【专项练】利用勾股定理求边长或面积-沪科版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 利用勾股定理求边长或面积 1．A 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．先 利用等腰三角形的三线合一性质可得 2 ,BC BD AD BC  ，然后在Rt ABD△ 中，利用勾股 定理求出BD的长，进行计算即可解答． 【详解】解： ,AB AC AD 是 BAC 的平分线， 2 ,BC BD AD BC   ， 在Rt ABD△ 中， 10, 6AB AD  ， 2 2 2 210 6 8BD AB AD      ， 2 16BC BD   ， 故选：A． 2．D 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求得 2AC ，即可求解． 【详解】解： 2 2 2 2 2     15 13 225 169 56ACEDS AC AB BC       正方形 ． 故选：D． 3．C 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握垂直平分线的性质， 等腰三角形的判定性质，勾股定理是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得 3 2AE BE  ，再根据三角形的外的性质可得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 45CAE CEA     ， ACE是等腰直角三角形， AC EC ，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵ AB的垂直平分线DE交BC于点E， ∴ 3 2AE BE  ， ∴ 22.5EAB EBA   ， ∴ 45AEC EAB EBA    ， ∵ 90C  ， ∴ 45CAE CEA     ， ∴ ACE是等腰直角三角形， AC EC ， ∴ 2 2 2AC EC AE  ，即 2 22AC AE ， ∴   2 2 2 3 2 9 2 2 AEAC    ， ∴ 3AC  （负值舍去）， 故选：C ． 4．D 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一 定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 由于直角三角形的斜边不能确定，故应分 5是直角边或 5是斜边两种情况进行讨论． 【详解】解：当 5是直角边时，则第三边 2 24 5 41   ； 当 5是斜边时，则第三边 2 25 4 3   ． 综上所述，第三边的长是 3或 41． 故选：D． 5．D 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、求一个数的算术平方根 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【分析】此题考查了勾股定理，在直角三角形中，利用勾股定理求出各自的斜边，归纳总结得 到第 n个直角三角形的斜边即可，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】在Rt ABC△ 中， 2AB  ， 1BC  ，根据勾股定理得 4 1 5AC    ， 在Rt ACD△ 中， 5AC  ， 1CD  ，根据勾股定理得 5 1 6AD    ， 在Rt ADE中， 6AD  ， 1DE  ，根据勾股定理得 6 1 7AE    ， L ， 以此类推，第 n个直角三角形的斜边长为 4n  ， 故选：D． 6． 20 3 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用二次根式的性质化简、含 30度角的直角三角形、三线 合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含 30度角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌 握含 30度角的直角三角形的性质是解题关键．过点O作OC AB 于点C，先根据等腰三角形 的性质可得 30A B  ∠ ∠ ， 1 2 AC BC AB  ，再根据含 30度角的直角三角形的性质和勾股 定理可求出 AC的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点O作OC AB 于点C， ∵ 20cmOA OB  ， 120AOB  ， ∴ 180 30 2 AOBA B       ， 1 2 AC BC AB  （等腰三角形的三线合一）， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ∴ 1 10cm 2 OC OA  ， ∴ 2 2 10 3cmAC OA OC   ， ∴ 2 20 3cmAB AC  ， 即此时 ,A B两点之间的距离是 20 3cm， 故答案为： 20 3． 7． 2024 2 / 1 2024 2 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、图形类规律探索 【分析】本题考查勾股定理解直角三角形及数字的规律探索，准确利用勾股定理及三角形面积 公式进行计算是解题关键．利用勾股定理解直角三角形，然后利用三角形面积公式计算三角形 面积，从而发现规律． 【详解】解：由题意可得 11 Rt 1 1 1 2 2OPP S S OP PP   △ ， 在 1Rt OPP△ 中， 2 21 1 2OP OP PP   ， ∴ 1 22 Rt 1 2 1 1 2 2 2OPP S S PP OP    ， 同理可得： 2 33 Rt 2 3 2 1 1 31 3 2 2 2OP P S S P P OP      △ ， … 1Rt 2n nn OP P nS S   △ ， ∴ 2024S  2024 2 ， 故答案为： 2024 2 ． 8．100 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形面积的计算等知识点,熟练掌握勾股定理，由勾股 定理得出正方形的面积关系是解题的关键． 由勾股定理得出 2 2 2AC BC AB  得出 1 2 3S S S  ，然后代入相关数据计算即可． 【详解】解：∵ 90ACB  ， ∴ 2 2 2AC BC AB  ， ∴ 1 2 3S S S  ，即 3 36 34 100S    ． 故答案为：100． 9．2025 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、图形类规律探索 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形类的规律探索，根据勾股定理可得第一代勾股树中所 有正方形的面积为2，再一次求出第二代、第三代勾股树中所有三角形的面积，总结出一般规 律，即可进行解答． 【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为 a和 b，斜边长为 c， 根据勾股定理可得： 2 2 2a b c  ， ∵ 2 1c  , ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为 2 2 2 2 2 2a b c c c      ； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为 2 2 2 22 2 3 3a b c c     ； 第三代勾股树中所有正方形的面积为 24 4c  ； 第 n代勾股树中所有正方形的面积为   21 1n c n    ； ∴第 2024代勾股树中所有正方形的面积为 2025． 故答案为：2025． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 10．30 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理、根据圆的面积公式和直角三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵在Rt ABC△ 中， 90 5 12ACB a b    ， ， ， AB c ∴ 2 2 2c a b  ， ∴图中两个“月牙”即阴影部分面积为 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 b a cab                       2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 b a ca b                            2 2 21 1π 8 2 a b c ab    1 2 ab 30 ， 故答案为：30． 11．11 【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先分别表示出 2 2 21 1 1 2 2 2ABD ACE BCF S AB S AC S BC  ， ， ，再运用面积的关系得出 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 2 2 1 2 1 3 1 14 9 2 2 S AB S AC S S     ， ， 22 1 16 2 S BC  ，然后根据勾股定理列式 2 2 2AC AB BC  ，代入化简，即可作答． 【详解】解：如图： 设 ABG ABC BHC， ， 的面积分别为 1 2 3S S S， ， ， ∵在Rt ABC△ ，然后分别以这个三角形的三边为直角边画出三个等腰直角三角形， ∴ 2 2 21 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2ABD ACE BCF S AB AD AB S AC AE AC S BC CF BC        ， ， ∵ , ,ADG EGH CFH△ △ △ 的面积分别为 4，9，16， ∴ 2 2 1 2 1 3 1 3 1 14 4 9 9 2 2ABD ACE S S AB S S S S AC S S           ， ， 2 3 116 16 2BCF S S BC    ， 整理上式：得 2 2 1 1 3 22 8 2 2 2 18AB S AC S S S     ， ， 2 32 32BC S  ， ∵ 2 2 2AC AB BC  ， ∴ 1 3 1 3 22 8 2 32 2 2 2 18S S S S S       ， 则 22 22S  ， ∴ 2 11S  ， 即 11ABCS  ， 故答案为：11． 12．252 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积、全等的性质和 ASA （AAS）综合（ASA或者 AAS） 【分析】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式 进行灵活的结合和应用．根据余角的性质得到 FAC ABC   ，根据全等三角形的性质得到 FAH ABNS S ，推出 ABC FNCHS S  四边形 ，根据勾股定理得到 2 2 2AC BC AB  ，解方程组得到 168BC AC  ，接着由图可知空白部分为重叠部分，阴影部分为非重叠部分，所以2倍的空白 部分与阴影部分面积和等于三个正方形与三角形面积和．结合 168BC AC  即可得出结论． 依此即可求解． 【详解】解：如图， 四边形 ABGF 是正方形， 90FAB AFG ACB      ， AF AB ， 90FAC BAC BAC ABC       ， FAC ABC   ， (ASA)FAH ABN ≌ ， FAH ABNS S  ， 3=ABC FNCHS S S  四边形 ， ∵ 3 541ABGFS S S  正 形空白 方 ，即 2 541ABCAB S  ， 2 1 541 2 AB AC BC    ， 在 ABCV 中， 90ACB  ， 2 2 2AC BC AB   ， 31AC BC  ，  2 2 2 2 961AC BC AC BC AC BC       ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 2 2 961AB AC BC    ， 168BC AC   ， 阴影部分的面积和三个正方形面积三角形面积 2 倍空白部分面积  2 2 2 21 12( ) 2 2 AB AC BC AC BC AB AC BC     3 2 AC BC 3 168 2   252 ． 故答案为：252． 13． 20241 2       【难度】0.65 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、用勾股定理解三角形、图形类规律探索 【分析】本题考查图形规律探究，等腰直角三角形、正方形的性质，勾股定理，总结归纳出规 律是解题的关键． 根据题意表示出 1S ， 2S ， 3S 的值，找到规律 11 2 n nS        ，根据规律计算即可． 【详解】解：由题意可知，面积为 1S 的正方形的边长为 1， 1 1S  ， 面积为 2S 的正方形的边长为 1 2 ， 2 1 2 S  ， 面积为 3S 的正方形的边长为 1 2 2 ， 2 3 1 2 S       ， 面积为 4S 的正方形的边长为 1 2 2 2  ， 3 4 1 2 S       ， .....． 一般规律为： 11 2 n nS        原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ，则 2025 1 2024 2025 1 1 2 2 S              ． 故答案为： 20241 2       ． 14．（1） 2 2 2( ) 2a b a b ab    ；（2） 1 2 3S S S  ；（3）结论仍成立，理由见详解；（4） 30 【难度】0.4 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加两个长方形的面积即可得出答 案； （2）分别求出三个正方形的面积，再用勾股定理求解即可； （3）分别求出三个半圆的面积，计算即可； （4）阴影部分的面积为两个小半圆的面积减去大的半圆的面积再加上三角形的面积． 【详解】解：（1）由正方形的面积可得出： 2 2 2( ) 2a b a b ab    ； 故答案为： 2 2 2( ) 2a b a b ab    ； （2）由图可得： 2 2 21 2 3, ,S AC S BC S AB   , 在直角三角形中有： 2 2 2AC BC AB  ∴ 1 2 3S S S  ； 故答案为： 1 2 3S S S  ； （3）结论仍成立，理由如下： 由图可得出： 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 1 1( ) , ( ) , ( ) 2 2 4 2 2 4 2 2 4 AC AC BC BC AB ABS S S            ∴ 2 2 1 2 ( ) 4 BC ACS S     在直角三角形中有： 2 2 2AC BC AB  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ∴ 1 2 3S S S  ． 因此，结论仍成立． （4）由图可知： 阴影部分的面积为两个小半圆的面积减去大的半圆的面积再加上三角形的面积，由（3）可知 为两个小半圆的面积等于大的半圆的面积，因此，阴影部分的面积等于三角形的面积， ∵ 1= 5 12=30 2 S  阴 ． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的拓展，巧妙利用数形结合思想方法，借助这种方法将 抽象的数学知识变得直观是解此题的关键． 15．(1)2，10 (2) 57 2 (3)线段BD的长度存在最大值，最大值为14 2 【难度】0.4 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和 SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、 用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的性质、三角形的三边 关系等知识，构造全等三角形是解答本题的关键． （1）根据 AB、 AC的长度即可求出 BC长度的取值范围，即可得解； （2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明  SASEAD BAC≌ 得到 30AED ABC BEF       ， 4 3DE BC  ，再利用等腰三角形的三线合一得 到 EF AB ， 1 15 2 4 BF AB  ，然后利用勾股定理分别求解即可； （3）过 D作DE BD ，且DE BD ，连接 BE， AE，则 2 2 BD BE ，要使BD最大， 只需 BE最大即可；证明  SASADE CDB≌ 得到 12AE BC  ，由 16 12 28BE AB AE     ，当 B、A、E共线时取等号得到 BE的最大值为 28，进 而可求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 【详解】（1）解：∵ AB AC BC AB AC    ，（当 C点在线段BA上和在BA的延长线 上时取等号） ∵ 6AB  ， 4AC  ， ∴6 4 6 4BC    ，即 2 10BC  ， ∴ BC的长度的最小值为 2，最大值为 10， 故答案为：2，10； （2）解：如图，设ED与 AB相交于 F， ∵ ACD和 ABE都是等边三角形， ∴ AD AC ，BE AE AB  ， 60AEB BAE DAC      ， ∴ 60EAD BAC BAD       ， 在 EAD和 BAC中， AD AC EAD BAC AE AB       ， ∴  SASEAD BAC≌ ， ∴ AED ABC   ，DE BC ， ∵ 30ABC  ， 4 3BC ， ∴ 30AED  ， 4 3DE  ， ∴ 30BEF AEB AED AED       ，又 15 2 BE AE AB   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 ∴ EF AB ， 1 15 2 4 BF AB  ， ∴ 2 2 2 2 15 15 15 3 2 4 4 EF BE BF                ， ∴ 3 4 DF DE EF   ， 在Rt BFD中， 22 2 2 15 3 57 4 4 2 BD BF DF               ； （3）解：线段BD的长度存在最大值． 如图，在 BD上方，过 D作DE BD ，且DE BD ，连接 BE， AE， ∴ 2 2 2BE BD DE BD   ，即 2 2 BD BE ， 要使BD的长最大，只需 BE的长最大即可， ∵ 90BDE ADC    ， ∴ 90EDA BDC ADB    ，又DE BD ， AD DC ， ∴  SASADE CDB≌ ， ∴ AE BC ， ∵ 16AB  ， 12BC  ， ∴ 12AE BC  ， ∵ 16 12 28BE AB AE     ，当 B、A、E共线时取等号， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 ∴ BE的长的最大值为 28， 则BD的长的最大值为 2 28 14 2 2   ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 利用勾股定理求边长或面积 1．如图， ABC中， AB AC ， AD是 BAC 的平分线．已知 10AB  ， 6AD  ，则 BC 的长为（ ） A．16 B．12 C．10 D．8 2．如图，在Rt ABC△ 中， 90ACB  ， 15AB  ， 13BC  ，以 AC为边作正方形 ACED， 则 ACEDS正方形 的值为（ ） A． 56 B．8 C．28 D．56 3．在 Rt ABC中， 90 , 22.5C B     ，AB的垂直平分线DE交BC于点E， 3 2BE  ， 则 AC等于（ ） A．3 2 B．6 2 C．3 D．6 4．已知一个直角三角形的两边长分别为 4和 5，则这个三角形第三边长为（ ） A．3 B．4 C． 41 D．3或 41 5．如图，Rt ABC△ 的两直角边长分别为1，2，以Rt ABC△ 的斜边 AC为一直角边，另一 直角边CD长为1画第二个Rt ACD△ ；再以Rt ACD△ 的斜边 AD为一直角边，另一直角边 DE长为1画第三个Rt ADE；…，以此类推，第 n个直角三角形的斜边长是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．n B． 4n  C． n D． 4n  6．由于传统的木质衣架如图 1没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小明设计了一种 弹性衣架如图 2，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．弹性衣架杆 20cmOA OB  ，衣服套进后，衣架自然状态下 120AOB  ，则此时 ,A B两点之间的距 离是 cm． 7．如图，已知 1OP  ，过 P作 1PP OP 且 1 1PP  ；再过 1P作 1 2 1PP OP 且 1 2 1PP  ；又过 2P 作 2 3 2PP OP 且 2 3 1PP  ；又过 3P 作 3 4 3P P OP 且 3 4 1PP  ；……，按照这种方法依次作下去得到 一组直角三角形 1Rt OPP△ ， 1 2Rt OPP△ ， 32Rt OP P△ ， 3 4Rt OP P△ ，……，它们的面积分别 为 1S ， 2S ， 3S ， 4S ，……，那么 2024S  ． 8．如图， ABC中， 90ACB  ，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为 1S 、 2S 、 3S 已知 1 36S  ， 2 64S  ， 3S  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 9．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别 向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假 设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如 果第一个正方形面积为 1，则第 2024代勾股树中所有正方形的面积为 ． 10．张老师和“数学小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙 问题（ 'Hippocrate sTheorem）”：如图在Rt ABC△ 中， 90 5 12ACB a b    ， ， ，分 别以Rt ABC△ 的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分面积为 ． 11．如图，某数学兴趣小组在课后一起复习数学知识，首先他们在纸上画出Rt ABC△ ，然后 分别以这个三角形的三边为直角边画出三个等腰直角三角形，最后把这个图形剪下来，并折成 下图的样子，DF分别与 AE EC、 交于 G、H，若 , ,ADG EGH CFH△ △ △ 的面积分别为 4， 9，16，则 ABCS  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 12．如图，在 ABC中， 90ACB  ，以 AC，BC和 AB为边向上作正方形 ACED和正方 形BCMI 和正方形 ABGF ，点G落在MI上，若 31AC BC  ，空白部分面积为541，则图 中阴影部分的面积是 ． 13．正方形 ABCD的边长为 1，其面积记为 1S ，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直 角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为 2S ，…按此规律继续下去，则 2025S 的 值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 14．问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观， 从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的 方法进行直 观推导和解释．  1 如图 1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式：  2 如图 2，在Rt ABC 中， 90 , , ,ACB BC a AC b AB c     ，以Rt ABC 的三边长向 外作正方形的面积分别为 1 2 3, ,S S S ，试猜想 1 2 3, ,S S S 之间存在的等量关系，直接写出结 论 ．  3 如图 3，如果以Rt ABC 的三边长 , ,a b c为直径向外作半圆，那么第  2 问的结论 是否成 立？请说明理由．  4 如图 4，在Rt ABC 中， 90ACB  ＝ ，三边分别为5,12,13，分别以它的三边为直 径向 上作半圆，求图 4 中阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 15．综合与实践：某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题： (1)【问题情境】如图 1，平面内有三个点A，B，C， 6AB  ， 4AC  ，则 BC的长度的最 小值为___________，最大值为___________． (2)【深入探究】如图 2，在 中， 30ABC  ， 15 2 AB  ， 4 3BC ，以 AC为边作等 边 ACD（点 B、点D在 AC同侧），以 AB为边向外作等边 ABE，连接BD和DE，求 BD 长． (3)【延伸拓展】如图 3，在 中， 16AB  ， 12BC  ，以 AC为边向外作等腰直角三角 形 ACD， 90ADC AD DC   ， ，连接BD．线段 BD的长度是否存在最大值？若存在， 请求出最大值；若不存在，请说明理由．