【专项练】实数的整数部分和小数部分-沪科版七年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 实数的整数部分和小数部分 1．若 13的整数部分是 a ， 7 的小数部分是b ，则a b 的值为 ． 2．已知2 1a  的算术平方根是 3，3 1a b  的平方根是 4 ，c 是 13的整数部分，求3 2a b c  的 平方根． 3．已知2 1a  的算术平方根是3， 1b 的平方根是 4 ， c是 13的整数部分，求 2a b c  的平方 根． 4．我们把不超过有理数 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记作 [ ]x ，又把 [ ]x x 称为 x 的小数部 分，记作{ }x ，则有 [ ] { }x x x  ．如：[1.3] 1 ，{1.3} 0.3 ，则有1.3 [1.3] {1.3}  ．下列说法中正确 的有（ ）个 ① [2.8] 2 ；②[ 5.3] 5   ；③{ 1.3} 0.3  ；④若1 | | 2x  ，且{ } 0.4x  ，则 1.4x  或 1.4x   A．1 B．2 C．3 D．4 5．在 3, 5, 7, 6 1,5 6, 3 1, 2 3, 50 4     中，介于 2和 3之间的数有 ，介于 3和 4 之间的数有 ． 6．以下是小明与老师之间的对话： 小明：张老师，我们知道 6 是无理数，无理数就是无限不循环小数，那该如何表示出它的小 数部分呢？ 老师：小明，因为 6 的整数部分是 2，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，即 6 2 ． 根据上述对话内容，解答下面的问题： 已知7 11 x y   ，其中 x 是整数，且0 1y  ． (1) x  ________； y ________； (2)求3 11x y  的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 7．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道 2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此， 2的小数部分我们不可能全部的 写出来，于是小明用 2 1 来表示 2的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 2的整数部分是 1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 请解答： (1) 57的整数部分是_________，小数部分是_________； (2)如果 11的小数部分为 a ， 8的整数部分为b ，求 11a b  的值． 8．已知 2 1a  ＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c 是 113的整数部分，求 a+b+2c 的平方根． 9．【阅读理解】 4 5 9  ，即 2 5 3  ， 1 5 1 2 5 1     ， 的整数部分是 1，小数部分 是 5 2 ． 【解决问题】已知 a 是 17 3 的整数部分，b 是 17 3 的小数部分，求： (1)a b， 的值； (2) 3 2( ) ( 4)a b- + + 的平方根． 10．规定[ ]a 取 a 的整数部分，例如： [3.9] 3 ，[5.2] 5 ， [8] 8 ，则 [ 1] [ 2] [ 3] [ 4] [ 48] [ 49]      的值等于（ ） A．4 B． 4 C．5 D． 5 11．我们把不超过有理数 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记作 x ，又把  x x 称为 x 的小数部 分，记作 x ，则有    x x x  ．如： 1.3 1 ， 1.3 0.3 ，    1.3 1.3 1.3  ，下列说法中正确的有 （ ）个． ① 2.7 2 ；② 3.4 4   ； ③若 x 是大于 2 且小于 1 的有理数，且  0.3x  ，则 1.7x   ； ④方程    3 1 3x x x   的解为 0.25x  ． A．4 B．3 C．2 D．1 12．规定：对任意的非负实数 n，用 n 表示不大于 n 的最大整数，称为 n 的整数部分，用 n 表 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 示  n n 的值，称为 n 的小数部分.例如： 1.3 1 ， 1.3 0.3 ， 5.4 5 ， 5.4 0.4 ；请回答下列 问题： (1)当 0x  时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号） ① 3 0 ；②  0 1x  ；③   1 1x x   ；④   1 1x x   ；⑤若 x a （a 为整数），则 1a x a   (2)当 0x  时，解关于 x 的方程    3 6 2 2x x x    13．阅读下面材料，并完成问题： 我们把不超过数 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记作 x ，把  x x 称为 x 的小数部分，记作 x ， 则    x x x  ．如： 1.3 1 ， 1.3 0.3 ，    1.3 1.3 1.3  ； (1) 1.6  _________，  1.6  _________； (2)若    2x x ， x 的值为_____________； (3)    3 1 2x x x   ，求 x 的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 实数的整数部分和小数部分 1．5 7 / 7 5  【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用夹值法估算出 7 的范围是解此题的关键． 根据题意求出 13、 7 的范围，得到 a 、b 的值，再代入a b 计算即可． 【详解】解： 9 13 16  ， 3 13 4   ， 3a  ， 4 7 9  ， 3 7 3   ， 7 2b   ， 3 ( 7 2) 5 7a b       ， 故答案为：5 7 ． 2． 4 【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于 a 、b 的方程组求得 a 、b 的值，然后估算 出 13的大小，可求得 c的值，接下来，求得 2a b c  的值，最后求它的平方根即可． 【详解】解：由题意得： 2 1 9 3 1 16 a a b       ， 5a  ， 2b  ． 9 13 16  ， 3 13 4   ． 3c  ． 3 2 16a b c    ． 2a b c   的平方根是 4 ． 【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算算术平方根的整数部分，熟练掌 握相关定义和方法是解题的关键． 3． 6 【分析】根据平方根与算术平方根的定义分别求出a b c、 、 的值；进而得出 2a b c  的值，求出 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 它的平方根即可； 【详解】解：∵2 1a  的算术平方根是3； 1b 的平方根是 4 ， ∴2 1 9a   ，b 1 16， ∴ 5a  ， 17b  ． ∵ c是 13的整数部分，3 13 4  ， ∴ 3c  ． ∴ a b c      2 5 17 2 3 36． ∵36的平方根是 6 ． ∴ 2a b c  的平方根为 6 ． 【点睛】本题考查了考查了平方根与算术平方根；熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题 的关键． 4．A 【分析】本题主要考查新定义、无理数的整数部分、有理数的运算等知识点，理解新定义成为 解题的关键． 根据新定义、无理数的整数部分可判断①、②和③；根据1 | | 2x  ，且{ } 0.4x  ，求出 1.4x  或 1.4x   即可判断④． 【详解】解：由题可知： [2.8] 2 ， 6[ 5.3]   ，     1.3 1.3 1.3 1.3 2 0.7          故①正确；②③错误； 由1 | | 2x  ，则1 2x  或 2< < 1x  ， 当 1.4x  时， [1.4] 1 ， 1.4 1.4 [1.4] 0.4   ； 当 1.4x   时， [ 1.4] 2   ，   1.4 1.4 1.4 1.4 2 0.6 0.4           ； 所以④错误． 所以正确的只有①，即 1个． 故选 A． 5． 5, 7,5 6, 3 1  6 1, 50 4  【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出每个实数的范围． 求出每个实数的范围，再判断即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【详解】解：1 2 2,1 3 2,2 5 3,2 7 3        ， 2 6 3  ， 3 6 2     ，7 50 8  ， 则3 6 1 4,2 5 6 3,2 3 1 3,4 2 3 5            ， 3 50 4 4   ， 故介于 2和 3之间的数有 5, 7,5 6, 3 1  ，介于 3和 4之间的数有 6 1, 50 4  ． 故答案为： 5, 7,5 6, 3 1  ； 6 1, 50 4  ． 6．(1)10； 11 3 (2)33 【分析】此题主要考查了二次根式的计算，估算无理数的大小，正确得出各无理数的整数部分 和小数部分是解题的关键． （1）根据3 11 4  得出10 7 11 11   ，得出 10x  ，再求得 y，即可得答案； （2）把 x ， y的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵3 11 4  ， ∴10 7 11 11   ， ∴7 11 的整数为 10x  ， ∵7 11 x y   ， ∴ 7 11 10 11 3y      ， 故答案为：10； 11 3 ； （2）解：原式  3 10 11 11 3     ， 30 3  ， 33 ． 7．(1)7， 57 7 (2)5 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的混合运算，找到无理数的整数部分是解题的关键． （1）因为7 57 8  ，从而知道 57的整数部分为7，用 57 减去7得到其小数部分； （2）先求得 11的小数部分， 8的整数部分，再代入求值即可． 【详解】（1）解： 7 57 8  ， 57 的整数部分是7，小数部分是 57 7 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 故答案为：7， 57 7 ； （2）解：∵3 11 4  ，则 11 3a   ， ∵2 8 3  ，则 2b  ， ∴  11 2 11 3 11 5a b       ． 8．±5 【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出 a、b、c 的值，即可求出 a+b+2c 的值，根据平方根的意义即可求解． 【详解】解：∵ 2 1a  ＝3， ∴2a﹣1＝9， 解得：a＝5， ∵3a﹣b+1的平方根是±4， ∴15﹣b+1＝16， 解得：b＝0， ∵ 100 113 121  ， ∴10＜ 113＜11， ∴c＝10， ∴a+b+2c＝5+0+2×10＝25， ∴a+b+2c 的平方根为 25 ＝±5． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的 意义是解题关键． 9．(1) 1a  ， 17 4b   (2) 4 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小． （1）首先得出 17 接近的整数，进而得出 a，b 的值； （2）根据平方根即可解答． 【详解】（1）解： 16 17 25  ， 即 4 17 5  ， 1 17 3 2    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∴ 17 3 的整数部分是 1a  ， 17 3 的小数部分是 17 3 1 17 4b      ， 1, 17 4a b    ； （2）解：由（1）可知， 1, 17 4a b   ， 3 2 3 2( ) ( 4) ( 1) ( 17 4 4) 1 17 16a b             ， 3 2( ) ( 4)a b    的平方根是 16 4   ． 10．A 【分析】本题考查了无理数的估算，有理数的加减混合运算，正确理解题意是解题的关键．根 据[ ]a 的定义，分别求出[ 1] [ ]49 的值，再代入计算即可． 【详解】 [ 1]=1 ， [ 4]=2， [ 9]=3， [ 16]=4， [ 25]=5， [ 36]=6，[ 49]=7， [ 1] 至[ 3]的值均为 1，[ 4]至[ 8]的值均为 2，[ 9]至[ 15]的值均为 3，[ 16]至[ 24]的值均 为 4，[ 25]至[ 35]的值均为 5，[ 36]至[ 48]的值均为 6， [ 1] [ 2] [ 3] [ 4] [ 48] [ 49]       ([ 1] [ 3] [ ] [ 49]) ([ 2] [ ] [ ] [ 48])5 4 6          =(1 2 2 2 3 4 4 4 5 6 6 6 7) (1 2 3 3 3 4 5 5 5 6 7)                       107 103  4 ． 故选：A． 11．B 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，绝对值和有理数的加减计算，根据新定义 即可判断①②；若 2< < 1x  ，且  0.3x  ，则 1.7x   ，  2x   ，据此可判断③；根据  [ ]x x x  可得原方程为    3[ ] 1 3[ ] 3x x x x    ，解得  0.25x  ，但不能得到 0.25x  ，据此可判断④． 【详解】解：① 2.7 2 ，原说法正确； ② 3.4 4   ，原说法正确； ③若 2< < 1x  ，且  0.3x  ，则 1.7x   ，  2x   ，     1.7 2 0.3x x x       ，原说法正确； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ④∵  3[ ] 1 3x x x   ， ∴    3[ ] 1 3[ ] 3x x x x    ， ∴  0.25x  ，而 0.25x  并不一定成立，原说法错误； ∴说法正确的有 3个， 故选：B． 12．(1)①②④⑤ (2) 10x  或 9.5x  【分析】本题考查的是估算无理数的大小和实数的运算，熟练掌握无理数估算的方法是解题的 关键． （1）根据题目中的规定进行逐一判断即可得出答案； （2）先根据题目中的规定对原方程进行整理得   10x x  ，再进行分类讨论，求解即可． 【详解】（1）解：  3 3 3 0   ，故①正确；    x x x  ，由于  1x x x   ，  0 1x   ，故②正确； { 1}x  表示 1x  的小数部分，    1x x   ，故③错误； [ ]x 表示 x 的整数部分， [ 1] [ ] 1x x    ，故④正确； [ ] (x a a 为整数）， 1a x a    ，故⑤正确， 故五个命题中为真命题的是①②④⑤， 故答案为：①②④⑤； （2）解： 0x  ，               2 2 2 2 2 4 2 4x x x x x x x x            ，  3 6 2 4x x x     ，   10x x   ，  x 是 x 的小数部分， 当  0x  时， 10x  ； 当  0x  时，  9x  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7        2 9 2 10x x x x x       ， 可得  0.5x  ， 9 0.5 9.5x    ， 综上可得 10x  或 9.5x  ． 13．(1)0.6， 2 (2)0或 3 2 (3) 13 【分析】（1）按新定义计算即可求解； （2）由    x x x  得，   x x x  ，并将此代入    2x x 可得    2x x x  ，从而可得  3 2 x x ， 再由  0 1x  ，求出  0 2 2x  ，分类讨论．①当  0x  时，②当  1x  时，即可求解； （3）将   x x x  代入得     3 1 2x x x x    ，整理得  5 2 1x x  ，由  0 1x  ，可得0 2 1 5x   ， 将   x x x  代入     3 1 2x x x x    整理得  5 3 1x x  ，只有当  0x  时，  5 3 1x x  才成立，即可求解． 【详解】（1）解： 1.6  1.6 1.6  1.6 1  0.6 ，  1.6 2   ， 故答案为：0.6， 2 ； （2）解：因为    x x x  ， 所以   x x x  ， 因为    2x x ， 所以    2x x x  ， 所以  3 2 x x ， 因为  0 1x  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 所以  0 2 2x  ． 因为 x 是整数部分， 所以： ①当  0x  时， 可求得  0x  ， 则 0x  ； ②当  1x  时， 3 2 x  ， 综上所述， x 的值为0或 3 2 ， 故答案为：0或 3 2 ； （3）解：因为    3 1 2x x x   ， 所以     3 1 2x x x x    ， 整理得：  5 2 1x x  ， 因为  0 1x  ， 所以  0 5 5x  ， 所以0 2 1 5x   ， 所以     3 1 2x x x x    整理得：  5 3 1x x  ， 所以0 2 1 5x   范围内， 只有当  0x  时，  5 3 1x x  才成立， 所以解得： 1 3 x  ； 故 x 的值为 1 3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 【点睛】本题考查新定义计算，一元一次方程，理解新定义，能将所求问题转化为一元一次方 程及求出0 2 1 5x   是解题的关键．