精品解析：河南省驻马店市确山县部分中学联考2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2025河南中考学业备考全真模拟试卷（M2） 数学 注意：本试卷分为试题卷和答题卡两部分．三个大题，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的 1. 下列四个实数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 由5个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 定义新运算，对于任意实数，规定，若是关于的方程，则它的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 7. 学校某个功能室墙壁的主色调颜色经过学生投票（统计如下表）后决定采用红色，这样的决定依据的统计量是（ ） 主色调颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 学生投票人数/人 20 32 44 16 150 A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 8. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 把边长为5的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，边与交于点，则四边形的周长是（ ） A. B. 10 C. D. 10. 一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始3内只进水不出水，在随后的5内既进水又出水，最后的5只出水不进水，每分钟的进水量和出水量不变．容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：）之间的关系如图所示，则在整个过程中，容器内水量最多有（ ）L． A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_______． 12. 写出一个一次函数，使该函数图象经过第一、二、第四象限和点，则这个一次函数的解析式可以是__________． 13. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片A，B，C，D．将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取2张卡片，则所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率是____________________． 14. 如图，内接于，于点D，延长交于点E，已知，，，则弧的长为______． 15. 动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为_______________. 三、简答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）先化简：，然后从，，中选一个合适的数代入求值． 17. 某校为了加强反霸凌相关方面的教育，提高学生的法律意识，举办了“霸凌！”法律知 识竞赛，从中随机抽取20名学生的成绩(成绩得分用x 表示，单位：分)：94，83，83，86， 94，88，96，100，97，82，94，82，84，89，88，93，98，94，93，92．整理数据，得到频数分布表和扇形统计图． 等级 成绩/分 频数 A a B 7 C 4 D 5 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ；20名学生成绩的中位数是 ． （2）若成绩不低于90分为优秀，请估计该校2000名学生中达到优秀等级的人数． （3）已知 A 等级中有2名男生，现从 A 等级中随机抽取2名同学成为学校法律宣讲员，试用列表法或树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率 18. 某工厂需要焊接一批钢架，钢架形状是如图所示的等腰三角形，其中，．在加工时需要再焊接一根立柱加固，焊接前工人需要先确定的位置，使得，垂足为点D，焊接完成后，他们还需要知道这个钢架（包括立柱）的总用料．请你根据以上信息解答下列问题： （1）尺规作图：在图中作出立柱，并标注点D（不写做法，但要保留作图痕迹）； （2）若立柱的长为2米，请你求出这个钢架的总用料是多少米?（结果保留根号）． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？ 20. 如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点测得大树顶端的仰角是，沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为（参考数据：，，） （1）求小明从点走到点的过程中，他上升的高度； （2）大树的高度约为多少米？ 21. 2024年，郑州市中招体育考试的总分值提高到分，考试项目增加至项，其中技能类考试项目除篮球和足球外增加了排球垫球．某校为更好开展排球课程，计划购买一批排球，郑州市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案： 商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的八折出售． 商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的九折出售，然后每个再优惠元． 若用字母表示购买排球的数量，字母表示购买排球的价格，其函数图象如图所示． （1）求每个排球的标价是多少元． （2）当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为 ；当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为 ． （3）请求出图中点的坐标，并简要说明点表示的实际意义． （4）根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更优惠． 22. 如图，已知二次函数的图象经过点，点． （1）求该二次函数的表达式，并求出对称轴和顶点坐标； （2）点在该二次函数图象上，当时，的最大值为，最小值为1，请根据图象直接写出的取值范围． 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作：如图1，点E是边长为12的正方形纸片的边所在的射线上一动点，将正方形沿着折叠，点D落在点F处，把纸片展平，射线DF交射线于点P． 判断：根据以上操作，图1中与的数量关系：______． （2）迁移探究 在（1）条件下，若点E是的中点，如图2，延长交于点Q，点Q的位置是否确定？如果确定，求出线段的长度，如果不确定，说明理由； （3）拓展应用 在（1）条件下，如图3，，交于点G，取的中点H，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025河南中考学业备考全真模拟试卷（M2） 数学 注意：本试卷分为试题卷和答题卡两部分．三个大题，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的 1. 下列四个实数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了实数大小比较，首先求出每个数的绝对值是多少；然后根据实数大小比较的方法，判断出四个实数中，绝对值最小的数是哪个即可． 【详解】解：∵，，，， ∴四个实数中，绝对值最小的数是1． 故选：C． 2. 2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据384000用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 由5个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据从上面看到的图形就是俯视图即可得到答案． 【详解】解：该几何体从上向下看，其俯视图是 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，积的乘方，幂的乘方和合并同类项等计算，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 5. 如图将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是平行线的性质以及三角形外角的性质，属于基础题型．解决这个问题时要综合应用两个性质．根据平行线的性质得出的度数，然后根据三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：∵直尺的两边平行， ∴， 根据三角形外角的性质可得：， ∴． 故选： 6. 定义新运算，对于任意实数，规定，若是关于的方程，则它的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据新定义得到，再把方程化为一般式，接着计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得， 整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 7. 学校某个功能室墙壁的主色调颜色经过学生投票（统计如下表）后决定采用红色，这样的决定依据的统计量是（ ） 主色调颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 学生投票人数/人 20 32 44 16 150 A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了统计量的选择，掌握平均数、中位数、众数及方差的意义是解题的关键． 根据平均数、中位数、众数及方差的意义判断即可． 【详解】解：喜欢红色的学生最多，是这组数据的众数， 故选：C． 8. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题设有人，物品价值元，根据题意列出方程组即可求解； 【详解】解：设有人，物品价值元， 由题意得，， 故选：D； 9. 把边长为5的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，边与交于点，则四边形的周长是（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质，正方形的性质是解题的关键，由题意利用勾股定理的知识求出的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求，从而可求四边形的周长． 【详解】解：连接， ∵旋转角，， ∴在对角线上， ∵， 在中，， ∴， 在等腰中，， 在直角三角形中，， ∴， ∴四边形的周长是：． 故选：A． 10. 一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始3内只进水不出水，在随后的5内既进水又出水，最后的5只出水不进水，每分钟的进水量和出水量不变．容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：）之间的关系如图所示，则在整个过程中，容器内水量最多有（ ）L． A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了从函数图象获取信息，正确理解函数图象反应的意义是解题的关键． 根据图象可得每分钟的进水量为，出水量为，容器内水量最多时是在8分钟即可解答． 【详解】解：由图象可得每分钟的进水量为， 则8分钟的进水量为， 每分钟的出水量为， 在整个过程中，容器内水量最多有， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，根据被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：在函数中，， 解得， 故答案为：． 12. 写出一个一次函数，使该函数图象经过第一、二、第四象限和点，则这个一次函数的解析式可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设一次函数解析式为，根据一次函数的图象性质得到的取值范围，再利用待定系数法结合已知点坐标得到的值，取满足条件的值即可写出符合要求的解析式． 【详解】解：设该一次函数的解析式为． 一次函数图象经过第一、二、四象限， ． 函数图象经过点， 将代入得，． 取，满足， 可得一次函数解析式为． 13. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片A，B，C，D．将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取2张卡片，则所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率是____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图得出所有等可能的结果数以及所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的结果有：，，共2种， ∴所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率为 ． 故答案为：． 14. 如图，内接于，于点D，延长交于点E，已知，，，则弧的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点O为圆心，连接、、，过点O作于点F，根据圆周角定理得出，，求出，根据等腰三角形的性质得出，解直角三角形得出，，根据弧长公式求出． 【详解】解：设点O为圆心，连接、、，过点O作于点F，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形的相关计算，弧长公式，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关性质． 15. 动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为_______________. 【答案】2 【解析】 【详解】解：当点P与B重合时，BA′取最大值是3， 当点Q与D重合时（如图）， 由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1． 则点A′在BC边上移动的最大距离为3-1=2． 三、简答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）先化简：，然后从，，中选一个合适的数代入求值． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，分式的化简求值，分式有意义的条件，熟悉实数运算法则和分式混合运算法则是解题关键．（1）根据实数的运算法则依次计算即可；（2）根据分式的混合运算法则对分式进行化简，再根据分式不能为，得出的取值范围，最后选择合适的值代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ，且， 且， 故当时，原式． 17. 某校为了加强反霸凌相关方面的教育，提高学生的法律意识，举办了“霸凌！”法律知 识竞赛，从中随机抽取20名学生的成绩(成绩得分用x 表示，单位：分)：94，83，83，86， 94，88，96，100，97，82，94，82，84，89，88，93，98，94，93，92．整理数据，得到频数分布表和扇形统计图． 等级 成绩/分 频数 A a B 7 C 4 D 5 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ；20名学生成绩的中位数是 ． （2）若成绩不低于90分为优秀，请估计该校2000名学生中达到优秀等级的人数． （3）已知 A 等级中有2名男生，现从 A 等级中随机抽取2名同学成为学校法律宣讲员，试用列表法或树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率 【答案】（1）4，35，； （2）名； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图，用样本估计总体，列表法与树状图法求概率等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用20分别减去B、C、D等级的人数得到a的值，再计算B等级人数所占的百分比得到b的值，然后根据中位数的定义求出20名学生成绩的中位数； （2）用2000乘以样本中A、B等级人数所占的百分比即可； （3）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一男一女的结果数，然后根据概率公式求解； 【小问1详解】 解：， ， 即， 将这20名学生的成绩从小到大的顺序排列，排在第10、11的成绩是：92、93， ∴20名学生成绩的中位数为：， 故答案为：4，35，； 【小问2详解】 解：(名)， ∴估计该校2000名学生中，达到优秀等级的人数为1100名； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果数为8种， ∴恰好抽到一男一女的概率． 18. 某工厂需要焊接一批钢架，钢架形状是如图所示的等腰三角形，其中，．在加工时需要再焊接一根立柱加固，焊接前工人需要先确定的位置，使得，垂足为点D，焊接完成后，他们还需要知道这个钢架（包括立柱）的总用料．请你根据以上信息解答下列问题： （1）尺规作图：在图中作出立柱，并标注点D（不写做法，但要保留作图痕迹）； （2）若立柱的长为2米，请你求出这个钢架的总用料是多少米?（结果保留根号）． 【答案】（1）详见解析 （2）这个钢架的总用料是米钢材 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图作的角平分线，结合等腰三角形的性质可知，即为所求； （2）根据所作图形，利用解直角三角形，求出的所有边长即可求解． 【小问1详解】 解：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，再分别以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接该点与点，与交于一点， 可知平分，又∵， ∴， 如图所示，线段为所求图形； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 答：这个钢架的总用料是米钢材． 【点睛】本题考查尺规作图，等腰三角形的性质，解直三角形的应用，利用尺规作图作出图形是解决问题的关键． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？ 【答案】（1）， （2）或 （3）1或9 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）结合图象找出反比例函数图象高于直线部分对应的x的范围即可； （3）设出平移后直线的解析式结合一元二次方程的根的判别式解答即可； 【小问1详解】 ∵反比例函数过点，， ∴，解得：，， 反比例函数解析式为：，点， ∵一次函数解析式过点，， ∴， 解得：． ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 根据图象，不等式的解集为：或； 【小问3详解】 设直线向下平移n个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点， 则平移后的解析式为， 联立两个函数得：， 整理得：， ， ∴，或， ∴直线向下平移1个单位长度或向下平移9个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点． 20. 如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点测得大树顶端的仰角是，沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为（参考数据：，，） （1）求小明从点走到点的过程中，他上升的高度； （2）大树的高度约为多少米？ 【答案】（1）他上升的高度为米； （2）大树的高度约为米． 【解析】 【分析】（）作于，由斜坡的坡比为，则，在中，由勾股定理即可求出； （）过点作于点，设，由题意得，，，则，在中，，然后代入列出方程并检验即可； 本题考查了解直角三角形的应用——坡度，仰角俯角，勾股定理，解分式方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：作于，如图， 在中，斜坡的坡比为， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴他上升的高度为米； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，设， 由题意得，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ ， 在中， ， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：大树的高度约为米． 21. 2024年，郑州市中招体育考试的总分值提高到分，考试项目增加至项，其中技能类考试项目除篮球和足球外增加了排球垫球．某校为更好开展排球课程，计划购买一批排球，郑州市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案： 商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的八折出售． 商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的九折出售，然后每个再优惠元． 若用字母表示购买排球的数量，字母表示购买排球的价格，其函数图象如图所示． （1）求每个排球的标价是多少元． （2）当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为 ；当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为 ． （3）请求出图中点的坐标，并简要说明点表示的实际意义． （4）根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更优惠． 【答案】（1）元 （2）； （3）点的坐标为；点表示的实际意义为当购买个排球时，在、两家商店所付的钱数相同，均为元 （4）当或时，在、两家商店所付的钱数相同；当时，选择商店更合算；当时，选择商店更合算 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，列函数关系式，单价、数量、总价之间的关系 （1）根据函数图象可知：商店：购买个排球的总价为元；商店：购买个排球的总价为元，根据“单价总价数量”即可得解； （2）根据两家体育用品商店分别推出的优惠方案并根据“总价单价数量”即可得出函数关系式； （3）根据（2）的结论列方程解答即可； （4）根据（3）的结论结合图象解答即可； 解题的关键是根据题意或图像找出等量关系列出函数关系式或方程，利用图像确定自变量的取值范围以解决方案问题． 【小问1详解】 解：商店：购买个排球的总价为元， ∴标价为：（元/个）； 商店：购买个排球的总价为元， ∴标价为：（元/个）； 则两个商店排球的标价是一样的， ∴每个排球的标价是元； 【小问2详解】 当时，， ∴与数量之间的函数关系式为， 当时，， ∴与数量之间的函数关系式为， 故答案为：；； 【小问3详解】 由图像可知，点是两个函数图象的交点，此时这两个图象的横、纵坐标分别相等， 则， 解得：， 此时， ∴点的坐标为， ∴点表示的实际意义为当购买个排球时，在、两家商店所付的钱数相同，均为元； 【小问4详解】 观察图象可知： 当或时，在、两家商店所付的钱数相同； 当时，选择商店更合算； 当时，选择商店更合算． 22. 如图，已知二次函数的图象经过点，点． （1）求该二次函数的表达式，并求出对称轴和顶点坐标； （2）点在该二次函数图象上，当时，的最大值为，最小值为1，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】（1）表达式为，对称轴是：直线，顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式，再化为顶点式即可作答； （2）当，解得或，可得，，根据顶点坐标为，数形结合即可作答． 【小问1详解】 将点、的坐标分别代入二次函数，得方程组： ， 解得， ∴， ∵， ∴对称轴是：直线，顶点坐标为． 答：该二次函数的表达式为，对称轴是：直线，顶点坐标为． 【小问2详解】 当，解得或， 如图，，，顶点是， 根据题意，点应在点、之间的函数图象上，可以看出，． 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作：如图1，点E是边长为12的正方形纸片的边所在的射线上一动点，将正方形沿着折叠，点D落在点F处，把纸片展平，射线DF交射线于点P． 判断：根据以上操作，图1中与的数量关系：______． （2）迁移探究 在（1）条件下，若点E是的中点，如图2，延长交于点Q，点Q的位置是否确定？如果确定，求出线段的长度，如果不确定，说明理由； （3）拓展应用 在（1）条件下，如图3，，交于点G，取的中点H，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2）点的位置确定， （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）如图，设，交于点，由轴对称性质可得：，，再结合正方形的性质可证明，从而得出，进而得出； （2）连接，由折叠可知，由题意可知，进而可得可证明，从而，设，则，在中，根据勾股定理可得，进一步得出结果； （3）取的中点，再取的中点，连接，，，依次求得，，，可得，当、、共线时，的最小值为． 【小问1详解】 解：如图，设，交于点， 由轴对称性质可得：，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 点的位置确定，，理由如下： 连接，由折叠可知：，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 取的中点，再取的中点，连接，，， ∵， ∴， ∵点是的中点，则是的中位线， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴当、、共线时，的最小值为． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形三边的关系等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $