精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市依安县第三中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考 数学试卷

2024－2025学年度下学期第一次月考 九年级数学试卷 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义和分母有理化．根据倒数的定义，利用分母有理化的运算法则即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：D． 2. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项错误； C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了对称图形的定义和中心对称图形的定义，在平面内，一个图形绕某点旋转180°后能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能重合，这样的图形叫做轴对称图形．理解这两个概念是关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、单项式除以单项式、合并同类项等知识点．根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、单项式除以单项式法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握相关知识点及正确作出辅助线是解题的关键． 过点向右作，根据平行线的性质可得，，从而求出度数即可． 【详解】如图，过点向右作， ∴， ∵， ∴， ∴． 答案：A． 5. 一个几何体是由一些大小相同小正方体摆成，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有个，最多有个，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】从主视图可判断有上下两层，结合左视图，下层最少有3个，最多有6个；上层仅有1个． 【详解】解：以主视图结合左视图，下层最少有3个，最多有6个；上层仅有1个．故； 故选：B 【点睛】本题考查三视图，注意两者的结合，需具备必要的空间想象能力． 6. 关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围为（ ） A. a≤4 B. a≤2且a≠1 C. a≤4且a≠3 D. a≥﹣2且a≠0 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目的已知可得x≥0且x≠1，进行计算即可解答． 【详解】解：， 去分母得：2x﹣a+1＝3（x﹣1）， 去括号得：2x﹣a+1＝3x﹣3， 移项得：2x﹣3x＝﹣3﹣1+a， ∴x＝4﹣a， 由题意得： x≥0且x≠1， ∴4﹣a≥0且4﹣a≠1， ∴a≤4且a≠3， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一定要注意分式方程的最简公分母不能为0． 7. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，用列表法求出概率即可． 【详解】根据题意，设三个宣传队分别为列表如下： 小华\小丽 总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队情况有3种， 则她们恰好选到同一个宣传队的概率是． 故选C 【点睛】本题考查了用列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比． 8. 如图，在菱形中，，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动到点，同时动点从点出发，以相同速度沿折线运动到点，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设的面积为，运动时间为秒．则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于分情况讨论：当P，Q分别在，上运动时，，当P，Q分别在，上运动时，同理可得：，即可求解． 【详解】解：（1）当P，Q分别在，上运动时， ∵是菱形，，则为边长为2的等边三角形，过点作于点， ， ， 函数最大值为，符合条件的A，B，C，D， （2）当P，Q分别在，上运动时： 同理可得：， 符合条件的有A， 故选A． 9. 今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们，带了50元钱取购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本7元，乙种笔记本每本5元，每种笔记本至少买3本，则张老师购买笔记本的方案共有 A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】D 【解析】 【分析】设甲种笔记本购买了x本，乙种笔记本y本，由题意，得7x+5y≤50． 【详解】解：∵x≥3，y≥3， ∴当x=3，y=3时，7×3+5×3=36＜5； 当x=3，y=4时，7×3+5×4=41＜50； 当x=3，y=5时，7×3+5×5=46＜50； 当x=3，y=6时，7×3+5×6=51＞50舍去； 当x=4，y=3时，7×4+5×3=43＜50； 当x=4，y=4时，7×4+5×4=4＜50； 当x=4，y=5时，7×4+5×5=53＞50舍去； 当x=5，y=3时，7×5+5×3=50=50． 综上所述，共有6种购买方案． 故选D． 10. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可得a、b、c的取值范围，由此可判断①；根据结合c的取值范围可对②进行判断；由OA=OC可得A的坐标，代入解析式可判断③；由点A坐标结合对称轴可得点B坐标，据此可判断④. 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，所以②错误； ∵，， ∴， 把代入得， ∴，所以③正确； ∵，对称轴为直线， ∴， ∴是关于x的一元二次方程的一个根，所以④正确； 综上正确的有3个， 故选C. 【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点及与二次函数图象与系数的关系，做好本题要知道以下几点：①当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左； 当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(0，c)．④抛物线与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根.注意利用数形结合的思想． 二．填空题（每小题3分，满分21分） 11. 2024年元旦假期，哈尔滨文旅市场持续火爆．据哈尔滨市文化广电和旅游局提供大数据测算，截至元旦假日第3天，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元．将数据59.14亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】数据59.14亿用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是____________________． 【答案】且， 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案． 【详解】解：由题意，得 且 解得，且，． 故答案为：，且，． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、负整数指数幂的性质和求函数自变量的取值范围，属于常考题型，熟知二次根式有意义的条件、分式有意义的条件是解题的关键． 13. 用一个圆心角为，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的直径为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了弧长计算公式，解题的关键是熟练掌握弧长计算公式和圆的周长计算公式．根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解． 【详解】解：扇形的弧长， 设圆锥的底面半径为r，则， 所以， 所以圆的直径为． 故答案为：． 14. 阅读作图过程，并解答问题： ①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线． 如图，已知，点为射线上一点，过点作于点，点在边上，连接，若，当的长取最小值时，的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可知，再利用角平分线的性质及垂线段最短即可解答． 【详解】解：由作图可知是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 当时，的值最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质，三角形的面积公式，掌握角平分线的定义及性质是解题的关键． 15. 如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出反比例函数解析式，证明，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，通过平行线的性质得到，解直角三角形求点的横坐标，结合反比例函数解析式求出的坐标，即可解答． 【详解】解：把代入，可得，解得， 反比例函数解析式， 如图，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点， ， ， ， ， 将直线向上平移若干个单位长度交轴于点， , 在中，， ， 即点C的横坐标为， 把代入，可得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，一次函数的平移，解直角三角形，熟练求得点的横坐标是解题的关键． 16. 在中，为边上的高，，，则是___________度． 【答案】40或80##80或40 【解析】 【分析】根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解． 【详解】解：根据题意，分三种情况讨论： ①高在三角形内部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； ②高在三角形边上，如图所示： 可知， ， 故此种情况不存在，舍弃； ③高在三角形外部，如图所示： 在中，为边上的高，， ， ， ； 综上所述：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴上，点在直线上，若的坐标为，且均为等边三角形，则线段的长度为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据坐标为和，确定等边三角形的边长，分别计算等边三角形的边长，设的边长为，则，找到的规律即可 【详解】设到轴的距离为，到轴的距离为,则点的坐标为 点在直线 为等边三角形 设的边长为 故答案为： 【点睛】本题考查了正比例函数与坐标轴的夹角，特殊角的锐角三角值，等边三角形的性质，找到的规律是解题的关键． 三．解答题（本题共8道大题，共69分） 18. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，零指数幂，特殊角的三角函数值，乘方运算以及负整数指数幂的运算，解题的关键是分别正确计算出各项的值，再按照运算顺序进行计算． 先分别计算出的值，然后代入原式进行加减运算． 【详解】解： ． 19. 因式分解． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用．原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 20. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．根据因式分解法得出，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：． 21. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点B作BE⊥AD，垂足为点E，AB平分∠CAE． （1）判断BE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠ACB=30°，⊙O的半径为4，请求出图中阴影部分的面积． 【答案】（1）BE与⊙O相切，理由见解析；（2）π． 【解析】 【分析】(1) BE与⊙O相切，连接BO，先证∠1=∠2，利用AB平分∠CAE推出∠2=∠BAE，根据BE⊥AD，求出∠EBO=90°，得到结论； （2）先证明△ABO是等边三角形，推出OA=OB=AB=4，∠ABE=30°，求出AE、BE，再根据S阴影=S四边形AEBO﹣S扇形AOB代入数值计算即可． 【详解】解：（1）BE与⊙O相切， 理由：连接BO， ∵OA=OB， ∴∠1=∠2， ∵AB平分∠CAE， ∴∠1=∠BAE， ∴∠2=∠BAE， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB=90°， ∴∠ABE+∠BAE=90°， ∴∠ABE+∠2=90°，即∠EBO=90°， ∴BE⊥OB， ∴BE与⊙O相切； （2）∵∠ACB=30°， ∴∠AOB=60°， ∵OA=OB， ∴△ABO是等边三角形， ∴∠2=60°，OA=OB=AB=4， ∴∠ABE=30°， ∴AE=2，BE=， ∴S阴影=S四边形AEBO﹣S扇形AOB = =π． ． 【点睛】此题考查圆的切线的判定定理，勾股定理，等边三角形的判定及性质，扇形面积计算公式，不规则阴影的面积计算，角平分线的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键． 22. 2023年11月7日，世界互联网大会“互联网之光”博览会在浙江乌镇开幕，大会主题为“建设包容、普惠、有韧性的数字世界——携手构建网络空间命运共同体”．为增强学生网络常识及安全意识，某校举行了一次全校6000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（：；：；：；：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）请补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数为______； （4）若把等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的6000名学生中达到“优秀”等级的学生人数． 【答案】（1）， （2）见详解 （3） （4）估计人 【解析】 【分析】本题考查了从关联统计图中获取信息，样本估计总体； （1）由等级人数除以所占百分比，即可求出抽取的总人数，从而可求出，即可求解； （2）可求等级的人数为，补全图，即可求解； （3）所占百分比，即可求解； （4）用样本中等级人数除以所占百分比乘以总人数，即可求解； 能正确从频数分布直方图和扇形统计图中获取信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：由频数分布直方图和扇形统计图得 等级有人占， ， ， ； 故答案：，； 【小问2详解】 解：由题意得 等级的人数为： （人）； 补全图，如下： 【小问3详解】 解：由题意得 ， 故答案：； 【小问4详解】 解：由题意得 （人）， 答：估计该校参加竞赛的6000名学生中达到“优秀”等级的学生人数为人． 23. 甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地．40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息解答下列问题： （1）直接写出a的值，并求甲车的速度； （2）求图中线段EF所表示的y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （3）乙车出发多少小时与甲车相距15千米？直接写出答案． 【答案】（1）4.5　60（2）y=40x+180（4.5≤x≤7）（3）小时或小时或小时 【解析】 【分析】（1）由乙在途中的货站装货耗时半小时易得a=4.5，然后利用速度公式计算甲的速度； （2）设乙开始的速度为v千米/小时，利用乙两段时间内的路程和为460列方程4v+（7-4.5）（v-50）=460，解得v=90（千米/小时），计算出4v=360，则可得到D（4，360），E（4.5，360），然后利用待定系数法求出线段EF所表示的y与x的函数关系式为y=40x+180（4.5≤x≤7）； (3) 求出直线CF的解析式为y=60x+40，直线OD的解析式为y=90x（0≤x≤4），再分段进行分析. 【详解】解：（1）a=4.5， 甲车的速度==60（千米/小时）； （2）设乙开始的速度为v千米/小时， 则4v+（7﹣4.5）（v﹣50）=460，解得v=90（千米/小时）， 4v=360， 则D（4，360），E（4.5，360）， 设直线EF的解析式为y=kx+b， 把E（4.5，360），F（7，460）代入得， 解得． 所以线段EF所表示的y与x的函数关系式为y=40x+180（4.5≤x≤7）； （3）甲车前40分钟路程为60×=40千米，则C（0，40）， 设直线CF的解析式为y=mx+n， 把C（0，40），F（7，460）代入得，解得， 所以直线CF的解析式为y=60x+40， 易得直线OD的解析式为y=90x（0≤x≤4）， 设甲乙两车中途相遇点为G，由60x+40=90x，解得x=小时，即乙车出发小时后，甲乙两车相遇， 当乙车在OG段时，由60x+40﹣90x=15，解得x=，介于0～小时之间，符合题意； 当乙车在GD段时，由90x﹣（60x+40）=15，解得x=，介于～4小时之间，符合题意； 当乙车在DE段时，由360﹣（60x+40）=15，解得x=，不介于4～4.5之间，不符合题意； 当乙车在EF段时，由40x+180﹣（60x+40）=15，解得x=，介于4.5～7之间，符合题意． 所以乙车出发小时或小时或小时，乙与甲车相距15千米． 24. 已知四边形和四边形均为正方形，连接、，直线与交于点． （1）如图1，当点在上时，线段和的数量关系是_____，的度数为_____． （2）如图2，将正方形绕点A旋转任意角度．请你判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． （3）若，，则正方形绕点A旋转过程中，点F、H是否重合？若能，请直接写出此时线段的长；若不能，说明理由． 【答案】（1）， （2）仍然成立 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得，，由余角的性质即可得的度数； （2）由“”可证，可得，，由余角的性质即可得的度数； （3）分两种情况画出图形，根据全等三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【小问1详解】 四边形和四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 （1）的结论仍然成立，理由如下： 如图2，设交于， 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； 【小问3详解】 正方形绕点旋转过程中，点、重合，此时线段的长为或，理由如下： ①如图： ，，四边形和四边形均正方形， ，， 直线与交于点，点，重合， 点、、在同一直线上， ， ， ， ； ②如图： ，，四边形和四边形均为正方形， ，， 直线与交于点．点，重合， 点、、在同一直线上， ， ， ， ； 综上，正方形绕点旋转过程中，点，能重合，此时线段的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 25. 如图，抛物线与x轴交于A (-3，0)、B (4，0)两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式； （2）点H是抛物线对称轴上的一个动点，连接AH、CH，直接写出△ACH周长的最小值为 ； （3）若点G是第四象限抛物线上的动点，求△BCG面积的最大值以及此时点G的坐标； （4）若点M是∠BAC平分线上的一点，点N是平面内一点，若以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，请直接写出点N坐标． 【答案】（1） （2） （3）△BCG面积的最大值， （4） 【解析】 【分析】（1）将A (-3，0)、B (4，0)代入抛物线进行计算即可得； （2）根据二次函数的性质得，AH=BH，当点B，C，H在同一条直线上时，最小，根据勾股定理算出AC和BC即可得； （3）过点G作轴，交BC于点F，设直线BC的解析式为：，将点B（4，0）代入进行计算，即可得直线BC的解析式：，设点，点，即可得FG的长度，则，根据二次函数的性质得当时，△BCG面积的最大值为，即可得点G的坐标； （4）若以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，则点M和点N的位置有两种，根据题意得OQ=QF，根据得，在直角三角形AOQ和直角三角形ABM中，求出，所以点N的坐标为，同理可解得点． 【小问1详解】 解：将A (-3，0)、B (4，0)代入抛物线， 得 解得：，， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为：， ∵点H在直线上，点A，B关于直线对称， ∴，AH=BH， ∴当点B，C，H在同一条直线上时，最小， 在中，根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，， ∴△ACH周长的最小值为：， 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图所示，过点G作轴，交BC于点F， 设直线BC的解析式为：，将点B（4，0）代入得，， 解得，， ∴直线BC的解析式：， 设点，则点， ∴， ∴ ∴当时，△BCG面积的最大值为， ∴， 点G的坐标为： ． 【小问4详解】 解：如图所示，若以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，则点M和点N的位置有两种， 易得，，，， 设AM与y轴交于点Q，点M是平分线上的一点，作， 则OQ=QF， ∵， ∴， ∴在直角三角形AOQ和直角三角形ABM中，， ∴， 解得，， ∴点N的坐标为：， 同理可解得点， 综上，点N的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求二次函数解析式，三角形周长最值和面积最值，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度下学期第一次月考 九年级数学试卷 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有个，最多有个，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围为（ ） A. a≤4 B. a≤2且a≠1 C. a≤4且a≠3 D. a≥﹣2且a≠0 7. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ） A B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动到点，同时动点从点出发，以相同速度沿折线运动到点，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设的面积为，运动时间为秒．则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 9. 今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们，带了50元钱取购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本7元，乙种笔记本每本5元，每种笔记本至少买3本，则张老师购买笔记本的方案共有 A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 10. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（每小题3分，满分21分） 11. 2024年元旦假期，哈尔滨文旅市场持续火爆．据哈尔滨市文化广电和旅游局提供大数据测算，截至元旦假日第3天，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元．将数据59.14亿用科学记数法表示为______． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是____________________． 13. 用一个圆心角为，半径为4扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的直径为____________． 14. 阅读作图过程，并解答问题： ①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线． 如图，已知，点为射线上一点，过点作于点，点在边上，连接，若，当的长取最小值时，的面积为_______． 15. 如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点坐标是___________． 16. 在中，为边上的高，，，则是___________度． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴上，点在直线上，若的坐标为，且均为等边三角形，则线段的长度为____． 三．解答题（本题共8道大题，共69分） 18. 计算：． 19 因式分解． 20. 解方程：． 21. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点B作BE⊥AD，垂足为点E，AB平分∠CAE． （1）判断BE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠ACB=30°，⊙O半径为4，请求出图中阴影部分的面积． 22. 2023年11月7日，世界互联网大会“互联网之光”博览会在浙江乌镇开幕，大会主题为“建设包容、普惠、有韧性的数字世界——携手构建网络空间命运共同体”．为增强学生网络常识及安全意识，某校举行了一次全校6000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（：；：；：；：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）请补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数为______； （4）若把等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的6000名学生中达到“优秀”等级的学生人数． 23. 甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地．40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息解答下列问题： （1）直接写出a的值，并求甲车的速度； （2）求图中线段EF所表示的y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （3）乙车出发多少小时与甲车相距15千米？直接写出答案． 24. 已知四边形和四边形均为正方形，连接、，直线与交于点． （1）如图1，当点在上时，线段和的数量关系是_____，的度数为_____． （2）如图2，将正方形绕点A旋转任意角度．请你判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． （3）若，，则正方形绕点A旋转过程中，点F、H是否重合？若能，请直接写出此时线段的长；若不能，说明理由． 25. 如图，抛物线与x轴交于A (-3，0)、B (4，0)两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式； （2）点H是抛物线对称轴上的一个动点，连接AH、CH，直接写出△ACH周长的最小值为 ； （3）若点G是第四象限抛物线上的动点，求△BCG面积的最大值以及此时点G的坐标； （4）若点M是∠BAC平分线上的一点，点N是平面内一点，若以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，请直接写出点N坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$