精品解析：河南省濮阳市2024-2025学年九年级下学期第一次联考数学试题

2024-2025学年九年级下学期联考试卷数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，正整数是（ ） A. B. C. D. 2. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列调查活动适合采用全面调查的是（ ） A. 调查某班学生的身高 B. 调查某品牌手机电池的使用寿命 C. 调查某市居民的环保意识 D. 调查全国中学生心理健康状况 5. 如图，直线，相交于点O，于点O．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……文中的鸟巢共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. －2 B. 2 C. －4 D. 4 8. 如图，是的切线，为切点，连接．若，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量．物质的溶解度会随温度的变化而变化．如图是甲、乙两种固体物质的溶解度随温度变化的曲线，表格是关于溶液浓度计算的相关信息．下列说法错误的是（ ） 信息框 ①溶质质量溶剂质量溶液质量； ②溶液浓度溶质质量溶液质量； ③在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液；还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． A. 时，甲种固体物质的溶解度为 B. 甲种固体物质的溶解度随温度的升高而增大 C. 时，甲种固体物质的溶液中与乙种固体物质的溶液中所含溶质的质量相等 D. 将乙种固体物质的饱和溶液从升温至，需要加入乙种固体物质才能使溶液再次达到饱和 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：（a+1）2﹣a2=_____． 12. 分式方程的解为________________． 13. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是__________． 14. 如图，在矩形中，，．将矩形绕点C旋转，得到矩形，点A的运动路径为，当点落在边上时，图中阴影部分的周长是______． 15. 如图，在等边三角形中，，为BC边上的高，以为边在右侧作，使，当点E恰好落在的中位线所在的直线上时，的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）解方程组： 17. 为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息： A款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间是： B款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是： 两款智能玩具飞机运行最长时间统计表，B款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图 类别 A B 平均数 中位数 b 众数 a 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机架、B款智能玩具飞机架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？ 18. 小明到打印店复印资料，已知打印店有如下两种收费方案： 方案一：直接按照复印的张数计费； 方案二：购买会员卡后，每张实行打折优惠． 设小明需复印x（张），按照方案一、二所需费用分别为（元），（元），关于x的函数图象如图所示． 根据提供的信息解答下列问题： （1）分别求出关于x的函数表达式； （2）小明复印多少张时，选择方案二较为划算？ 19. 渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥处出发，沿着坡角为的山坡向上走了到达处的三龙潭瀑布，再沿坡角为的山坡向上走了到达处的二龙潭瀑布．求小卓从处的九孔桥到处的二龙潭瀑布上升的高度为多少米？（结果精确到） （参考数据：） 20. 如图，是矩形的对角线． （1）作线段的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； （2）设的垂直平分线交于点，交于点，连接． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，求四边形的周长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对称中心是原点O，点A，D的坐标分别为，，动点P在边上，过点P的反比例函数的图象交边于点Q，连接． （1）求点B的坐标； （2）当点P是边的中点时，求对应的反比例函数的表达式； （3）直接写出图中阴影部分的面积之和． 22. 如图，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点A，C（点A在点C的右边），． （1）求抛物线的表达式； （2）P为抛物线上任意一点，将点P向上平移2个单位长度得到点，若点关于原点O的对称点恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标． （3）将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线L，若点均在抛物线L上，且，直接写出n的取值范围． 23. 1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． （2）如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值； （3）如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级下学期联考试卷数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，正整数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数的分类即可求解． 【详解】解：是正整数，是小数，不是整数，不是正数，不是正数， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 2. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答． 【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆， 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法与幂的乘方、完全平方公式、整式的乘法对每个式子一一判断即可． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4. 下列调查活动适合采用全面调查的是（ ） A. 调查某班学生的身高 B. 调查某品牌手机电池的使用寿命 C. 调查某市居民的环保意识 D. 调查全国中学生心理健康状况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A、调查某班学生的身高适合全面调查；符合题意； B、调查某品牌手机电池的使用寿命适合抽样调查；不符合题意； C、调查某市居民的环保意识适合抽样调查；不符合题意； D、调查全国中学生心理健康状况适合抽样调查；不符合题意； 故选A． 5. 如图，直线，相交于点O，于点O．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角的和差运算，解题的关键是熟练运用对顶角的性质以及垂直的定义，根据垂直的定义得到，从而求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……文中的鸟巢共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数乘方的应用，通过连乘计算总鸟巢数即可． 【详解】解：∵堤坝有9座，每座堤坝有9棵树，每棵树有9根树枝，每根树枝有9个鸟巢， ∴ 总鸟巢数个 因此，文中的鸟巢共有个， 故选：C． 7. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. －2 B. 2 C. －4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程根的情况可得，再代入式子即可求解． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ∴ ∴， 故选：A. 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 8. 如图，是的切线，为切点，连接．若，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线的性质及正切的定义得到，再根据勾股定理得到． 【详解】解：连接， ∵是的切线，为切点， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴在，， 故选． 【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键． 9. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵， ∴ ∴，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10. 固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量．物质的溶解度会随温度的变化而变化．如图是甲、乙两种固体物质的溶解度随温度变化的曲线，表格是关于溶液浓度计算的相关信息．下列说法错误的是（ ） 信息框 ①溶质质量溶剂质量溶液质量； ②溶液浓度溶质质量溶液质量； ③在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液；还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． A. 时，甲种固体物质的溶解度为 B. 甲种固体物质的溶解度随温度的升高而增大 C. 时，甲种固体物质的溶液中与乙种固体物质的溶液中所含溶质的质量相等 D. 将乙种固体物质的饱和溶液从升温至，需要加入乙种固体物质才能使溶液再次达到饱和 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据函数图象获取信息，解题的关键是理解题意，数形结合．根据图象结合题目中给出的信息逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由图象，时，甲种固体物质的溶解度为，故选项A不符合题意； B．甲种固体物质的溶解度随温度的升高而增大，故选项B不符合题意； C．时，甲，乙的溶解度相同， ∴甲种固体物质的饱和溶液中与乙种固体物质的饱和溶液中所含溶质的质量相等，故C符合题意； D． 时，乙种固体物质的饱和溶液中，溶质的质量为，溶剂的质量为，升温至，乙种固体物质的溶解度为，故需要加入乙种固体物质才能使溶液再次达到饱和，故选项D不符合题意． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：（a+1）2﹣a2=_____． 【答案】2a+1 【解析】 【详解】【分析】原式利用完全平方公式展开，然后合并同类项即可得到结果． 【详解】（a+1）2﹣a2 =a2+2a+1﹣a2 =2a+1， 故答案为2a+1. 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及合并同类项的法则是解题的关键. 12. 分式方程的解为________________． 【答案】 【解析】 【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程验根即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 13. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】用树状图把所有情况列出来，即可求出． 【详解】 总共有12种组合， 《论语》和《大学》的概率， 故答案为：． 【点睛】此题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式． 14. 如图，在矩形中，，．将矩形绕点C旋转，得到矩形，点A的运动路径为，当点落在边上时，图中阴影部分的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，过点作于E，如图所示：则四边形为矩形，再求解，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：连接，，如图所示： ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， 过点作于E，则四边形为矩形， ∴，， 由旋转性质，得：，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的长为, ∴图中阴影部分的周长是； 故答案为：. 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，弧长的计算，三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 15. 如图，在等边三角形中，，为BC边上的高，以为边在右侧作，使，当点E恰好落在的中位线所在的直线上时，的长为______． 【答案】3或##或3 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质和勾股定理求出，分两种情况：①当点E在边、的中点D、G所在的直线上时，②当点E在边、的中点F、G所在的直线上时，分别求解即可． 【详解】解：∵等边三角形， ∴ ，， ∵为边上的高，即， ∴，， 由勾股定理，得， 分两种情况：①当点E在边、的中点D、G所在的直线上时，如图， ∴， ∴， ∴， 过点A作于F， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∵，， ∴； ②当点E在边、的中点F、G所在的直线上时，如图， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴； 综上，当点E恰好落在的中位线所在的直线上时，的长为3或． 故答案为：3或． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质和三角形的中位线的性质是解题的关键，注意分类讨论思想的运用，以免漏解． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，二元一次方程组的求解，准确计算是解题关键． （1）根据绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂的运算法则计算各项再算加减法即可； （2）直接利用加减消元法计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）， ，得，解得， 把代入①，得， 则该方程组的解为． 17. 为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息： A款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间是： B款智能玩具飞机架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是： 两款智能玩具飞机运行最长时间统计表，B款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图 类别 A B 平均数 中位数 b 众数 a 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机架、B款智能玩具飞机架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？ 【答案】（1），，； （2）B款智能玩具飞机运行性能更好；因为B款智能玩具飞机运行时间的方差比A款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定； （3）两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有架． 【解析】 【分析】（1）由A款数据可得A款的众数，即可求出，由B款扇形数据可求得合格数及优秀数，从而求得中位数及优秀等次的百分比； （2）根据方差越小越稳定即可判断； （3）用样本数据估计总体，分别求出两款飞机中等及以上的架次相加即可． 【小问1详解】 解：由题意可知架A款智能玩具飞机充满电后运行最长时间中，只有出现了三次，且次数最多，则该组数据的众数为，即； 由B款智能玩具飞机运行时间的扇形图可知，合格的百分比为， 则B款智能玩具飞机运行时间合格的架次为：（架） 则B款智能玩具飞机运行时间优等的架次为：（架） 则B款智能玩具飞机的运行时间第五、第六个数据分别为：， 故B款智能玩具飞机运行时间的中位数为： B款智能玩具飞机运行时间优等的百分比为： 即 故答案为：，，； 【小问2详解】 B款智能玩具飞机运行性能更好；因为B款智能玩具飞机运行时间的方差比A款智能玩具飞机运行时间的方差小，运行时间比较稳定； 【小问3详解】 架A款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为： （架） 架B款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架次为： （架） 则两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有：架， 答：两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有架． 【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数、众数、百分比，用方差做决策，用样本估计总体；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解． 18. 小明到打印店复印资料，已知打印店有如下两种收费方案： 方案一：直接按照复印的张数计费； 方案二：购买会员卡后，每张实行打折优惠． 设小明需复印x（张），按照方案一、二所需费用分别为（元），（元），关于x的函数图象如图所示． 根据提供的信息解答下列问题： （1）分别求出关于x的函数表达式； （2）小明复印多少张时，选择方案二较为划算？ 【答案】（1），； （2）复印大于张时，选择方案二较为划算． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法求解即可； （2）当时，即，解得，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设， 将代入，得， 解得：， ； 设， 将和分别代入， 得， 解得， ； 【小问2详解】 解：当时，即， 解得：， ∴复印大于张时，选择方案二较为划算． 19. 渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥处出发，沿着坡角为的山坡向上走了到达处的三龙潭瀑布，再沿坡角为的山坡向上走了到达处的二龙潭瀑布．求小卓从处的九孔桥到处的二龙潭瀑布上升的高度为多少米？（结果精确到） （参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为，在中，根据求出，过点作，垂足为，在中，根据求出，进而求解即可． 【详解】过点作，垂足为． 在中，， ∴． 过点作，垂足为． 在中，， ∴． ∵， ∴． 答：从处的九孔桥到处的二龙潭瀑布上升的高度约为． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题，熟练利用锐角三角函数关系是解题关键． 20. 如图，是矩形的对角线． （1）作线段的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； （2）设的垂直平分线交于点，交于点，连接． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，求四边形的周长． 【答案】（1） 所作线段的垂直平分线如图所示： （2） ①四边形是菱形， 理由如下：如图， 由作图可知：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴四边形是菱形； ②四边形的周长为 【解析】 【分析】（1）分别以点B、D为圆心，大于为半径画弧，分别交于点M、N，连接，则问题可求解； （2）①由题意易得，易得，然后可得四边形是平行四边形，进而问题可求证； ②设，则，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵四边形是矩形，， ∴， 由①可设，则， ∵， ∴，即， 解得：， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理及线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对称中心是原点O，点A，D的坐标分别为，，动点P在边上，过点P的反比例函数的图象交边于点Q，连接． （1）求点B的坐标； （2）当点P是边的中点时，求对应的反比例函数的表达式； （3）直接写出图中阴影部分的面积之和． 【答案】（1）点的坐标 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质、待定系数法求反比例函数解析式，求得平行四边形的顶点的坐标是解此题的关键． （1）根据中心对称的性质即可得出点的坐标； （2）先求出点，再利用待定系数法求解即可； （3）由图形可得阴影部分的面积为平行四边形的面积的一半，求出平行四边形的面积即可． 【小问1详解】 解：的对称中心是原点，点的坐标为， 点的坐标； 【小问2详解】 解：∵，点P是边的中点， ∴， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴，与之间的距离为6， ∴由图结合中心对称图形的性质可得：． 22. 如图，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点A，C（点A在点C的右边），． （1）求抛物线的表达式； （2）P为抛物线上任意一点，将点P向上平移2个单位长度得到点，若点关于原点O的对称点恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标． （3）将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线L，若点均在抛物线L上，且，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平移的性质，平面内直角坐标系内点的坐标特点是解题的关键． （1）求出C点坐标，代入求出a的值，即可求解； （2）设，根据题意分别求出，关于原点对称的点的坐标为，再由，求出t的值即可确定P点坐标； （3）平移后的抛物线解析式为，则抛物线的对称轴为直线，根据题意得到，即可求得． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， ∵， ∴， 将C点代入中，， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设， ∵将点P向上平移2个单位长度得到点， ， ∵关于原点对称的点的坐标为 ， 解得：， ∴或； 【小问3详解】 解：平移后的抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ， ∴， 解得：， ∵， ∴． 23. 1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． （2）如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值； （3）如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 【答案】（1）①等边；②两点之间线段最短；③；④A． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论； （2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，在根据可证明，由勾股定理求即可， （3）由总的铺设成本，通过将绕，点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴为等边三角形； ∴，， 又，故， 由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值， 最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴，， ∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． 又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点． ∴该三角形的“费马点”为点A， 故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④． 【小问2详解】 将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ∵， ∴， 又∵ ∴， 由旋转性质可知：， ∴， ∴最小值为， 【小问3详解】 ∵总的铺设成本 ∴当最小时，总的铺设成本最低， 将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知：，，，， ∴， ∴， 当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为， 过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小值为 总的铺设成本（元） 故答案为： 【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $