精品解析：江苏省徐州市沛县2024-2025学年高一下学期第一次学情调研数学试题

2024-2025学年度第二学期高中第一次学情调研 高一年级数学学科试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页包含单项选择题（第1~8题）、多项选择题（第9~11题）、填空题（第12~14题）、解答题（第15~19题）．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 5．请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 化简，得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逆用余弦函数的和差公式即可得解. 【详解】. 故选：C. 2. 已知向量的夹角为60°，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据向量数量积的定义，即可得答案； 【详解】， 故选：C. 【点睛】本题考查向量数量积的定义，考查运算求解能力，属于基础题. 3. 已知四边形ABCD的三个顶点为A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为（ ） A. B. C. (3，2) D. (1，3) 【答案】A 【解析】 【分析】先设出点的坐标，根据所给的点的坐标，写出向量的坐标，由横坐标和纵坐标分别相等，得到结果． 【详解】设顶点的坐标为 ，， 且， 故选：． 4. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据的范围确定，然后使用正切差公式. 【详解】由，知，故，从而. 所以. 故选：D. 5. 已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则实数的值为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线定理和平面向量基本定理得到方程组，求解即可. 【详解】∵与是共线向量， ∴存在实数，使得，即， 已知是两个不共线的向量， 则有，解得. 故选：A. 6. 已知分别是的边､､的中点，且，，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加法、减法、数乘运算对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】解：对于A选项，，A正确. 对于B选项，，B错误 对于C选项，，C正确. 对于D选项， ，D正确. 故选：B 7. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，判断，从而求得，利用拆角的方法结合两角和的余弦公式，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以 , 故选：D 8. 矩形中，，，是矩形内(不含边框)的动点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的加法公式，可得，再根据数量积公式化简可得，结合三角函数的性质，即可求出结果. 【详解】记，则，， ，， 所以当，时，取最小值. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 设是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ） A. B. 若且，则 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平面向量数量积的结合律可判断A；由平面向量垂直的条件、数量积的交换律可判断B；由三角形的两边之差小于第三遍可判断C；由平面向量的运算法则将式子展开即可判断D. 【详解】对于选项A，由平面向量数量积的结合律，可知A正确； 对于选项B，由，得，又，所以或，故选项B错误； 对于选项C，因为不共线， 所以组成三角形的三边，所以，故选项C正确， 对于选项D，，故选项D正确. 故选：ACD. 10. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 都是锐角，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用商数关系和正弦的和差公式，即可求解；对于B和C，取特殊角，即可求解；对于D，根据条件，利用平方关系，求得，，再通过构角，利用余弦的差角公式，即可求解. 【详解】对于A，因为，正确， 对于B，当时，，错误， 对于C，当时，，错误， 对于D，因为都是锐角，则，又，则，， 所以，正确， 故选：AD. 11. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 若为非零向量，则不与垂直 B. 、为实数，若，则与共线 C. 若平面内有四个点，则必有 D. 在中，为的中点，若，则是在上的投影向量 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，取，即可求解；对于B，取，即可求解；对于C，利用向量的运算，即可求解；对于D，根据条件，利用向量的运算，可得，再利用投影向量的定义，即可求解. 【详解】对于选项A，若，则有， 此时与垂直，所以选项A错误， 对于选项B，若，则，但与不一定共线，所以选项B错误， 对于选项C，因为，即，所以选项C正确， 对于选项D，因为分别是与同向的单位向量， 又，且为的中点，知，即， 所以是在上的投影向量，故选项D正确， 故选：CD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算＝________. 【答案】1 【解析】 【分析】 将式中的用代换，然后利用两角差的正切公式可得答案 【详解】解：＝＝tan 45°＝1. 故答案为：1 【点睛】此题考查两角差的正切公式的应用，属于基础题. 13. 设为实数，已知为单位向量，向量的模为，，______． 【答案】 【解析】 【分析】由数乘向量模的性质可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为为实数，已知为单位向量，向量的模为，， 则，解得. 故答案为：. 14. 圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．是圆的一条直径，且．是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设为圆心，连接，根据数量积的运算律得到，根据点在线段上，即可求出的取值范围，即可得解. 【详解】如图，为圆心，连接，则, 因为点在线段上且，则圆心到弦的中点的距离，这也是的最小值. 所以，所以， 则，即的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，，，．求： （1）的值； （2）． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算律和定义求解； （2）利用平面向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 解:， ， ， . 【小问2详解】 因为， ， 所以， 所以. 16. 已知点，，，求： （1）的值； （2）的大小； （3）点A到直线BC的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积得坐标公式计算即可； （2）利用数量积求出得余弦值，即可得解； （3）根据点A到直线BC的距离为计算即可. 【小问1详解】 依题意，得， ， ； 【小问2详解】 因为， 又，所以； 【小问3详解】 点A到直线BC的距离为 ． 17. 已知向量，其中，且． （1）求的值； （2）若，且，求角的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由得，化简可求，再利用商数关系和平方关系，即可求解； （2）采用整体法，由，结合角度范围，分别求出，进而得解. 【小问1详解】 因为，所以，即， 又，得到，代入，得到， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）得，， ， 因为，，所以， 因为，所以，， 所以， 所以. 18. 如图，某企业的两座建筑物AB，CD的高度分别为20m和40m，其底部BD之间距离为20m．为响应创建文明城市号召，进行亮化改造，现欲在建筑物AB的顶部A处安装一投影设备，投影到建筑物CD上形成投影幕墙，既达到亮化目的又可以进行广告宣传．已知投影设备的投影张角∠EAF为，投影幕墙的高度EF越小，投影的图像越清晰．设投影光线的上边沿AE与水平线AG所成角为α，幕墙的高度EF为y（m）． （1）求y关于α的函数关系式，并求出定义域； （2）当投影的图像最清晰时，求幕墙EF的高度． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）分别在直角三角形中求出和，然后根据可求出最后结果；（2）当投影的图像最清晰时，幕墙EF的高度最小，即求的最小值，利用两角差的正切函数公式与基本不等式相结合，可得最值. 试题解析：（1）由AB=20m，CD=40m，BD=20m可得，∠CAG=,∠GAD=, 又投影设备的投影张角∠EAF为，所以， 所以G一定在EF上，所以, 所以． （2）当投影的图像最清晰时，幕墙EF的高度最小，即求y的最小值 由（1）得 ， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又，所以满足题意， 此时，． 答：当时，投影的图像最清晰，此时幕墙EF的高度为m． 19. （1）如图甲，在三角形中，与的夹角为，为线段中点，求线段的长度 （2）如图乙，在四边形中，与的夹角为，分别为的中点，求线段的长度． （3）如图丙，在四边形中，分别在边上，且与的夹角为，求向量与向量夹角的余弦值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的中线公式，结合条件，利用向量数量积的定义及运算，即可求解； （2）利用向量的运算得，结合条件，利用向量数量积的定义及运算，即可求解； （3）根据条件，利用向量的运算得到，利用利用向量数量积的定义及运算，得，，再利用向量夹角公式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 又与的夹角为，所以， 故. （2）因为①，②， 由①②得，所以， 又与的夹角为，所以， 得到. （3）因为与的夹角为， 又由（2）知①，②， 所以， 得到，所以， 又，， 所以向量与向量夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期高中第一次学情调研 高一年级数学学科试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页包含单项选择题（第1~8题）、多项选择题（第9~11题）、填空题（第12~14题）、解答题（第15~19题）．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 5．请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 化简，得（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量的夹角为60°，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知四边形ABCD的三个顶点为A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为（ ） A. B. C. (3，2) D. (1，3) 4. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则实数的值为（ ） A. B. 6 C. D. 6. 已知分别是的边､､的中点，且，，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 矩形中，，，是矩形内(不含边框)的动点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 设是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ） A. B. 若且，则 C. D. 10. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 都是锐角，，则 11. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 若为非零向量，则不与垂直 B. 、为实数，若，则与共线 C. 若平面内有四个点，则必有 D. 在中，为的中点，若，则是在上的投影向量 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算＝________. 13. 设为实数，已知为单位向量，向量的模为，，______． 14. 圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．是圆的一条直径，且．是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，，，．求： （1）的值； （2）． 16. 已知点，，，求： （1）的值； （2）的大小； （3）点A到直线BC的距离． 17. 已知向量，其中，且． （1）求的值； （2）若，且，求角的值． 18. 如图，某企业的两座建筑物AB，CD的高度分别为20m和40m，其底部BD之间距离为20m．为响应创建文明城市号召，进行亮化改造，现欲在建筑物AB的顶部A处安装一投影设备，投影到建筑物CD上形成投影幕墙，既达到亮化目的又可以进行广告宣传．已知投影设备的投影张角∠EAF为，投影幕墙的高度EF越小，投影的图像越清晰．设投影光线的上边沿AE与水平线AG所成角为α，幕墙的高度EF为y（m）． （1）求y关于α的函数关系式，并求出定义域； （2）当投影的图像最清晰时，求幕墙EF的高度． 19. （1）如图甲，在三角形中，与的夹角为，为线段中点，求线段的长度 （2）如图乙，在四边形中，与的夹角为，分别为的中点，求线段的长度． （3）如图丙，在四边形中，分别在边上，且与的夹角为，求向量与向量夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $