精品解析：上海市高境第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

高境一中 2024 学年第二学期月考高二年级 数学学科测试卷 命题人:陈芬芬 审核人:盛晓君 一、填空题(本大题共有 12 题，满分 54 分第 16̃ 题每题 4 分，第 71̃2 题每题 5 分) 1. 直线的倾斜角大小为_____. 2. 以为直径端点的圆的方程是__________. 3. 与直线垂直，且在x轴上截距为的直线方程是______． 4. 设是等差数列，，则该数列的前8项的和的值为__________. 5. 若直线与直线的夹角为，则实数的值为_________. 6. 若圆与圆内切，则等于__________. 7. 已知圆，点，则经过点且与圆 相切直线方程为_____. 8. 点 到直线的距离的最大值是_____ 9. 已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形，则该圆锥体的体积是______ 10. 已知实数满足，则的取值范围为__________. 11. 若直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是________. 12. 已知A、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且，则的最小值是__________． 二、选择题(本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13—14 题每题 4 分，第 15—16题每题 5 分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的) 13. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 已知直线与圆，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为（ ） A B. C. 1 D. 3 15. 点在圆上运动，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. “阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？” 其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）平方尺. A. B. C. D. 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域内 写出必要的步骤.) 17. 已知直线：；：. （1）若，求实数的值； （2）若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 18. 已知的三个顶点坐标为 、 、 （1）求边 上的高所在的直线方程； （2）若圆 是 的外接圆，且经过点的直线 被圆 所截得的弦长为 ，求直线的方程. 19. 等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列 （1）求{}的公比q； （2）求－＝3，求 20. 如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径. （1）求证：； （2）若，，圆柱体积为，求异面直线与所成角的大小. 21. 已知直线：与圆：． （1）求证：直线过定点，并求出此定点坐标； （2）若直线与圆相切，求直线的方程； （3）设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高境一中 2024 学年第二学期月考高二年级 数学学科测试卷 命题人:陈芬芬 审核人:盛晓君 一、填空题(本大题共有 12 题，满分 54 分第 16̃ 题每题 4 分，第 71̃2 题每题 5 分) 1. 直线的倾斜角大小为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先化成斜截式，再根据斜率求倾斜角. 【详解】 因此斜率为，倾斜角为， 故答案：. 2. 以为直径端点的圆的方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用直径端点求出圆心和半径，再用标准方程求解即可. 【详解】是直径端点， 由两点间距离公式得直径长为，故半径为， 且设圆心为，由中点坐标公式得圆心， 故圆的方程为. 故答案为： 3. 与直线垂直，且在x轴上的截距为的直线方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用垂直关系求出所求方程的直线斜率，再利用直线的点斜式求出方程. 【详解】与直线垂直的直线斜率，显然该直线过点， 所以该直线方程是，即. 故答案： 4. 设是等差数列，，则该数列的前8项的和的值为__________. 【答案】36 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的公差，进而求出其前8项的和. 【详解】在等差数列中，，则公差， 所以. 故答案为：36 5. 若直线与直线的夹角为，则实数的值为_________. 【答案】或 【解析】 【分析】结合倾斜角与斜率、两角和与差的正切公式求得正确答案. 【详解】设直线的倾斜角为、直线的倾斜角为， 由于的斜率为，即， 所以， 由于直线与直线的夹角为， 所以直线倾斜角不是，斜率存在，且斜率为. 所以，解得， 或，解得. 所以实数的值为或. 故答案为：或 6. 若圆与圆内切，则等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两个圆内切时，圆心距和两个圆的半径之间的关系求解. 【详解】圆，圆心为（0,0），半径为2； 圆，转化为标准形式： ，即圆心为（a，0），半径为1； 当两圆内切时，圆心距 ，解得 故填： 【点睛】本题考查了两个圆的位置关系，当两个圆内切时，圆心距等于两个圆的半径之差的绝对值. 7. 已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】将点坐标代入圆方程，验证点在圆上，由切线垂直于圆心和切点直线，求出直线斜率后写出直线方程. 【详解】，即，， ∵，即点在圆上， 设切线为，则，， ∴， ∴切线，即. 故答案为：. 8. 点 到直线的距离的最大值是_____ 【答案】3 【解析】 【分析】先根据点到直线距离公式求距离，再根据三角函数性质求最大值. 【详解】因为点 到直线的距离为， 又， ，， 因此当时，取最大值，且， 故答案为：3. 9. 已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形，则该圆锥体的体积是______ 【答案】 【解析】 【分析】先求圆锥的底面圆的周长，就是展开图的扇形的弧长，求出圆锥的母线长，再求其高，可求体积． 【详解】由题意扇形的弧长为：6π，圆锥的底面周长为：6π，所以圆锥母线长为9， 又底面半径为：3，圆锥的高为， 所求体积Vπ×（3）2×618． 故答案为18． 【点睛】本题考查圆锥的体积，考查学生空间想象能力，计算能力，是基础题． 10. 已知实数满足，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将转化为上的点和构成的直线的斜率，然后求斜率即可. 【详解】 可以看成上的点和构成的直线的斜率， 在中令得，令则， 设，， 则，， 所以的范围为. 故答案为：. 11. 若直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据曲线y的方程，画出图像；直线l过定点，进而通过直线与半圆的位置关系求得由两个公共点时k的取值范围． 【详解】 根据题意，画出曲线y的图象 设直线l2的方程为 则圆心到直线距离为r=1，所以 解方程得 由图像可知，有两个交点的斜率范围为两条直线之间 所以的取值范围是 即k∈ 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，注意圆的方程表示的图形只有上半个圆，属于中档题． 12. 已知A、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理可得，然后分与讨论，再由平面向量数量积的定义展开，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由正弦定理可得，所以， 所以，且，则或， 则或， 当时，， 所以 ，，则， 当时，即时，取得最小值； 当时，， 所以 ，，则， 则无最值； 综上所述，的最小值是 故答案为： 二、选择题(本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13—14 题每题 4 分，第 15—16题每题 5 分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的) 13. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】先根据两直线垂直的充要条件求出，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为， 所以，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 14. 已知直线与圆，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】结合圆心到直线的距离以及半径即可得解. 【详解】因为圆的圆心，半径， 所以圆心到直线的距离等于， 故圆上的点到直线的距离的最小值为． 故选：A. 15. 点在圆上运动，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，将目标转化为直线与圆存在交点的问题，利用即可. 【详解】设，则， 因点圆上运动，且在直线上， 则直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离，得或， 故的取值范围是. 故选：D 16. “阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？” 其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）平方尺. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将四棱锥的外接球转化为长方体的外接球，然后求外接球表面积即可. 【详解】 如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同，所以外接球的半径为，外接球的表面积. 故选：C. 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域内 写出必要的步骤.) 17. 已知直线：；：. （1）若，求实数的值； （2）若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线一般式中平行满足的系数关系，即可列式子求解， （2）分别求解轴上的截距，根据相等列方程求解即可. 【小问1详解】 当时，满足，解得， 【小问2详解】 由题意可知，故， 令，则， 令，则， 故，解得或 18. 已知的三个顶点坐标为 、 、 （1）求边 上的高所在的直线方程； （2）若圆 是 的外接圆，且经过点的直线 被圆 所截得的弦长为 ，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求两点的斜率，再利用垂直关系求出高线的斜率，最后由点斜式求出直线方程； （2）设利用待定系数法求出圆的一般方程，进一步化为标准方程，讨论当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为，由点到直线的距离公式结合垂径定理列式求得，即答案可求． 【小问1详解】 由可得，直线斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为：， 则边上的高所在直线方程为：，整理得； 【小问2详解】 设圆的方程为，代入三点坐标可得： 则，解得，，． 圆的方程为，化为标准方程：； 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 代入圆的方程得：， 此时直线被圆所截得的弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即． 由垂径定理可得，当弦长为时，可知圆心到直线的距离 再由圆心到直线的距离公式得：，解得． 直线方程为． 即直线的方程为或． 19. 等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列 （1）求{}的公比q； （2）求－＝3，求 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 【详解】（Ⅰ）依题意有 由于，故 又，从而5分 （Ⅱ）由已知可得 故 从而10分 20. 如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径. （1）求证：； （2）若，，圆柱的体积为，求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，即可求解； （2）延长交圆于点，连接、、，易知或其补角即为所求的角，即可求解. 【小问1详解】 证明：易知， 又由平面，平面，得， 而平面， 则平面，而平面，故. 【小问2详解】 延长交圆于点，连接、、， 易知或其补角即为所求的角， 由题知，解得， 中， 由余弦定理得， 所以，所以异面直线与所成角的大小为. 21 已知直线：与圆：． （1）求证：直线过定点，并求出此定点坐标； （2）若直线与圆相切，求直线的方程； （3）设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析，定点坐标为 （2）或 （3）为定值， 【解析】 【分析】（1）直接由直线系方程求解直线恒过定点的坐标； （2）设直线方程，利用几何法直接求出直线与圆相切时直线方程； （3）设直线方程，联立方程组，化为关于的一元二次方程，利用斜率公式及根与系数关系即可证明为定值. 【小问1详解】 由直线：， 得， 联立，解得， 所以直线恒过定点； 【小问2详解】 由圆：，得圆心，半径， 又由（1）得直线恒过定点， 当直线斜率不存在时，方程为，直线与圆相切成立， 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 圆心到直线的距离 由直线与圆相切可得，即， 解得，直线方程为，即， 综上所述：直线的方程为或； 【小问3详解】 由（2）可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，， 联立方程，即， ，即， ，， 又，， ， 所以为定值，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $