【专项练】勾股定理与折叠问题-北师大版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 勾股定理与折叠问题 1．如图，有一张直角三角形纸片， 90ACB  ， 5cmAB  ， 3cmAC  ，现将 ABC 折 叠，使边 AC 与 AB 重合，折痕为 AE ，则CE的长为（ ） A．1cm B．2cm C． 3 cm 2 D． 5 cm 2 2．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE 沿 DE 翻折，使点 A 与点 B 重 合，则 AE 的长为（ ） A． 7 8 B．3 C． 25 4 D． 25 8 3．如图，将长方形 ABCD沿着对角线 BD折叠，使点 C 落在点C处， BC交 AD 于 E．若 4AB  ， 8AD  ，则ΔBDE 的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 4．如图，在长方形 ABCD中， 3cm, 4cmAB BC  ．将长方形沿对角线 AC 折叠，点 D 落在 了 D¢位置， AD与 BC 相交于点 E．则 BE 的长等于（ ） A． 7 cm 8 B． 3 cm 4 C． 2 cm 3 D． 5 cm 6 5．如图，在Rt ABC△ 中， 90C  ， 6AC  ， 8BC  ，将它的锐角A翻折，使得点A落 在边 BC 的中点 D处，折痕交 AC 边于点 E ，交 AB 边于点 F ，则 DE 的长为（ ） A．3 B．4 C． 14 3 D． 13 3 6．如图，在Rt ABC△ 中， 90ABC  ， 4, 3AB BC  ．将△ABC 折叠，使点C 与边 AB 的中点 D重合，折痕为 EF ，则线段 BF 的长为（ ） A． 2 3 B． 5 6 C．2 D． 7 6 7．如图，三角形纸片 ABC 中， 90BAC  ， 2AB  ， 3AC  ，沿 AD和 EF 将纸片折叠， 使点 B 和点C 都落在边 BC 上的点 P 处，则 EC 的长是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 A． 13 6 B． 5 6 C． 7 6 D． 6 5 8．如图所示，在 ABC中， ，将 ABC折叠，使点 C 与点 A 重 合，折痕为 DE ，则 BE 的长为（ ） A． 25 8 B． 7 8 C． 25 6 D． 7 6 9．如图长方形 ABCD中， 3 9AB AD ， ，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF ，则△ BEF 的面积为（ ） A．6 B．7.5 C． 6.5 D．12 10．如图，将长方形纸片 ABCD折叠，使边 DC 落在对角线 AC 上，折痕为CE，且 D 点落 在对角线上 'D 处，若 6 8AB AD ， ，则 ED 的长为（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 A． 4 3 B．3 C．1 D． 3 2 11．如图，在Rt ABC△ 中， 90ACB  ， 6AC  ， 4BC  ，D 是边 AC 的中点，E 是边 BC 上一点，连接 BD DE、 ．将 CDE沿 DE 翻折，点 C 落在 BD上的点 F 处，则CE  ． 12．如图，已知 ABCV 为等腰直角三角形， 4AB AC  ，点 E 为 AC 上一点，且 1CE  ， 点 D 为边 AB 上一点，连接 DE ，将 ADEV 沿 DE 折叠得到 A DE ，若 EA的延长线恰好经 过点 B，则 AD  ． 13．如图，在 ABC中，点 D 是 BC 上边一点，连接 AD ，把 ABD 沿着 AD 翻折，得到 AED ．DE 与 AC 交于点 G，连接 BE交 AD 于点 F，若 DG GE ， 4AF  ， 2BF  ， ADG 的面积为 5．则点 F 到直线 BC 的距离为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 14．如图，在 ABC中， 90BAC  ，AB AC ，点 D 为线段 BC 延长线上一点，以 AD 为 腰作等腰直角 DAF△ ，使 90DAF  ，连接CF ． (1)请判断CF 与 BC 的位置关系，并说明理由； (2)若 8BC  ， 4CD BC ，求线段 AD的长； (3)如图 2，在（2）的条件下，将 DAF△ 沿线段 DF 翻折，使点 A 与点 E 重合，连接CE，求 线段CE的长． 15．在 ABC中，点 D是 BC 上一点，将 ABD△ 沿 AD 翻折后得到 AED△ ，边 AE 交线段 BC 于点 F ． (1)如图 1，当 90BAC  ， ∥DE AC 时． ① AE 和 BC 有怎样的位置关系，为什么？ ②若 8BF  ， 4EF  ，求线段 AB 的长． (2)如图 2，若 3C B   ，折叠后要使 DEF 和 AFC ，这两个三角形其中一个是直角三角 形而另一个是等腰三角形．求此时 B 的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 勾股定理与折叠问题 1．C 【难度】0.94 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】先根据勾股定理求出 BC的长度，再由折叠的性质可得 CE=DE，设CE x ，然后在 Rt BDE中利用勾股定理即可求出 x的值. 【详解】∵ 90ACB  ， 5cmAB  ， 3cmAC  ∴ 2 2 2 25 3 4BC AB AC     由折叠可知 CE=DE,AC=AD， 90ADE ACE    设CE x ，则 4 , 2,BE x BD AB AD     在Rt BDE中 ∵ 2 2 2DE BD BE  ∴ 2 2 22 (4 )x x   解得 3 2 x  故选 C 【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容及方程的思想是解题的关键. 2．D 【难度】0.94 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】先利用折叠的性质得到 AE BE ，设 AE x ，则 4CE AC AE x    ，BE x ， 在Rt BCE中，根据勾股定理可得到 2 2 23 4x x  （ ），求解即可． 【详解】解：∵ ADE沿 DE翻折，使点 A与点 B重合， ∴ ADE BDE ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 ∴ AE BE ， 设 AE x ，则 4CE AC AE x    ，BE x ， 在Rt BCE中， ∵ 2 2 2BE BC CE  ， ∴ 2 2 23 4x x  （ ）， 解得 25 8 x  ， ∴ 25 8 AE  ， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是 解题关键． 3．B 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正确利用勾股定理求得 AE的长是解决本题的关 键．证出BE DE ，设 AE x ，则 8BE DE x   ，在直角 ABE中利用勾股定理即可列 方程求得 x的值，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】∵四边形 ABCD是长方形，  AD BC∥ ， EDB CBD   ， 由折叠的性质得： C BD CBD  ， EDB C BD   ， BE DE  ， 设 AE x ，则 8BE DE x   ， 在Rt ABE△ 中， 2 2 2AB AE BE  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 即 2 2 24 (8 )x x   ， 解得： 3x  ， 则 3 8 3 5AE DE   ， ， 则 1 1 5 4 10 2 2BDE S DE AB       ． 故选 B． 4．A 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和 ASA（AAS）综合（ASA或者 AAS）、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．设 cmBE x ，则  4 cmEC x  ， 根据题意可证得 ABE CED≌ ，可得 cmBE ED x  ．在Rt CED△ 中，根据勾股定理可 得到关于 x的方程，求解即可得到答案． 【详解】解：设 cmBE x ，则  4 cmEC x  ． 根据图形折叠的性质得： ,CD CD D D     ． ∵四边形 ABCD为长方形， ∴ 3cm, 90AB CD B D      ． ∴ 3cm, 90AB CD B D       ． 在 ABE和 CED中 ∵ , ,B D AEB CED AB CD        ， ∴  AASABE CED≌ ． ∴ cmBE ED x  ． 在Rt CED△ 中， 2 2 2EC ED CD   即  2 2 24 3x x   ． 解得： 7 8 x  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ∴ 7 cm 8 BE  ． 故选：A． 5．D 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出 1 4 2 CD BC  ，由折叠的性质可得 AE DE ，则 6CE x  ，再勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点D为 BC的中点， 1 4 2 CD BC   ， 由折叠的性质可得： AE DE ， 设 AE DE x  ，则 6CE AC CE x    ， 由勾股定理可得： 2 2 2CE CD DE  ，  2 2 26 4x x    ， 解得： 13 3 x  ， 13 3 DE  ， 故选：D． 6．B 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，根据题意得出 1 2 2 DB AB  ，设BF x ，则 3CF DF CB FB x     ，在Rt FDB△ 中， 2 2 2FD FB BD  ，根据勾股定理建立方程， 解方程，即可求解． 【详解】解：∵D是 AB的中点， 4AB  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∴ 1 2 2 DB AB  ， 设BF x ， ∵将 ABC折叠，使点C与边 AB的中点D重合，折痕为EF， ∴ 3CF DF CB FB x     ， ∵ 90ABC  ， 在Rt FDB△ 中， 2 2 2FD FB BD  ，即  2 2 23 2x x   解得： 5 6 x  即线段 BF的长为 5 6 故选：B． 7．B 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得 2AP AB  ， B APB  ，CE PE C CPE   ， ，可得 90APE  ， 继而设 AE x ，则 3CE DE x   ，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿 AD纸片折叠，使点 B落在边 BC上的点 P处， ∴ 2AP AB  ， B APB  ， ∵折叠纸片，使点 C与点 P重合， ∴CE PE C CPE   ， ， ∵ 90BAC  ， ∴ 90B C   ， ∴ 90APB CPE   ， ∴ 90APE  ， ∴ 2 2 2AP PE AE  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 设 AE x ，则 3CE PE x   ， 在Rt APE中， 由勾股定理得 2 2 2AP PE AE  ∴  22 22 3 x x   ， 解得 13 6 x  ，即 13 6 AE  ， ∴ 13 53 6 6 CE    ， 故选：B． 8．B 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质，根据勾股定理求出 4BC  ，由折叠的性质 可得 AE CE ，设BE x ，则 4AE CE x   ，利用勾股定理可得方程  22 23 4x x   ， 解方程即可得到答案． 【详解】解：在Rt ABC△ 中， ∴ 2 2BC AC AB 4   ， 由折叠的性质可得 AE CE ， 设BE x ，则 4AE CE x   ， 在Rt ABE△ 中，由勾股定理得 2 2 2AB BE AE  ， ∴  22 23 4x x   ， 解得 7 8 x  ， ∴ 7 8 BE  ， 故选：B． 9．B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与折叠问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，通 过平行线的性质和折叠的性质证明 BEF BFE   ，得到BE BF ，设BE DE BF x   ， 9AE AD DE x    ，利用勾股定理建立方程  22 23 9x x   ，解方程求出 5BF  ，则 1 2BEF S BF AB △ ． 【详解】解：由折叠的性质可得DE BE BEF DEF ，∠ ∠ ， AD BC∥ ， ∴ DEF BFE   ， ∴ BEF BFE   ， ∴BE BF ， 设BE DE BF x   ， 9AE AD DE x    ， 在Rt ABE△ 中，由勾股定理得 2 2 2BE AB AE  ， ∴  22 23 9x x   ， 解得 5x  ， ∴ 5BE DE BF   ， ∴ 1 1 3 5 7.5 2 2BEF S BF AB     △ ， 故选 B． 10．B 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理，熟练掌握运用勾股定理解决长方形的折叠是解题的 关键．首先利用勾股定理计算出 AC的长，再根据折叠可得 DEC D EC≌ ，设ED x ，则 4 8D E x AD AC CD AE x        ， ， ，再根据勾股定理可得方程  22 24 8x x   ，再 解方程即可． 【详解】∵ 6 8AB AD ， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∴ 6DC  ， ∴根据勾股定理得 2 26 8 10AC    ， 根据折叠可得： DEC D EC≌ ， ∴ 6DC DC DE D E    ， ， 设ED x ，则 4 8D E x AD AC CD AE x        ， ， ， 在Rt AED中：    2 2 2' 'AD ED AE  ，即  22 24 8x x   ， 解得： 3x  ， 故答案为：B． 11． 3 2 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出BD的长，折叠得到CD DF ， , 90CE EF EFD   ，设CE x ，在Rt BFE△ 中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵ 90ACB  ， 6AC  ， 4BC  ，D是边 AC的中点， ∴ 1 3 2 CD AC  ， ∴ 2 2 5BD BC CD   ， ∵将 CDE沿DE翻折，点 C落在BD上的点 F处， ∴ 3CD DF  ， , 90CE EF EFD   ， ∴ 2, 90BF BD DF BFE     ， 设CE x ，则： , 4EF x BE BC CE x     ， 在Rt BFE△ 中，由勾股定理，得：  2 2 24 2x x   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 解得： 3 2 x  ； ∴ 3 2 CE  ； 故答案为： 3 2 ． 12． 3 2 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，折叠的性质以及勾股定理，设 AD x ，由 折叠得，A D AD x   ， 3A E AE   ，由勾股定理求出 ,BE 在Rt A DB△ 中，由勾股定理， 求出 x的值即可． 【详解】解：如图， ∵ 1CE  ， ∴ 3AE AC CE   ， 在Rt ABE△ 中， 90A  ， ∴ 2 2 2BE AB AE  ， ∴ 2 2 2 24 3 5BE AB AE     ， 设 AD x ， 由折叠得， A D AD x   ， 3A E AE   ， ∴ 2BA BE A E    ， 4BD AB AD x    ， 在Rt A DB△ 中，由勾股定理得 2 2 2BD BA DA   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∴  22 22 4x x   ， 解得， 3 2 x  ， ∴ 3 2 AD  ， 故答案为： 3 2 ． 13． 3 10 5 【难度】0.65 【知识点】折叠问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查翻折变换的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用 所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 先求出 ABD△ 的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F 到BD的距离为 h，根据 1 1 2 2 BD h BF DF     ，求出BD即可解决问题． 【详解】解： DG GE ， 5ADG AEGS S  △ △ ， 10ADES  ， 由翻折可知， ADB ADE≌ ，BE AD ， 10ABD ADES S  △ △ ， 90BFD  ，  1 ( ) 10 2 AF DF BF    ，  1 (4 ) 2 10 2 DF    ， 6DF  ， 2 2 2 22 6 2 10DB BF DF      ， 设点F 到BD的距离为 h，则有 1 1 2 2 BD h BF DF     ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 3 10 5 h  ， 故答案为： 3 10 5 ． 14．(1)CF BC ，理由见解析 (2)2 13 (3) 6 2 【难度】0.4 【知识点】等腰三角形的定义、勾股定理与折叠问题、用勾股定理解三角形、全等的性质和 SAS综合（SAS） 【分析】（1）证明  SASABD ACF△ ≌△ ，则 ADB AFC  ，如图 1，记 AD CF、 的 交点为O，根据 180FAO AFO AOF DCO CDO COD         ， AOF COD  ，可得 90FAO DCO   ，进而可得CF BC ； （2）如图 2，过A作 AH BC 于H ，则 1 4 2 BH CH AH BC    ， 6DH  ，由勾股定 理得， 2 2AD AH DH  ，计算求解即可； （3）由翻折的性质可知，DE AD ， 45EDF ADF   ， 90ADE  ，如图 3，过A 作 AM BC 于M ，过E作 EN BC 于 N ，证明  AASADM DEN≌ ，则 4 6DN AM EN DM   ， ， 6CN  ，由勾股定理得， 2 2CE CN EN  ，计算求解 即可． 【详解】（1）解：CF BC ，理由如下： ∵等腰直角 DAF△ ， 90DAF  ， ∴ AD AF ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 又∵ 90BAC  ， ∴ BAC CAD DAF CAD     ，即 BAD CAF  ， ∵ AB AC ， BAD CAF  ， AD AF ， ∴  SASABD ACF△ ≌△ ， ∴ ADB AFC  ， 如图 1，记 AD CF、 的交点为O， ∵ 180FAO AFO AOF DCO CDO COD         ， AOF COD  ， ∴ 90FAO DCO   ， ∴CF BC ； （2）解：∵ 8BC  ，4CD BC ， ∴ 2CD  ， 如图 2，过A作 AH BC 于H ， ∵ ABC是等腰直角三角形， ∴ 1 4 2 BH CH AH BC    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 ∴ 6DH  ， 由勾股定理得， 2 2 2 13AD AH DH   ， ∴线段 AD的长为 2 13； （3）解：由翻折的性质可知，DE AD ， 45EDF ADF   ， ∴ 90ADE  ， 如图 3，过A作 AM BC 于M ，过E作 EN BC 于N ， ∴ 90AMD DNE     ， 同理（2）可知， 4AM  ， 6MD  ， ∵ 90ADM EDN EDN DEN       ， ∴ ADM DEN  ， ∵ 90AMD DNE     ， ADM DEN  ， AD DE ， ∴  AASADM DEN≌ ， ∴ 4 6DN AM EN DM   ， ， ∴ 6CN  ， 由勾股定理得， 2 2 6 2CE CN EN   ， ∴线段CE的长为 6 2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，折叠的性质， 等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解题的关键． 15．(1)① AE BC ，见解析；② 10AB  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 (2) B 的值为15 18 22.5  、 、 【难度】0.4 【知识点】勾股定理与折叠问题、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）①由折叠可知， B E   ，由平行可知， E EAC  ，根据三角形内角和 得到 C EDF   ，再由 90B C   ，利用等量代换可求 90DFE  ，即可求解； ②设 BD x ，则 8DF x  ，在 Rt DEF 中， 2 2 2DE DF EF  ，解得： 5x  ，设 AB a= ， 由折叠可知， 4AE a  ，则 4AF a  ，在 Rt ABF△ 中， 2 2 2AB AF BF  ，解得： 10a  ， 即可求解； （2）设 B   ，则 3C   ，当 90DFE  时， 15B  ；当 90FDE  时，当 AC FC 时，  2 90 3 180    ，不符合题意，舍去；当 AF AC 时，3 90   ， 22.5B  ； 当 AF FC 时，3 3 90 180      ， 18B  ；当 90E  时此时 90BÐ = °， 270C  ，不成立；当 90C  时，此时不成立；当 90AFC  时，此时不成立；当 90FAC  时，当DF EF 时，此时不成立；当DF DE 时， 22.5B  ；当 DE EF 时， 此时不成立． 【详解】（1）解：① AE BC ，理由如下： 由折叠可知， B E   ， DE AC ， E EAC  ， DFE AFC   ， EDF C   ， 90BAC   ， 90B C   ， 90E EDF   ， 90DFE  ， AE BC  ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 ②设 BD x ，则 8DF x  ， 由折叠可知，DE BD x  ， 在 Rt DEF 中， 2 2 2DE DF EF  ，  22 28 4x x    ，解得： 5x  ， 5 3BD DF  ， ， 设 AB a= ，由折叠可知， AE a ，则 4AF a  ， 在 Rt ABF△ 中， 2 2 2AB AF BF  ，  22 24 8a a    ，解得： 10a  ， 即 10AB  ； （2）解： 3C B   ， 设 B   ，则 3C   ， 由折叠可知， E B     ， 当 90DFE  时， DEF 是直角三角形则 AFC是等腰三角形， 45C  ， 15B  ； 当 90FDE  时， DEF 是直角三角形，则 ACF△ 是等腰三角形， 90DEF    ， 90AFC    ， 当 AC FC 时，  2 90 3 180    ，此时 0  ，不符合题意，舍去； 当 AF AC 时，3 90   ，此时 22.5  ，所以 22.5B  ； 当 AF FC 时，3 3 90 180      ，此时 18  ，所以 18B  ； 当 90E  时此时 90BÐ = °， 270C  ，不成立； 当 90C  时， ACF△ 是直角三角形，此时 DEF 不能是等腰三角形，否则 AE与 BC边 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 没有交点； 当 90AFC  时， ACF△ 是直角三角形，则 DEF 是等腰三角形，所以 45E  ，所以 45B  ；此时 135C  ，与题意不符合，不成立； 当 90FAC  时， ACF△ 是直角三角形，则 DEF 是等腰三角形，所以 90 3AFC    ， 所以 90 3DEF    ， 当DF EF 时， 90 3 180      ，此时 90   ，不成立； 当DF DE 时，90 3   ，此时 22.5  ，所以 22.5B  ； 当 DE EF 时，  190 3 180 2     ，此时 0  ，不成立． 综上所述， B 的值为15 18 22.5  、 、 ． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握图形旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三 角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．