【专项练】勾股定理中的最短路径问题-沪科版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 勾股定理中的最短路径问题 1．如图，一只蚂蚁沿着边长为1的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点 B，如果它运动 的路径是最短的，则 AB的长为( ) A． 10 3 B． 2 10 3 C． 10 D．2 2．如图，在桌面上放置一个正方体，正方体的棱长为2cm，点 B为一条棱的中点，蚂蚁在正 方体表面爬行，从点A爬到点 B的最短路程是（ ） A． 37cm B．2 5cm C． 17cm D． 15cm 3．如图，长方体的长为 3，宽为 2，高为 4，一只蚂蚁从点 A出发，沿长方体表面到点 B处吃 食物，那么它爬行最短路程是（ ） A．7 B． 41 C． 4 13 D．3 2 5 4．如图，长方体的底面边长分别为3cm和9cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点 P开始经过 4 个侧面爬行一圈到达点 Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．20 B．22 C．24 D．25 5．一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面 B点，已知圆柱的底面半径为4cm， 高为5cm（ π取 3），则蚂蚁所走过的最短路径是（ ） A．15cm B．13cm C．12cm D．10cm 6．如图，圆柱形容器的底面周长是24cm，高是15cm，在外侧地面 S处有一蜘蛛，与蜘蛛相 对的圆柱形容器的上口内侧距开口处1cm的点 F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走 的最短路线长度是（ ）cm． A．18 B．20 C．22 D．24 7．如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为6cm，底面半圆直径 AC为4cm，点 A处有一 只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心 B处的食物，则爬行的最短路程是多少（ π 取 3）（ ） A． 6 2 B．8 C． 2 58 D．10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 8．如图，在底面周长约为5米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱 表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为 AC的中点），每根华表刻有雕龙 的部分的柱身高约 24米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（ ） A．14米 B．28米 C．13米 D．26米 9．一个台阶如图所示，阶梯每一层高 20cm，宽25cm，长120cm，一只蚂蚁从 A点爬到 B 点的最短路程是（ ） A．120cm B．150cm C．180cm D．210cm 10．某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼（如图），在灯笼的侧面上，从顶 点 A到顶点 A缠绕一圈彩带．已知此灯笼的高为 50cm，底面边长为 40cm，则这圈彩带的 长度至少为（ ） A．50cm B．120cm C．130cm D．150cm 11．如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为10cm，在杯内壁离杯底 3cm的点 C处 有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达 蜂蜜的最短距离为 cm． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 12．深受人们喜爱的蜘蛛侠代表了善良、正义且具备超能力的艺术形象．如图是某部动作电影 中的一座长方体建筑，其底面为正方形 ABCD，现已知 30mAB  ， 50mAA  ，蜘蛛侠欲 从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑 1圈，最后到达点 A处，则蜘蛛侠行走的最短 距离为 m． 13．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中 9cmAB  ， 6cmBC = ， 5cmBF  ，点 M在 棱 AB上，且 3cmAM  ，点 N是 FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点 M爬 行到点 N，它需要爬行的最短路程为 cm． 14．如图，已知圆柱底面的周长为 12，圆柱的高为 8，在圆柱的侧面上，过点 A，C嵌有一圈 长度最短的金属丝． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 (1)现将圆柱侧面沿 AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点 B绕四圈到达点 A，则所需金属丝最短长度是多少？ 15．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有 著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在 1994年构造发现了一个新的证法．证法如下： 把两个全等的直角三角形如图 1放置（Rt RtABC DAE≌△ △ ）， 90DAE B   ，点E 在落在边 AB上，此时 AC DE ，设Rt ABC△ 中， BC a ， AC b ， AB c ，用a、b、 c分别表示出梯形 ABCD、四边形 AECD、 EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关 系，可证明勾股定理． (1)请根据上述图形的面积关系，证明勾股定理； (2)如图 2，某平原上有一条铁路 l，在铁路的同侧有两个小镇 C、D且相距3 65 千米，它们到 铁路的距离分别是 2千米和 5千米，现要在铁路上修建一个站点 P和站点到两镇的公路，为使 总造价最低，请在图上确定 P的位置，并求出两条公路的总长； (3)借助上面的思考过程，求代数式  2 24 25 4x x    的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 勾股定理中的最短路径问题 1．C 【难度】0.85 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了平面展开 -最短路径问题，勾股定理．将正方体展开，根据两点之间线段 最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长． 【详解】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所 示，此时 AB最短， 2 23 1 10AB    ， 故选：C． 2．C 【难度】0.85 【知识点】几何体展开图的认识、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查平面展开最短路径问题，勾股定理，关键是知道两点之间线段最短，找到起 点终点是解题的关键． 正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定 理可求出最短路径长． 【详解】解：如图， 它运动的最短路程 2 2 2(2 2) ( ) 17(cm) 2 AB     ． 故选：C． 3．B 【难度】0.85 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【知识点】用勾股定理解三角形、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】作此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根 据勾股定理即可计算．本题考查的是平面展开最短路径问题，熟知此类问题应先根据题意把 立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径． 【详解】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是 6和 3， 则所走的最短线段是 2 26 3 45 3 5   ； 第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是 5和 4， 所以走的最短线段是 2 24 5 41  ； 第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是 7和 2， 所以走的最短线段是 2 27 2 53  ； 三种情况比较而言，第二种情况最短． ∵ 53 45 41  ∴它需要爬行的最短路线的长是 41， 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 4．D 【难度】0.85 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得  9 9 3 3 24 cmPA      ， 7cmQA  ． 在Rt PQA△ 中， 2 2 2 224 7 25PQ PA QA     ， 故选：D． 5．B 【难度】0.85 【知识点】几何体展开图的认识、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了平面展开−最短路径问题，要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利 用两点之间线段最短，找到最短的路径，然后利用勾股定理计算即可求解，把圆柱的侧面展开， 找到蚂蚁所走过的最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，则 90 5cmACB BC  ∠ ， ， 根据两点之间，线段最短，可知，蚂蚁所走过的最短路径即为线段 AB的长， ∵圆柱的底面半径为4cm， ∴ 1 2 4 3 12cm 2 AC      ， 在Rt ABC△ 中，由勾股定理得 2 2 13cmAB AC BC   ， 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 6．B 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、两点之间线段最短、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解答此类问题画侧面展开图的时候需要注意物体在 容器内侧与外侧的区别．画出圆柱侧面展开图，根据两点之间线段最短确定最短路线，结合勾 股定理计算出最短路线即可． 【详解】解：如图，设点 D为圆柱形容器上口上的一点，作点 F关于点 D的对称点 F ，连接 SF ， EF， 根据轴对称可知， EF EF  ， ∴ SE EF SE EF    ， ∵两点之间线段最短， ∴当 S、E、 F 在同一直线上时，蜘蛛所走的路程最小， 即 SF 为蜘蛛所走最短路径， 由题意得：  1 24 12 cm 2 SA    ， 15cmAD  ， 1cmF D  ， ∴  15 1 16 cmF A    ， ∴  2 212 16 20 cmSF     ． 故选：B． 7．D 【难度】0.85 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】此题考查平面展开-最短路径问题．要求蚂蚁爬行的最短距离，需将半圆柱的侧面展 开，进而根据“两点之间线段最短”通过勾股定理得出结果． 【详解】解：将圆柱的侧面展开为矩形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 其中 AC为半圆的弧长 1 6cm 2 d   ，CD为半径的长2cm， 6cmBD  ， 根据勾股定理可得  2 26 8 10 cmAB    ， 故爬行的最短路程为10cm． 故选：D 8．D 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用—最短距离问题，熟练掌握勾股定理是解题的关 键． 根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意，把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图所示，雕龙把大长方形均分为 2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为5米，柱身高约 24米， ∴ 5AE  米， 1 12 2 BE BD ED   米， ∴ 2 2 13AB BE AE   米， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为13 2 26  （米）， 故选：D． 9．B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 【难度】0.85 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两 点之间线段最短进行解答 ． 【详解】解：如图所示： 台阶平面展开图为长方形， 120cmAC  ，  20 25 20 25 90 cmBC      ， 则蚂蚁沿台阶面爬行到 B点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：  2 2120 90 150 cmAB    ， 故选：B． 10．C 【难度】0.85 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】将三棱柱沿 AA展开，得到直角边分别是底面周长，棱柱的高，勾股定理计算即可． 本题考查了三棱柱的展开，勾股定理，熟练掌握三棱柱的展开，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：将三棱柱沿 AA展开，其展开图如图， 则  2250 3 40 130AA     （cm）， 答：这圈金属丝的长度至少为 130cm． 故选：C． 11．13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【难度】0.65 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，轴对称的性质．熟练掌握勾股定理的应用，轴对称的性 质是解题的关键． 如图，将杯子侧面展开，作 A关于EF的对称点 A，连接 A F ， AF ，则 3A F AF cm   ， AF CF A F CF   ，可知当 A F C、 、 三点共线时，蚂蚁从外壁 A处到内壁 C处的最短距 离，为 A C 的长，由题意知， 5A D  ，  12 3 3 12CD     ，由勾股定理得， 2 2A C A D CD    ，计算求解即可． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作 A关于EF的对称点 A，连接 A F ， AF ， ∴ 3A F AF cm   ， ∴ AF CF A F CF    ， 当 A F C、 、 三点共线时，蚂蚁从外壁 A处到内壁 C处的最短距离，为 AC 的长， 由题意知， 5cmA D  ，    12 3 3 12 cmCD     ， 由勾股定理得，  2 2 13 cmA C A D CD    ， 故答案为：13． 12．130 【难度】0.65 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．从点如果 从点 A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑 1圈到达点 A，行走的最短距离相当于直三角 形 AEE的斜边 AE 的边长，根据展开图，求出 120m, 50mAE E E  ，再根据勾股定理求 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 出斜边长即可． 【详解】解：如图，将长方体展开：  ABCD是正方形， 30mAB  ， 50mAA  ， 30mAB BC CD DE     ， 4 120m, 50mAE AB E E    ， 从点 A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑 1圈到达点 A，行走的最短距离相当于直三 角形 AEE的斜边 AE 的边长， 2 2 2 2120 50 130mAE AE E E       ， 行走的最短距离为130m． 故答案为：130． 13．10 【难度】0.65 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情 况分析得出是解题关键．利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即 可． 【详解】解：如图 1，  9cmAB  ， 6cmBC = ， 5cmBF  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9    9 3 6 5 3 8BM cm BN cm      ， ， 2 26 8 10(cm)MN    ； 如图 2，  9cmAB  ， 6cmBC = ， 5cmBF  ，， 9 3 3 9(cm) 5cmPM NP     ， ， 2 29 5 106(cm)MN    ， 10 106Q ， 蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为10cm． 故答案为：10． 14．(1)A (2)20 (3)8 37 【难度】0.4 【知识点】最短路径问题、 圆柱的展开图、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线 段长时，根据勾股定理计算即可； （3）若将金属丝从点 B绕四圈到达点 A，则所需金属丝最短长度是以周长及 1 4 的高为直角三 角形的斜边长的 4倍． 【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形， AC展开应该是两线段，且有公共点C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 故选：A； （2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为 2AC的长度． 圆柱底面的周长12，圆柱的高 8AB  ， 该长度最短的金属丝的长为 2 2 122 2 20 2 8AC        ． （3）解：若将金属丝从点 B绕四圈到达点 A， 则所需金属丝最短长度是以周长及 1 4 的高为直角三角形的斜边长的 4倍： 2 2 84 12 8 37 4       ． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩 形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化 曲面为平面”，用勾股定理解决． 15．(1)见解析 (2)见解析，25千米 (3)5 【难度】0.4 【知识点】二次根式的混合运算、勾股定理的证明方法、用勾股定理构造图形解决问题、求最 短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理，最值问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决 问题，也考查二次根式运算． （1）根据梯形和三角形的面积公式即可得到结论； （2）过C作CH BD 于H，根据矩形的性质得到CH AB ，求得 3DH  千米，根据勾股 定理得到 2 2 24AB CH CD DH    （千米），作点C关于直线 l的对称点E，连接DE 交直线 l于点 P，则此时DP PC 的值最小，即总造价最低，过E作EF BD 于F ，则 24EF AB  千米， 2BF AE AC   千米，根据勾股定理得到 2 2 2 27 24 25PD PC DE DF EF       （千米）； （3）如图 3，取线段 4AB  ，在线段 AB所在直线的同侧分别过 B、A作BD AB ，AC AB ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 且 2AC  ， 5BD  ，连接DC，并延长DC交 AB的延长线于点M ，根据勾股定理即可得 到结论． 【详解】（1）证明：如图， ∵Rt RtABC DAE≌△ △ ∴BC AE a  ， AC ED b  ， AB AD c  ， ∴BE AB AE c a    ， ∴梯形 ABCD的面积  1 2 AB BC AD  1 ( ) 2 c a c  ，四边形 AECD的面积 1 2 AC ED  21 2 b ， EBC的面积 1 2 BE BC  1 ( ) 2 a c a  ， ∵梯形 ABCD的面积四边形 AECD的面积 EBC 的面积，  21 1 1( ) ( ) 2 2 2 c a c b a c a    ， 化简得 2 2 2a c b  ； （2）解：过C作CH BD 于H ， BD l ， AC l ， 90CHD CHB HBA CAB      ， 四边形 ABHC是长方形， CH AB  ， AC BH ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 5BD  千米， 2AC  千米， 3DH  千米， 3 65CD  千米， 2 2 24AB CH CD DH     （千米）， 作点C关于直线 l的对称点E，则PC PE ， 2AC AE  ， ∴DP PC DP PE DE    ， ∴当D、 P、E三点共线时，DP PC 的值最小，最小值为DE长，即连接DE交直线 l于 点 P， 过E作EF BD 于F ，则四边形 ABFE 为长方形， 则 24EF AB  千米， 2BF AE AC   千米， 7DF BD BF    （千米）， 2 2 2 27 24 25PD PC DE DF EF        （千米）， 答：两条公路的总长为 25千米； （3）解：如图 3，取线段 4AB  ，在线段 AB所在直线的同侧分别过 B、A作BD AB ， AC AB ，且 2AC  ， 5BD  ，连接DC，并延长DC交 AB的延长线于点M ，过C作 CE BD 于E，则四边形 ABEC为长方形， 设 AM x ，则 4BM BD AM x    ∴  22 2 4 25DM BD BM x     ， 2 2 2 4CM AC AM x    ， ∴  2 24 25 4DM CM x x      ， ∵DM CM CD  ， ∴当D M C、 、 三点共线时，DM CM CD  最小， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 ∵四边形 ABEC为长方形， ∴ 2AC BE  ， 4AB CE  ， ∴ 5 2 3DE BD BE     ， ∴ 2 2 2 23 4 5CD ED CE     ， ∴ 2 2( 4) 25 4x x    的最大值，最大值为5．