【专项练】勾股定理与网格问题-北师大版八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 勾股定理与网格问题 1．如图，小正方形的边长均为 1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 ABC 全等的是（ ） A． B． C． D． 2．如图， ABC 的顶点 A，B，C在边长为 1的正方形网格的格点上，BD AC 于点 D，则 线段BD的长为（ ） A．4 B． 17 C． 16 5 D．5 3．如图，在3 3 的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，C都在格点上，AD为 ABC 的高，则 AD的长为（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A． 7 2 4 B． 7 2 2 C． 7 10 20 D． 7 10 10 4．如图，在3 3 的正方形网格中，若小正方形的边长是 1，则任意两个格点间的距离不可能 是（ ） A． 2 B． 2 2 C． 6 D． 10 5．如图，数轴上点A所表示的数为 1，点 B，C，D是4 4 的正方形网格上的格点，以点A 为圆心， AD长为半径画圆交数轴于M ，N 两点，则M 点所表示的数为（ ） A．4.25 B． 10 1 C．1 10 D． 10 1 6．如图，在网格图（每个小方格均是边长为 1的正方形）中，以 AB为一边作直角三角形 ABC， 要求顶点 C在格点上，则图中不符合条件的点是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 A． 1C B． 2C C． 3C D． 4C 7．如图，在2 2 的方格中，小正方形的边长是1，点A、 B、C都在格点上，则 AB边上的 高为 ． 8．如图，在 3 5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，将格点线段（端点都在格点 上的线段） AB平移得到格点线段CD，连接 AD， BC交于点 P，则线段 AP的长为 ． 9．利用数形结合的思想，可以比较实数的大小．若在方格纸中构造如图所示的图形（方格纸 中每个小方格的边长为 1），结合图形可得 5 1 2 ．（填“ ”“ ”或“ ”） 10．如图所示的网格是正方形网格，则 ABC  °（点 A，B，C是网格线交点）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 11．如图，在3 3 正方形网格中，点 A B， 在格点上，若点C也在格点上，且 ABC 是等腰三 角形，则符合条件的点C的个数为 个． 12．“在 ABC 中，AB、BC、AC三边的长分别为 5 、 10 、 13，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1），再在网格中 画出格点 ABC （即 ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图 1所示．这样不需求 ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积，我们把上述求 ABC 面积的方法叫做构图法． （1）直接写出图 1中 ABC 的面积 ； （2）若 DEF 中有两边的长分别为 5a、 17 ( 0)a a  ，且 DEF 的面积为 23a ，写出它的第 三条边长 （试运用构图法在图 2的每个小正方形的边长为a的网格中画出符合题意的 DEF ）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 13．如图在网格中，三角形 ABC的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺．．．．．按下列要求作图（保 留作图痕迹） (1)在图 1中，作 ABC 的平分线BD，交 AC于点D． (2)在图 2中，作 BAC 的平分线 AE，交 BC于点E． 14．如图，在8 4 的正方形网格中，按 ABC 的形状要求，分别找出格点 C，且使 5BC  ，并 且直接写出对应三角形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 15．综合探究： “在 ABC 中， AB、BC、 AC三边的长分别为 5 、 10 、 13，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1），再在网格中 画出格点 ABC （即 ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图 1所示，这样不需求 ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求 ABC 面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图 1中 ABC 的面积是______； (2)若 MNP△ 的边长分别为 2 216m n 、 2 29 4m n 、 2 24 4m n （ 0m  ， 0n  ，且 m n ），试运用构图法在图 2中画出相应的 MNP△ ，并求出 MNP△ 的面积． (3)拓展应用：求代数式：    22 1 4 4 0 4x x x      的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 勾股定理与网格问题 1．D 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与网格问题、用 SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，先判定 ABC 是直角三角 形，再进一步判断即可； 【详解】解：根据题意可得： 2 2 2 2 22 2 8, 1 1 2AB AC      ， 90BAC  ， A．两条直角边分别为1,3，图中的三角形（阴影部分）与 ABCV 不全等． B．三角形不是直角三角形，图中的三角形（阴影部分）与 ABCV 不全等． C．三角形不是直角三角形，图中的三角形（阴影部分）与 ABCV 不全等． D．两条直角边分别为 8, 2 ，图中的三角形（阴影部分）与 ABCV 全等． 故答案为：D． 2．C 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与网格问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了网格与勾股定理以及三角形面积，由勾股定理求出 5AC  ，再由三角形 面积求出 BD即可． 【详解】解：由勾股定理可得 2 23 4 5AC    ， BD AC ， 1 1 4 4 2 2ABC S AC BD      ，即 81 2 5 BD   ， 16 5 BD  ， 故选：C． 3．D 【难度】0.85 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了割补法求三角形的面积和等面积法，以及勾股定理，根据题意利用割补法 求得 ABC 的面积，利用勾股定理算出 BC的长，再利用等面积法即可求得 AD的长． 【详解】解：由题可得： 1 1 1 73 3 1 3 2 3 1 2 2 2 2 2ABC S             ， 2 21 3 10BC = + = ，  1 710 2 2 AD   ， 解得： 7 10 10 AD  ， 故选：D． 4．C 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出可能的距离，即可得到答案． 【详解】解：∵在3 3 的正方形网格中，若小正方形的边长是 1， ∴任意两个格点间的距离有 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21,2,3, 1 1 2, 1 2 5, 2 2 2 2, 1 3 10, 2 3 13, 3 3 3 2            ， 故任意两个格点间的距离不可能是 6 ， 故选：C． 5．C 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键．直接利用勾股定理得出 AD 的长，再利用数轴得出答案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【详解】解：∵OD x 轴， ∴ 90AOD  ， ∴ AOD△ 是直角三角形， ∵ 1OA  ， 3OD  ， ∴ 2 23 1 10AD    ， ∴ 10AM AD  ， ∴M点所表示的数为：1 10 ． 故选 C． 6．D 【难度】0.85 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，解题时要注意找出所有符合条件的点．在正方形 网格中，根据直角三角形的判定进行判定即可． 【详解】解： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 11 3 10, 1 2 5, 1 2 5,AB AC BC         2 2 2 1 1 5 5 10AC BC AB      ， 1ABC△ 是直角三角形， 2 2 2 2 2 2 2 21 3 10, 2 4 20,AC BC      2 2 2 2 210 10 20AC AB BC      ， 2ABC 是直角三角形， 2 2 2 2 2 2 3 31 3 10, 2 4 20,BC AC      2 2 2 3 310 10 20BC AB AC      ， 3ABC 是直角三角形， 2 2 2 2 2 4 43 3 18, 4 16,BC AC     2 2 2 4 416 10 26AC AB BC      ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 4ABC 不是直角三角形， 所以 2 3 1, ,ABC ABC ABC 是直角三角形，但 4ABC△ 不是直角三角形， 故选：D． 7． 3 5 5 / 3 5 5 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，易求 ABCV 的面积，再根据勾股定理可 求出 AB的长，进而根据面积公式即可求得 AB边上的高的长． 【详解】解：由题意可得 1 1 32 2 2 1 2 1 1 2 2 2ABC S          △ ， 又 2 22 1 5AB    ，  AB边上的高为 32 3 52 55   ， 故答案为： 3 5 5 ． 8． 26 2 【难度】0.65 【知识点】两直线平行内错角相等、用 ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者 AAS）、勾 股定理与网格问题、利用平移的性质求解 【分析】此题考查了平移的性质，全等三角形的判定与性质和平行线的性质，由平移性质可知 AB CD∥ ， AB CD ，证明  ASAABP DCP≌ ，得 1 2 AP DP AD  ，再根据网格求线 段长即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由平移性质可知 AB CD∥ ， AB CD ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∴ A D  ， B C  ， ∴  ASAABP DCP≌ ， ∴ 1 2 AP DP AD  ， 由网格可知： 2 25 1 26AD = + = ， ∴ 26 2 AP  ， 故答案为： 26 2 ． 9． 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较、三角形三边关系的应用、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，比较实数的大小关系，三角形的三边关系，解题的关 键是掌握以上知识点． 根据勾股定理得出三角形的三边长，再利用三角形的三边关系即可得出结果； 【详解】解：根据图象得，画出的三角形的三边长分别为： 2 2 2 21, 1 1 2 1 2 5   ， ， 根据三角形的三边关系可得： 5 1 2  ， 故答案为：． 10．45 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 根据网格作出等腰直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：取格点 D，则 2 2 25, 5, 10AD AB BD   ， ∴ AD AB ， 2 2AD AB BD  ， ∴ ABD△ 是等腰直角三角形， ∴ ABC  ． 故答案为：45． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 11．3 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与网格问题、格点图中画等腰三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了格点与等腰三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质，图形结 合分析思想是解题的关键． 根据格点和等腰三角形的判定和性质作图即可求解． 【详解】解：根据等腰三角形的判定和性质作图如下， 图 1， 1 1 5AC BC  ， 1ABC 是等腰三角形，点 1C 在格点上，符合题意； 图 2， 2 10AB AC  ， 2ABC 是等腰三角形，点 2C 在格点上，符合题意； 图 3， 3 10BA BC  ， 3ABC 是等腰三角形，点 3C 在格点上，符合题意； 综上所述，点C的个数为 3个， 故答案为：3 ． 12． 7 2 / 13 2 /3.5 2 2a 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与网格问题、勾股定理与无理数、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查勾股定理与无理数，借助网格计算三角形的面积： （1）利用分割法求三角形的面积即可； （2）根据题意，画出 DEF ，求解即可． 【详解】解：（1）由图可知： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ABC 的面积  1 1 1 72 3 3 2 1 2 3 2 2 2 2           ； 故答案为： 7 2 ． （2）如图： 此时：    2 22 22 5 , 4 17DE a a a EF a a a      ， 21 1 14 2 2 4 2 2 3 2 2 2DEF S a a a a a a a a a            ，满足题意， ∴    2 22 2 2 2DF a a a   ； 故答案为： 2 2a． 13．(1)作图见解析 (2)作图见解析 【难度】0.4 【知识点】勾股定理与网格问题、画轴对称图形、格点作图题、无刻度直尺作图 【分析】（1）由图可知， 90ABC  ，根据正方形的对角线性质，取格点O，连接BO并 延长，交 AC于D即可作出图形； （2）由勾股定理可得 5AC  ，根据对称性作图，取格点D，使CD CA ，取格点O，可得 OA OD ，连接OC，由对称性可知 OAC ODC   ，网格中 ≌ DNOAMO △△ ，则 MAO ODC  ，从而得到 OAC OAM  ，延长 AO交 BC于点E即可作出图形． 【详解】（1）解：如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 BD 即为所求； （2）解：如图所示： AE 即为所求． 【点睛】本题考查网格中作图，难度较大，不容易想出来，涉及角平分线定义，正方形对角线 性质、对称性、勾股定理、全等的判定与性质等知识，数形结合，灵活掌握相关几何性质用于 作图是解决问题的关键． 14．见解析； 10S  ； 25 2 S  ； 12S  【难度】0.4 【知识点】三角形的分类、结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）、勾股定理与 网格问题、等腰三角形的定义 【分析】根据全等三角形的性质，勾股定理，角的分类去求解即可 【详解】解：钝角三角形时，如图， ∵BC⊥BD，BC=5， ∴△ABC是钝角三角形， 根据平行线间的距离处处相等，得 BC边上高为 BD=4, ∴ 1 1= 4 5=10 2 2 S BC BD    ； 直角三角形时，如图， 取格点 F使得 BF=4，FC=3， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 根据勾股定理，得 BC= 2 23 4 =5， ∵AE=BF=4，EB=FC=3，∠AEB=∠BFC=90°， ∴△AEB≌△BFC， ∴∠EAB=∠FBC， ∵∠EAB+∠EBA=90°， ∴∠FBC+∠EBA=90°， ∴∠ABC =90°， ∴△ABC是直角三角形， 根据勾股定理，得 AB= 2 23 4 =5， ∴ 1 1= 5 5 2 2 S BA BC    25 2  ； 锐角三角形时，如图，取格点 M使得 BM=3，CM=4， 根据勾股定理，得 BC= 2 23 4 =5， 根据直角三角形时的作图，知道∠ABN=90°， ∴∠ABC＜∠ABN， ∴∠ABC＜90° ∵AB=BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴∠A=∠C＜90°， ∴△ABC是锐角三角形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∴ 1 4 6 2 S    =12； 【点睛】本题考查了网格上的作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质和判定， 平行线间的距离处处相等，根据题意，运用所学构造符合题意的格点线段是解题的关键． 15．(1) 7 2 (2)图见解析，5mn (3)5 【难度】0.4 【知识点】勾股定理与网格问题、坐标与图形变化——轴对称、线段问题(轴对称综合题)、利 用网格求三角形面积 【分析】（1）分割法求出三角形的面积即可； （2）易得此三角形的三边分别是直角边长为 m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3 , 2m n 的直角三角形的斜边；直角边长为 2 , 2m n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个长方形 的面积减去三个直角三角形的面积． （3）将代数式转化为平面直角坐标系中 x轴上一点  ,0x 到点  0,1 的距离与  ,0x 到点  4,2 的距离和的最小值，利用成轴对称的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知： ABC 的面积是 ； 故答案为： 7 2 ； （2） MNP△ 的边长分别为 2 216m n 、 2 29 4m n 、 2 24 4m n （ 0m  ， 0n  ，且 m n ）， ∴ MNP△ 的三边分别是直角边长为 m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3 , 2m n的直角 三角形的斜边；直角边长为 2 , 2m n的直角三角形的斜边，构造三角形如图： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 由图可知： MNP△ 的面积是 1 1 14 3 2 2 4 2 3 5 2 2 2 m n m n m n m n mn           ； （3）    22 1 4 4 0 4x x x      ，可以看成平面直角坐标系中 x轴上一点  ,0x 到点  0,1 的距离与  ,0x 到点  4,2 的距离和的最小值，如图： 设  0,1A ，  4,2B ，  ,0P x ，则：    22 1 4 4 0 4PA PB x x x        ， 过点A作 x轴的对称点 A，则：  0, 1A  ， PA PB PA PB A B     ，当且仅当 A， P， B三点共线时，PA PB 的值最小，即为 A B 的长， ∵  0, 1A  ，  4,2B ， ∴  224 2 1 5A B     ． ∴    22 1 4 4 0 4x x x      的最小值为 5． 【点睛】本题考查勾股定理与网格问题，坐标与轴对称．解题的关键是理解并掌握构图法，将 代数问题转化为几何问题，利用数形结合的思想进行求解．