 22 2a ab b ab a b     ， ∵中间小正方形边长为 c， ∴面积为 2c ， ∴ 2 2 2a b c  ， ∴图甲能利用面积验证勾股定理； 图乙中直角梯形的面积为：    2 21 1 2 2 2 a b a b a b ab      ， 两个直角三角形的面积和为： 12 2 ab ab  ， 中间等腰直角三角形的面积为： 2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2 a b ab ab a b     ， ∵中间等腰直角三角形的两条直角边为 c， ∴中间等腰直角三角形的面积为 21 2 c ， ∴ 2 2 21 1 1 2 2 2 a b c  ， 即 2 2 2a b c  ， ∴图乙能利用面积验证勾股定理； 综上分析可知，甲、乙都行，故 C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的图形验证，解题的关键是熟练掌握正方形面积公式和梯形 面积公式，以及三角形面积公式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 5．C 【难度】0.85 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理，根据大正方形的面积 2c ，大正方形的面积 4个三角形的面 积 1 个小正方形的面积，列出式子，变形即可得出答案． 【详解】解：由图可得：大正方形的面积 2c ， 大正方形的面积 4个三角形的面积 1 个小正方形的面积，  22 14 2 c ab b a     ， 2 2 2c a b   ， 故选：C． 6．A 【难度】0.85 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中， 两条直角边的平方和等于斜边的平方．分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立 等式，再整理即可判断． 【详解】解：A、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， 2 2 2( ) 2a b a ab b     ， 以上公式为完全平方公式，故 A选项不能说明勾股定理， B、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，  21 1 1 1 ( )( ) 2 2 2 2 ab ab c a b a b     ， 整理可得 2 2 2a b c  ，故 B选项可以证明勾股定理， C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，  2 214 ( ) 2 ab c a b    ， 整理得 2 2 2a b c  ，故 C选项可以证明勾股定理， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 D、整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加 上两个直角三角形的面积，  2 2 21 12 2 2 2 c ab a b ab      ， 整理得 2 2 2a b c  ，故 D选项可以证明勾股定理， 故选：A． 7．C 【难度】0.65 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】根据勾股定理及正方形面积的计算方法可知：将三个正方形按图 2方式放置的时候， 较小两正方形重叠部分的面积＝阴影部分的面积，从而即可得出答案. 【详解】根据勾股定理及正方形的面积计算方法可知： 较小两个直角三角形的面积之和＝较大正方形的面积， 所以将三个方形按图 2方式放置的时候，较小两正方形重叠部分的面积＝阴影部分的面积，所 以知道了图 2阴影部分的面积即可知道两小正方形重叠部分的面积. 故选 C 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握“较小两个直角三角形的面积之和＝较大正方形的 面积”是解答本题的关键. 8．D 【难度】0.65 【知识点】勾股定理的证明方法、用勾股定理解三角形 【分析】由图形 2可知，中间四边形的边长为  a b 的小正方形，由大正方形的面积由四个 全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出  24 25 2 ab a b    ，再结合 8ab  即可得出  a b 的值，再根据勾股定理即可求出EF的长． 【详解】解：由图形 2可知，中间四边形的边长为  a b 的小正方形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∵大正方形的面积为 25， ∴ 2 25AB  ， 又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积， ∴  24 25 2 ab a b    ， ∴( ) 2 2 25a b ab- + = ， ∴  2 2 8 25a b    ， ∴ 3a b  （负值已舍）， 即图 2中小正方形的边长为 3， ∴ 2 23 3 3 2EF    ， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，正确得出大正方形的面积是解题的关 键． 9．A 【难度】0.65 【知识点】勾股定理的证明方法、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】由图形中的面积关系:正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积 4 ，大正 方形的面积矩形的面积 2 两个小正方形的面积，应用完全平方公式即可求解． 【详解】解：甲同学的方案： 大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积 4 ， 2 2 1( ) 4 2 a b c ab     ， 2 2 22 2a b ab c ab     ， 2 2 2a b c   ， 因此甲同学的方案可以证明勾股定理； 乙同学的方案： 大正方形的面积矩形的面积 2 两个小正方形的面积， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 2 2 2( ) 2a b a ab b     ， 得不到 2 2 2a b c  ， 因此乙同学的方案不可以证明勾股定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，面积转化法，完全平方公式，掌握方法是解题的关键． 10．C 【难度】0.65 【知识点】勾股定理的证明方法、完全平方公式在几何图形中的应用、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方 公式是解题的关键． 根据勾股定理和正方形的性质即可得到 2 2 2 49x y AB   ，即可判定④；根据图形可知 2x y CE   ，即可判断②；根据四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形 的面积，可得 2 4 49xy   ，即可判断③；进而得到  2 94x y  ，即可判断①． 【详解】解：如图所示， ∵正方形 ABGF 的面积为 49， ∴ 2 49AB  ， ∵ ABCV 是直角三角形， ∴根据勾股定理得： 2 2 2 49x y AB   ，故④正确； ∵正方形CDHE的面积为 4， ∴ 2CE CD EH DH    ， ∴ 2x y CE   ，故②错误； 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 列出等式为 14 4 49 2 xy   ， 即 2 4 49xy   ，故③正确； 由 2 4 49xy   可得 2 45xy  ， 又∵ 2 2 49x y  ， 两式相加得： 2 22 49 45x xy y    ， 整理得：  2 94x y  ， 94 9x y   ，故①错误； 故正确的是③④． 故选：C． 11．B 【难度】0.65 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理与几何图形，解题的关键是数形结合．分别根据图 1、图 2求出 几何图形的面积，即可求解． 【详解】解：根据图 1可得该几何图形的面积为： 2 14 ( ) 2 ab b a   ， 根据图 2可得该几何图形的面积为： 2c ，  2 214 ( ) 2 ab b a c    ， 故选：B． 12．(1)  2a b ； 2 14 2 c ab  ； 2 2 2c b a  (2)见解析 (3)27 【难度】0.65 【知识点】勾股定理的证明方法、以弦图为背景的计算题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解 题的关键． （1）方法 1：求得小正方形的边长为  a b ，方法 2：大正方形的面积减 4个直角三角形的 面积，据此计算即可； （2） 4S S S  △阴影正方形大正方形 ，列式计算即可证明； （3）先用勾股定理计算出 c，再利用 2S S S  △空白 大正方形 计算面积即可． 【详解】（1）解：方法 1：  2S a b 阴影 ； 方法 2： 2 14 2 S c ab  阴影 ； ∵  2 2 14 2 a b c ab    ，即  22 2 2 2 214 2 2 2 c a b ab b a ab ab b a          ， 故 2 2 2c b a  ； 根据以上信息，可以得到等式： 2 2 2c b a  ； 故答案为：  2a b ； 2 14 2 c ab  ； 2 2 2c b a  ； （2）解：∵ 4S S S  △阴影正方形大正方形 ， 即  2 2 14 2 a b c ab    ， 整理得 2 2 22 2a ab b c ab    ， 故 2 2 2a b c  ； （3）解：如图， 2ABCDS S S  △阴影 正方形 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∵ 6a  ， 3b  ， ∴ 2 26 3 3 5c    ， 则 2 45ABCDS c 正方形 ， ∴ 2 12 45 6 3 27 2 S c ab      阴影 ， 故阴影部分的面积为 27． 13．（1）见解析（2）图见解析（3）图见解析，5mn（4）10 【难度】0.65 【知识点】勾股定理的证明方法、坐标与图形变化——轴对称、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查勾股定理，二次根式的运算，掌握勾股定理，利用数形结合的思想进行求解 是解题的关键： （1）利用等积法进行验证即可； （2）根据勾股定理构造三角形即可； （3）利用勾股定理，构造三角形即可； （4）将代数式转化为坐标系中 x轴上一点，到点  0,4 以及点  8,2 的距离的最小值，进行求 解即可． 【详解】解：（1）选择 A：  22 14 2 c ab b a    ， ∴ 2 2 22 2c ab a b ab    ， ∴ 2 2 2c a b  ； 选择 B：  2 214 2 a b ab c    ， ∴ 2 2 22 2a ab b ab c    ， ∴ 2 2 2a b c  ； 选择 C：    21 1 12 2 2 2 a b a b ab c     ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ∴  2 22a b ab c   ， ∴ 2 2 22 2a ab b ab c    ， ∴ 2 2 2a b c  ； （2）如图， DEF 即为所求； 由勾股定理，得： 2 2 2 2 2 21 2 5, 2 3 13, 2 4 20DE EF FD         ， 故 DEF 符合题意； （3）如图，ΔABC即为所求； 由勾股定理，得： 2 2 2 2 2 29 4 , 4 4 , 16AB m n AC m n BC m n      ， 故ΔABC符合题意； 由图可知：ΔABC的面积为：  1 1 13 2 4 2 3 2 2 5 2 2 2 m m n n m n m mn         ， 故答案为：5mn； （4）          2 2 2 2 22 16 8 4 0 4 0 8 2 0x x x x            ， 故    22 16 8 4 0 8x x x      ，可看成坐标系中 x轴上一点，到点  0,4 以及点  8,2 的距离和，如图， 设       0,4 , 8,2 , ,0 0 8A B P x x  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 则：    22 16 8 4 0 8PA PB x x x        ， 作点A关于 x轴的对称点  0, 4A  ，则： PA PB PA PB A B     ， ∴当 , ,A P B 三点共线时，PA PB 的长最小，即    22 16 8 4 0 8x x x      的值最 小，为 A B 的值， ∴    22 16 8 4 0 8x x x      的最小值为：  228 4 2 10    ； 故答案为：10． 14．任务一：数形结合，勾股，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；任务二：过程 见解析；任务三：她走到离墙3 3米的地方监控就会自动记录 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查四边形综合应用，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积． 任务一：观察赵爽“无字证明”的方法可得答案； 任务二：连接 BF，证明 BAF△ 为等腰直角三角形，根据 ACDE ABDFS S正方形 四边形 可得  2 2 2 21 12 2b c b a   ，整理后可得 2 2 2a b c  ； 任务三：构造图形，用勾股定理可得她走到离墙3 2米的地方监控就会自动记录． 【详解】任务一：解：赵爽“无字证明”的方法中体现了数形结合的数学思想，由此图可以推导 出勾股定理，该定理的内容是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 故答案为：数形结合，勾股，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 任务二：证明：连接 BF，如图， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 ∵ 90CAE  ， ∴ 90BAC BAE   ， ∵ BAC EAF  ， ∴ 90EAF BAE   ， ∴ 90BAF  ， ∴ BAF△ 为等腰直角三角形， ∴     2 2 2 21 1 1 12 2 2 2ABF BFDABDFS S S c b a a b c b a        四边形 ， ∵ ACDE ABDFS S正方形 四边形 ， ∴  2 2 2 21 12 2b c b a   ，， ∴ 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 b c b a= + - ， ∴ 2 2 21 1 1 2 2 2 c b a  ， ∴ 2 2 2a b c  ； 任务三：解：如图： ∵四边形CDBE是长方形， ∴ 1.5mCD BE  ， ∵ 4.5mAB  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 ∴ 3mAE AB BE   ， 当 6mAC  时，摄像头刚好监控到， 在Rt ACE中， 90AEC  ， ∴ 2 2 2 26 3 3 3CE AC AE     ， ∴她走到离墙3 3米的地方监控就会自动记录． 15．(1)验证见解析 (2)①1 13 ；②绳索 AC的长为2.5m 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、求一个数的算术平方根、用勾股定理构造图形解决问题、勾 股定理的证明方法 【分析】（1）用含 a、b的式子用两种方法表示正方形的面积，然后整理即可证明结论； （2）①根据勾股定理求出DB，根据实数与数轴解答即可．②设秋千的绳索长为 mx ，根据题 意可得  1 mAD x  ，利用勾股定理可得 2 2 22 ( 1)x x   ，即可得到结论． 【详解】（1）解：证明勾股定理： 由题意得，  2DEFGS a b 正方形 ， 1 2ABC S ab△ ， 2 OPMNS c正方形 4 ABCDEFG OPMNS S S 正方形 正方形△ ∴ 2 2 212 4 2 a ab b ab c     ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 ∴ 2 2 2a b c  ． （2）解：①在Rt DBA中， 2 2 2 23 2 13DB DA AB     , 13DC  , 点C表示的数是 13 1 ． 故答案为： 13 1 ． ② 1.5mCF  ， 0.5mBE  ， 1mDB  ． 设秋千的绳索长为 mx ，根据题意可得  1 mAD x  ， 利用勾股定理可得 2 2 22 ( 1)x x   ． 解得： 2.5x  ． 答：绳索 AC的长为 2.5m． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平 方以及数形结合思想是解题的关键．