构造法求数列的通项公式 培优讲义-2025届高三数学一轮复习

培优10 构造法求数列的通项公式 类型一 （,为常数）型 典例1 已知数列的首项,且,则数列的通项公式为 [解析]因为,等式两边同时加1整理得,又, 所以, 所以数列 是首项为2，公比为3的等比数列， 所以,所以. 解题技法 求关于（其中，为常数，）类型的通项公式时，先把原递推公式转化为,再利用待定系数法求出的值，最后用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子，我们只需要记住在等式两侧同时加上一个常数，构造成等比数列.常数的值并不需要背诵，我们可以通过待定系数法推导出来. 类型二 型 典例2 已知数列满足,,则  . [解析]因为, 所以,又, 所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以,所以. 解题技法 求关于类型的通项公式时，与类型一讲述的构造方法很相似，只不过等式中多了一项，在构造时我们也保持跟题干一样的结构，加一项再构造等比数列就可以，即令,然后与已知递推公式各项的系数对应相等，解得,，从而得到数列是公比为的等比数列. 类型三 型 典例3 在数列中，,,,则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. [解析]由 得,所以,又,即数列 是首项为1，公差为2的等差数列，所以,故. 解题技法 形如的数列，一般等式两边同除以，构造新的数列. 类型四 ,,为常数，,,,型 典例4 在数列中，，，，则数列的通项公式 [解析]递推公式 两边同时取倒数， 得，即， 因此，又， 故数列 是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，可得. 解题技法 ，，为常数，，，，的求解方法是等式两边同时取倒数变形构造出线性递推公式（，，是常数），进而求解. 【跟踪训练】 1. 已知数列满足且,则（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为, 所以,又, 所以数列 是以1为首项，4为公比的等比数列， 则， 所以,所以. 2. 已知数列满足,，则数列的通项公式（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题得, 即,解得. 由题意知,由 得, 又,所以数列 是以1为首项，3为公差的等差数列， 所以,则. 3. 已知数列满足,，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.由, 得, 又, 所以数列 是首项为4，公比为4的等比数列，所以，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优10 构造法求数列的通项公式 类型一 （,为常数）型 典例1 已知数列的首项,且,则数列的通项公式为 解题技法 求关于（其中，为常数，）类型的通项公式时，先把原递推公式转化为,再利用待定系数法求出的值，最后用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子，我们只需要记住在等式两侧同时加上一个常数，构造成等比数列.常数的值并不需要背诵，我们可以通过待定系数法推导出来. 类型二 型 典例2 已知数列满足,,则  . 解题技法 求关于类型的通项公式时，与类型一讲述的构造方法很相似，只不过等式中多了一项，在构造时我们也保持跟题干一样的结构，加一项再构造等比数列就可以，即令,然后与已知递推公式各项的系数对应相等，解得,，从而得到数列是公比为的等比数列. 类型三 型 典例3 在数列中，,,,则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 解题技法 形如的数列，一般等式两边同除以，构造新的数列. 类型四 ,,为常数，,,,型 典例4 在数列中，，，，则数列的通项公式 解题技法 ，，为常数，，，，的求解方法是等式两边同时取倒数变形构造出线性递推公式（，，是常数），进而求解. 【跟踪训练】 1. 已知数列满足且,则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足,，则数列的通项公式（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列满足,，则（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $$