专题07 一次函数【重难点培优：知识梳理+11大题型+压轴真题】-2024-2025学年八年级数学下册人教版

专题07 一次函数知识梳理 1、两直线的位置关系： 两直线y1=k1x+b1，y2=k2x+b2 两直线平行时 k1=k2 两直线垂直时 k1k2=－1 关于y轴对称 y=kx+b和y=－kx+b 关于x轴对称 y=kx+b和y=－kx－b 2、关于k：|k|越大，一次函数图像越接近y轴，倾斜程度越大（越抖）。 3、判断两个一次函数的图像能否共存的方法： ① 正比例函数与b≠0的一次函数图像共存：经过原点的是正比例函数图像； ② 两个b≠0的一次函数图像共存：任选一个图像设其表示的函数为y1，另一个为y2，再依次观察选项中的函数图像，判断出k，b的符号。 4、一次函数中面积的求法： ① 公式法（直接求） ② 割补法（间接求） 5、一次函数与一元一次不等式的关系：ax+b＞0（a≠0）的解集 ax+b＞cx+d（a≠c，且ac≠0）的解集 y=ax+b的函数值＞y=cx+d时x的取值范围 y=ax+b的函数值＞0时x的取值范围 y=ax+b的图像位于x轴上方的点横坐标的取值范围 y=ax+b在y=cx+d的上方的点横坐标取值范围 重难点题型分类 【题型1：一次函数中的含参问题】 【题型2：一次函数中图像共存问题】 【题型3：一次函数中分段函数问题】 【题型4：一次函数中面积问题】 【题型5：一次函数中动点问题】 【题型6：一次函数中最值问题】 【题型7：一次函数中定值问题】 【题型8：一次函数中存在性问题】 【题型9：一次函数与方程、不等式综合】 【题型10：一次函数与几何综合】 【题型11：压轴真题】 一次函数中的含参问题题型1 1．关于函数（k为常数），有下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象不经过第一象限，则k的取值范围是： ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．若一次函数的图象不经过第四象限，则 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 3. 已知是一次函数，则的值是 4. 当 时，函数是一次函数． 5. 已知函数是一次函数，则 ． 6. 若函数是关于x的一次函数，则它的图象不经过第 象限． 7. 已知一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 8. 设一次函数，为常数，当时，该一次函数的最大值是5，则k的值为 ． 9．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． （1）求该函数的表达式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 一次函数中图像共存问题题型2 1. 一次函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2. 下图中表示一次函数与正比例函数 (m，n是常数，且)图象是（　　） A． B． C． D． 3．已知其，，则关于的一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．两个一次函数与（，为常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．一次函数与正比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 6．在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 一次函数中分段函数问题题型3 1．如图，在等腰中，，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为4，从顶点出发沿正方形的边运动，路线是，设点经过的路程为，的面积是，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 3．甲乙两人骑自行车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离（米）和骑行的时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法：A．；B．；C．甲的速度为8米/秒；D．当甲、乙相距50米时，甲出发了56秒或64秒；其中不正确的结论有（   ） A．0个 B．1个 C．2 D．3个 4．清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．在葡萄成熟之际，葡萄园推出采摘活动，不仅让人们吃到放心的葡萄，更能让孩子了解葡萄的相关知识，采摘园推出的方案是：采摘的数量超过后，超过的部分给予优惠，葡萄的购买数量与所付金额（元）存在如图所示的函数关系，王师傅用100元购买葡萄，他所购买的数量是（   ） A． B． C． D． 5．小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买圆规，于是又折回到刚经过的文具店，买到圆规后继续骑车去学校．如图是他本次上学过程中离家距离与所用时间的关系图，根据图象回答下列问题： (1)小明家到学校的路程是 米； (2)小明在文具店停留了 分钟； (3)本次上学途中，小明一共行驶了 米； (4)交通安全不容忽视，我们认为骑自行车的速度超过15千米/时就超过了安全限度．通过计算说明：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 6．某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册．该纪念册每册需要张大小一样的纸，其中张为彩页，张为黑白页．印制该纪念册的总费用y由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页元/张，黑白页元/张．印刷费与印数的关系如下表． 印数（千册） 彩色（元/张） 黑白（元/张） (1)印制这批纪念册需制版费多少元？ (2)求出关于的函数表达式． (3)如果该校希望印数至少为千册，总费用最多为元，求印数的取值范围（精确到千册） 一次函数中面积问题题型4 1．如图所示，点，的坐标分别为，，直线与坐标轴交于，两点． (1)求直线与交点的坐标． (2)请直接写出当时，的取值范围． (3)求四边形的面积． 2．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线m与直线n交于点． (1)求直线n的函数表达式； (2)连接，求的面积； (3)若点E在直线m上，且使得，求点E的坐标． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式： (2)若直线交轴负半轴于点，求的面积： (3)在轴负半轴上是否存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的函数关系式及的面积； (2)若点在直线上，的面积与的面积相等，请求出此时点的坐标． 5．如图1，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴、y轴分别交于D，C两点，并与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若P为直线上一动点，的面积，求点P的坐标； (3)如图3，直线上一点Q位于第三象限，以为斜边向右侧作等腰直角，直角顶点H恰好落在x轴上，请直接写出Q点的坐标． 一次函数中动点问题题型5 1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，点，点的解． (1)请直接写出A、B两点的坐标A（ ， ），B（ ， ）； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，连接，设点P的运动时间为t秒，△AOP的面积为S，用含t的式子表示△AOP的面积S； (3)在（2）的条件下，当时，点P停止运动，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，，当点P停止运动时，点M从点P出发以每秒0.5个单位长度的速度沿向终点C运动（当点M运动至点C时停止运动），连接、，求点M运动多少秒时，△AOP与△MBC的面积相等． 2．如图1，在长方形中，，点P从点A出发以秒的速度沿的路线匀速移动．随着点P的移动，三角形的面积会不断发生变化，它的面积变化情况如图2所示． (1)点P从点A出发，经过多少秒后到达点D？ (2)点P从点A出发，经过多少秒后三角形的面积恰好是？ 3．如图，一次函数与一次函数交于x轴上的同一点A，且一次函数交y轴于点B，一次函数交y轴于点C． (1)求k的值； (2)若点E是x轴上的一个动点，是以为腰的等腰三角形，求点E的坐标； (3)若点P是上的一个动点，若，求点P的坐标． 一次函数中最值问题题型6 1．如图1，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点、与直线交于点． (1)求直线与的解析式； (2)若点在射线上运动，连接，是否存在和的面积比为，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，若为直线上一动点，以为直角作等腰直角三角形，其中，．连接，，当周长最小时，求点的坐标． 2．如图，平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D． 【基础问题】 （1）求m，n的值； 【问题拓展】 （2）若P为直线上一点，当线段长度最小时，求出此时点P的坐标，并求出此时线段长度最小值． 3．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，与正比例函数的图象交于点C，将点C向右平移1个单位长度，再向下平移6个单位长度得到点D． (1)求的周长及点D的坐标； (2)若点P是y轴上一动点，当最小时，求点P的坐标； (3)若点Q为平面内一点，当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q的坐标． 一次函数中定值问题题型7 1．如图，已知直线经过点，交轴于点，轴于点，为线段的中点，动点从原点出发，以每秒1个位长度的速度沿轴正方向运动，连接，过点作直线FC的垂线交轴于点，设点的运动时间为秒．    (1)当时，求证：； (2)连接CD，若的面积为，求出与的函数关系式； (3)在运动过程中，直线CF交轴的负半轴于点，是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 2．如图1，已知在中，，边在轴上，点在轴上，，的坐标为，点是轴上一个动点，它的坐标是，，直线交直线于点．                      图1                                  图2 (1)求直线的表达式； (2)若，点为直线上一点，且平分，求的坐标； (3)如图，连接，以为直角边作等腰直角（、、三点按照逆时针顺序排列），使得，． ①试说明在点的运动过程中，的面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由； ②点从运动到的过程中，点的运动路径长为__________． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，，点在轴的负半轴上，且，点是线段上的动点（点不与，重合），以为斜边在直线的右侧作等腰． (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，点是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 一次函数中存在性问题题型8 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴负半轴交于点，且． (1)求点B与点C的坐标； (2)动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为（秒，的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 2．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，．    (1)求直线的解析式； (2)点为直线上一动点，若有，请求出点的坐标； (3)如图2，在轴负半轴有一点，将直线平移过点得直线，连接，若点为直线上一动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．    3．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点．且经过定点，直线与交于点． (1)求的面积； (2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由： (3)平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标（并请写出求出其中一个点的过程）． 一次函数与方程、不等式综合题型9 1．一次函数与的图像如图所示，下列说法①；②；③两个函数都是随的减小而增大；④的解集为；⑤．其中正确的是 ．（请填写序号）． 2．一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④其中正确的是 ． 3．如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：①；②；③不等式的解集是；④当时，．其中正确的有 ．（填上正确的序号）    4．平面直角坐标系中，直线与相交于点，有下列结论：    ①关于x，y的方程组的解是； ②关于x的不等式的解集是； ③关于x的方程的解是； ④． 其中，正确的是 （填写序号）． 5．如图，一次函数与的图象交于点．下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中，所有正确结论的序号是 ．    6．如图，直线y＝－x＋m与y＝nx＋b（n≠0）的交点的横坐标为－2，有下列结论：①当x＝－2时，两个函数的值相等；②b＝4n；③关于x的不等式nx＋b＞0的解集为x＞－4；④x＞－2是关于x的不等式－x＋m＞nx＋b的解集，其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 一次函数与几何综合题型10 1．如图，直线与轴、轴分别交于点和点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求： (1)求、两点坐标； (2)求坐标； (3)在轴上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 2．如图，四边形是平行四边形，其中点A坐标是，点O坐标是，点C坐标是． (1)求点B的坐标； (2)已知点D是线段上一个动点，若是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； (3)已知直线：正好将平行四边形分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式． 3．如图，是边长为的菱形，且．动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点，的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点，相距个单位长度时的值． 4．【问题提出】 已知直线的图象与轴、轴分别交于，两点． （1）如图①，当时，在第二象限构造等腰直角，，则点的坐标为__________； （2）如图②，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变化，请说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，长方形是某植物园一块郁金香种植区的平面示意图，经测量，米，米．现要在植物园修建一座凉亭点（凉亭大小忽略不计），并从种植区边沿出发修建两条通往凉亭的小路以便游客观赏．为方便确定点的位置，将长方形以原点为坐标原点，以所在边为轴，所在边为轴，建立平面直角坐标系．考虑植物园的整体布局，确定将凉亭点建在直线上比较美观．计划将点作为一条小路路口，在线段上找的一点作为另一条小路路口，要求凉亭点到两路口距离相等，且，求所有满足条件的点的坐标． 压轴真题题型11 1．（23-24八年级下·福建泉州·期末）若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东河源·期末）如表所示，取一次函数的部分自变量的值和对应的函数值，根据信息，下列说法正确的个数是（    ） 0 2024 ①；②当时；③；④不等式的解集是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24八年级下·北京平谷·期末）一次函数与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转，使点落在点处．平面内存在一点，若以点为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ． 5．（23-24八年级下·北京西城·期末）小华从家出发沿笔直的马路匀速步行去图书馆听讲座，几分钟后，爸爸发现小华忘带图书馆的出入卡，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小华，爸爸追上小华后以原速度沿原路回家．小华拿到出入卡后以原速度的倍快步赶往图书馆，并在从家出发时到达图书馆（小华被爸爸追上时交流的时间忽略不计）．在整个过程中，小华与爸爸之间的距离y与小华离家的时间x的对应关系如图所示．    （1）小华从家出发 时，爸追上小华； （2）图书馆离小华家 ． 6．（23-24八年级下·北京石景山·期末）一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． x … 0 1 2 … y … 0 1 2 … 给出下面四个结论： ①；②方程的解为；③一次函数的图象不经过第四象限；④若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 7．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，矩形的顶点坐标为，直线分别交轴、轴于、点，若线段上有一点，直线上有一点，是以为斜边的等腰直角三角形，则点P坐标为 ．   8．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求不等式的解集； (3)直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 9．（23-24八年级下·福建三明·期中）一次函数的图象与坐标轴交于点A，B，平分交轴于点，，垂足为D． (1)求的面积； (2)求点C、D的坐标； (3)若点E是线段上的一点，点F是线段上的一点，求的最小值． 10．（23-24八年级下·北京平谷·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与轴交于点． (1)求该函数解析式； (2)求的面积； (3)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 11．（23-24八年级下·北京怀柔·期末）一次函数图象与一次函数图象平行，且函数图象经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于自变量x的每一个值，一次函数的值均大于值，直接写出m的取值范围． 12．（23-24八年级下·北京西城·期末）对于函数（为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题， (1)当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示，观察函数图象可知：函数的图象关于______对称：对于函数，当______时，； (2)当时，函数为，对于函数，当时，的取值范围是______； (3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质． ①若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式； ②若点和都在函数的图象上，且，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 13．（23-24八年级下·北京平谷·期末）某品牌新能源汽车充满电后，电池中剩余电量（）与汽车行驶路程（）之间的关系如图所示（不计电池耗损及天气影响）．根据图象回答下列问题： (1)充满电最多可以行驶 ． (2)汽车每行驶消耗 ． (3)电池中的剩余电量不大于15（）时，汽车将自动报警．那么行驶多少千米后，汽车将自动报警？ (4)现有一台充满电的新能源汽车，小明驾驶此车行驶了，正好到达充电站，此时充电桩充电费用为元（），请你帮小明算一算此时将电车充满电需花费多少元？ 14．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标中，直线与x轴相交于点B，与直线相交于点A．    (1)求的面积； (2)点P为y轴上一点，当取最小值时，求点P的坐标， 15．（23-24八年级下·北京平谷·期末）已知：图形上任意一点，图形上任意一点，若点与点之间的距离始终足，则称图形与图形相离． (1)已知点． ①与直线为相离图形的点是 ； ②若直线与相离，求的取值范围． (2)设直线、直线及直线围成的图形为，图形是边长为2的正方形，且正方形的各边分别与两坐标轴平行，该正方形对角线的交点坐标为，直接写出图形与图形相离时的取值范围． 16．（22-23八年级下·山西阳泉·期末）综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C．    (1)直接写出k，b，m的值． (2)如图2，P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线，分别交直线，于点D，E，连接．设点P的坐标为． ①点D的坐标为 ，点E的坐标为 ；（用含n的代数式表示） ②当时，求点P的坐标． (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 18．（22-23八年级下·北京东城·期末）已知一次函数（，为常数且）的图象经过点和轴上一点，且与平行．    (1)求一次函数的表达式，并在平面直角坐标系内画出该函数的图象； (2)当时，请结合图象，直接写出的取值范围___________； (3)若点在直线上，且的面积等于，求点的坐标． 19．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于两点．的坐标分别为、，其中． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若点关于直线的对称点分别为、． 当时，若的面积为，试求的值； 当点恰好落在轴上时，试求：与的函数关系式． 20．（23-24八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴正半轴重合，点B的坐标为，且满足，与相交于点D，E为的中点，点P为线段上的一点，连接，点A关于直线的对称点为点，连接．    (1)请直接写出点B的坐标，并求出直线的解析式； (2)求线段长度的取值范围； (3)若直线与相交于点Q，在x轴负半轴有一动点，在y轴正半轴上有一动点，分别连接，且，请求出用与n之间的函数关系式． 21．（23-24八年级下·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，对于线段a，给出如下定义：直线：经过线段a的一个端点，直线：经过线段a的另一个端点．若直线与交于点P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”． (1)如图，线段a的两个端点分别为和，则在点，，中，线段a的“双线关联点”是　　　　　； (2)，是直线上的两个动点． ①点P是线段的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标； ②正方形的四个顶点的坐标分别为、、、，其中，当点A，B在直线上运动时，不断产生线段的“双线关联点”，若所有线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上，直接写出t的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一次函数重难点题型分类 【题型1：一次函数中的含参问题】 【题型2：一次函数中图像共存问题】 【题型3：一次函数中分段函数问题】 【题型4：一次函数中面积问题】 【题型5：一次函数中动点问题】 【题型6：一次函数中最值问题】 【题型7：一次函数中定值问题】 【题型8：一次函数中存在性问题】 【题型9：一次函数与方程、不等式综合】 【题型10：一次函数与几何综合】 【题型11：压轴真题】 一次函数中的含参问题题型1 1．关于函数（k为常数），有下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象不经过第一象限，则k的取值范围是： ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】①时，，因自变量x前面的系数不为0，则函数为一次函数，故①正确； ②无论k取什么值，时，总有，故函数过，故②正确； ③图像不经过第一象限，即图象经过二、三、四象限或二，四象限，则，解得：，故③错误； ④函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，解得：，故④正确． 故选：C． 2．已知一次函数（，k是常数），则下列结论正确的是（    ） A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2 B．若，则一次函数图象上任意两点和满足： C．若一次函数的图象不经过第四象限，则 D．若对于一次函数和，无论x取任何实数，总有，则k的取值范围是或 【详解】解：A、在一次函数的图象上， ， ， 一次函数为， 它的图象与两个坐标轴的交点为，， 图象与两个坐标轴围成的三角形面积是，故A错误，不合题意； B、， ， 随的增大而增大， ，故B错误，不合题意； C、， 一次函数的图象过定点， 一次函数的图象一定经过第三象限， 一次函数的图象不经过第四象限， 且， 解得：，故C错误，不合题意； D、对于一次函数和，无论取任何实数，总有， 直线与直线平行， 一次函数的图象过定点， 当时，， 解得， 当时，一定成立， 的取值范围是或，故D正确，符合题意． 故选：D． 3. 已知是一次函数，则的值是 【详解】解：由题意得：且， 解得：， ． 4. 当 时，函数是一次函数． 【详解】解：函数是一次函数， ， ， ， 故答案为：． 5. 已知函数是一次函数，则 ． 【详解】解：函数是一次函数， ， 解得， 故． 故答案为：． 6. 若函数是关于x的一次函数，则它的图象不经过第 象限． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， ∴函数的解析式为， ∵，， ∴函数的图象不经过第二象限． 故答案为：二． 7. 已知一次函数的图象不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 【详解】解：一次函数的图象不经过第三象限， 解得：． 故答案为：． 8. 设一次函数，为常数，当时，该一次函数的最大值是5，则k的值为 ． 【详解】解：当时，随的增大而增大， ∴当时，，解得：， 当时，随的增大而减小， ∴当时，，解得：（舍去）； 故答案为：． 9．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． （1）求该函数的表达式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【解题过程】 （1）解：将、代入函数表达式可得： ， 解得， 则函数的表达式为， 依题得，过点且平行于轴的直线为， 是该函数与过点且平行于轴的直线的交点， ， 解得，， 即． （2）解：当直线过点时， 即把代入， 得， ， 当时，对于的每一个值，的值大于的值，   ， 解得， 当与直线平行时，， 此时，满足条件， 且当时，不满足条件， 即． 一次函数中图像共存问题题型2 1. 一次函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：A、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴正半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； B、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； C、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象上升、且与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； D、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象下降、且与轴负半轴相交，图②能表示一次函数图象，该选项符合题意； 故选：D． 2. 下图中表示一次函数与正比例函数 (m，n是常数，且)图象是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴正比例函数的图象分布在二四象限，且经过原点， ∴B，D错误； ∵一次函数， ∴图象与y轴交点为，与x轴的交点为， ∵， ∴即交点位于x轴的正半轴上， ∴A错误，C正确． 故选C． 3．已知其，，则关于的一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A、如图：当一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，，此时的图象也经过第一、二、三象限，所以A选项不符合题意； B、如图：当一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，此时的图象经过第一、二、四象限，所以B选项符合题意； C、如图：当一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，此时的图象经过第一、三、四象限，所以C选项不符合题意； D、如图：当一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，此时的图象经过第一、二、四象限，所以D选项不符合题意； 故选：B． 4．两个一次函数与（，为常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】A、的图象过一二三象限，所以，；的图象过二三四象限，由此判断，，由两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； B、的图象过一二三象限，所以，；的图象过一三四象限，所以，，两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； C、的图象过一三四象限，所以，；的图象过一二四象限，所以，，两个图象判断a、b的取值一致，故该选项符合题意； D、的图象过一二四象限，所以，；的图象过二三四象限，所以，，两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； 故选：C． 5．一次函数与正比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A、正比例函数与一次函数的自变量系数互为相反数．故选项A不符合题意； B、正比例函数与一次函数的自变量系数互为相反数．故选项B不符合题意； C、正比例函数图象经过第一、三象限，则，那么一次函数经过二、三、四象限，故选项C不符合题意； D、正比例函数图象经过第二、三象限，则，那么一次函数经过一、二、三象限，故选项D符合题意． 故选：D． 6．在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵正比例函数与一次函数的比例系数都是， ∴两直线平行， ∴排除选项C和选项D， ∵当时，经过一、二、三象限，当时，经过二、三、四象限， ∴排除B选项，正确答案为A选项． 故选：A． 一次函数中分段函数问题题型3 1．如图，在等腰中，，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的值为（     ） A． B． C． D． 【详解】解：过作于点，由函数图象可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，正方形的边长为4，从顶点出发沿正方形的边运动，路线是，设点经过的路程为，的面积是，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：当点在时，则：时， ， 图象为过原点，方向向上的一条直线的一部分， 当点在上时，则：， ， 图象为平行于轴的一条直线的一部分， 当点在上时，则：， ， 图象为方向向下的一条直线的一部分， 综上，满足题意的只有选项A的图象； 故选A． 3．甲乙两人骑自行车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离（米）和骑行的时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法：A．；B．；C．甲的速度为8米/秒；D．当甲、乙相距50米时，甲出发了56秒或64秒；其中不正确的结论有（   ） A．0个 B．1个 C．2 D．3个 【详解】解：由函数图象可得，甲的速度为(米/秒)，故错误； 乙的速度为(米/秒)， ∴，故错误，正确； 设当甲、乙相距米时，甲出发了秒， 当两人相遇前相距米时，得， 解得， 两人相遇后相距米时，得， 解得， ∴当甲、乙相距米时，甲出发了秒或秒，故错误； 则不正确的有3个， 故选：D． 4．清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．在葡萄成熟之际，葡萄园推出采摘活动，不仅让人们吃到放心的葡萄，更能让孩子了解葡萄的相关知识，采摘园推出的方案是：采摘的数量超过后，超过的部分给予优惠，葡萄的购买数量与所付金额（元）存在如图所示的函数关系，王师傅用100元购买葡萄，他所购买的数量是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：根据图示，当时，， ∵王师傅用100元购买葡萄， ∴王师傅购买的葡萄数量应超过， 已知点， ∴设由此函数解析式为：， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∵王师傅用100元购买葡萄， ∴，解得：， ∴王师傅购买的数量为． 故选：B ． 5．小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买圆规，于是又折回到刚经过的文具店，买到圆规后继续骑车去学校．如图是他本次上学过程中离家距离与所用时间的关系图，根据图象回答下列问题： (1)小明家到学校的路程是 米； (2)小明在文具店停留了 分钟； (3)本次上学途中，小明一共行驶了 米； (4)交通安全不容忽视，我们认为骑自行车的速度超过15千米/时就超过了安全限度．通过计算说明：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？ 【详解】（1）解：由图象可得，小明家到学校的路程是1800米， 故答案为：1800； （2）解：小明在书店停留了（分钟）， 故答案为：3； （3）解：本次上学途中，小明一共行驶了： （米）， 故答案为：3000； （4）解：当时间在分钟内时，速度为：（米/分）， 当时间在分钟内时，速度为：（米/分）， 当时间在分钟内时，速度为：（米/分）， 15千米/时米/分， ∵， ∴在分钟时间段小明的骑车速度最快，不在安全限度内． 6．某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册．该纪念册每册需要张大小一样的纸，其中张为彩页，张为黑白页．印制该纪念册的总费用y由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页元/张，黑白页元/张．印刷费与印数的关系如下表． 印数（千册） 彩色（元/张） 黑白（元/张） (1)印制这批纪念册需制版费多少元？ (2)求出关于的函数表达式． (3)如果该校希望印数至少为千册，总费用最多为元，求印数的取值范围（精确到千册） 【详解】（1）解：制版费：(元)， 答：印制这批纪念册的制版费为元； （2）解：当时，； 当时，， 关于的函数表达式为； （3）解：当时，， 解得：， ； 当时，， 解得， ， 印数的取值范围为或． 一次函数中面积问题题型4 1．如图所示，点，的坐标分别为，，直线与坐标轴交于，两点． (1)求直线与交点的坐标． (2)请直接写出当时，的取值范围． (3)求四边形的面积． 【详解】（1）解：∵直线：过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式是， 解方程组， 得：， ∴点的坐标是； （2）由图象可知：当时，的图象在的图象的上方， ∴不等式的解集； （3）对于直线， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，点到轴的距离为， ∴， ∴四边形的面积为． 2．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，直线m与直线n交于点． (1)求直线n的函数表达式； (2)连接，求的面积； (3)若点E在直线m上，且使得，求点E的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点， ∴把代入， 得，解得， ∴， ∵直线经过点， ∴， 解得； ∴直线的函数表达式． （2）解：在中，令， 得， ∴， ∴； （3）解：当点在直线的下方时， ， 点到直线的距离等于点到直线的距离， 直线为：， 解，得， 点的坐标为， 当点在直线的上方时， 则过点与直线平行的直线交轴于点，则有， ∴， ∴， ∴过点与直线平行的直线的解析式为， 联立方程， 解得， 点的坐标为． ∴点的坐标为或． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式： (2)若直线交轴负半轴于点，求的面积： (3)在轴负半轴上是否存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴，解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：设， ∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴； （3）解：存在， 由题意得， ∴可分两种情况考虑， 如图所示．当时， ∴点的坐标为； 当时， ， ∴点的坐标为． 综上所述：在轴负半轴上存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为或． 4．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的函数关系式及的面积； (2)若点在直线上，的面积与的面积相等，请求出此时点的坐标． 【详解】（1）解：设直线的函数关系式为：， 把分别代入得 , 解得：． 则直线的函数关系式为：； ，当时，， ， ， 的面积． （2）解：如图所示，点， ， ， 的面积与的面积相等， 到轴的距离点的纵坐标2， 点的横坐标为2或； 当的横坐标为2时， 在中，当时，，则的坐标是； 当的横坐标为时， 在中，当时，，则的坐标是． 综上所述：点的坐标为或． 5．如图1，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴、y轴分别交于D，C两点，并与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若P为直线上一动点，的面积，求点P的坐标； (3)如图3，直线上一点Q位于第三象限，以为斜边向右侧作等腰直角，直角顶点H恰好落在x轴上，请直接写出Q点的坐标． 【详解】（1）解：把点代入得， ， 把代入得， ， 直线的解析式为； （2）在中，令，则， ， 在中，令，则， ， ∴ 设， ， ，或 解得或， 或； （3）在中，令，则， ， ， 设， 过Q作轴于， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 点的坐标为． 一次函数中动点问题题型5 1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，点，点的解． (1)请直接写出A、B两点的坐标A（ ， ），B（ ， ）； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，连接，设点P的运动时间为t秒，△AOP的面积为S，用含t的式子表示△AOP的面积S； (3)在（2）的条件下，当时，点P停止运动，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，，当点P停止运动时，点M从点P出发以每秒0.5个单位长度的速度沿向终点C运动（当点M运动至点C时停止运动），连接、，求点M运动多少秒时，△AOP与△MBC的面积相等． 【详解】（1）解：， 解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 当时，点P在x轴的正半轴，此时， ∴； 当时，点P在x轴的负半轴，此时， ∴； 终上所述，； （3）解：当时，，此时， ∵点B的坐标为，， ∴， 如图，当点M在上时， ∴， 即，解得：， 此时点M运动的时间为； 如图，当点M在上时，过点M作轴于点N，此时点M到x轴的距离为，即， 根据题意得：， 在中，， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴点M运动的时间为； 综上所述，点M运动或秒时，与的面积相等． 2．如图1，在长方形中，，点P从点A出发以秒的速度沿的路线匀速移动．随着点P的移动，三角形的面积会不断发生变化，它的面积变化情况如图2所示． (1)点P从点A出发，经过多少秒后到达点D？ (2)点P从点A出发，经过多少秒后三角形的面积恰好是？ 【详解】（1）解：由图2知，点P运动3秒时到达B点， 又∵点P的运动速度是秒， ∴． 又∵， ∴． 又∵四边形是长方形， ∴． ∴， ∴（秒）． ∴点P从点A出发，经过11秒后到达点D． （2）解：由（1）知，， 当点P在上运动时，的面积恒为：． 又，故不符合题意； 当点P在边上时， ， （秒）． 当点P在边上时， ， （秒）． 综上所述，经过秒或秒后三角形的面积恰好是． 3．如图，一次函数与一次函数交于x轴上的同一点A，且一次函数交y轴于点B，一次函数交y轴于点C． (1)求k的值； (2)若点E是x轴上的一个动点，是以为腰的等腰三角形，求点E的坐标； (3)若点P是上的一个动点，若，求点P的坐标． 【详解】（1）解：在中，令得, ∴， 把代入得： 解得， ∴的值为； （2）解：设, 在中，令得， ∴, 在中，令得， ∴， ∴，，； 当，为腰时，， 方程无解，这种情况不存在； 当，为腰时，， 解得或， ∴是以为腰的等腰三角形时，点的坐标为或 （3）解：当在直线右侧时，如图： ∵， ∴轴， 在中，令得， 解得， ∴； 当在左侧时，设交轴于，如图： ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， 由，得直线解析式为， 联立， 解得， ∴； 综上所述，的坐标为或． 一次函数中最值问题题型6 1．如图1，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点、与直线交于点． (1)求直线与的解析式； (2)若点在射线上运动，连接，是否存在和的面积比为，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，若为直线上一动点，以为直角作等腰直角三角形，其中，．连接，，当周长最小时，求点的坐标． 【详解】（1）解：将点B的坐标代入直线的表达式为：， 即直线的表达式为：， 当时，，即点， 将点的坐标代入直线的表达式得：，则， 故直线的表达式为：； （2）存在，理由： 当点线段在上时， 当和的面积比为，则， 则， 当， 解得：， 则点的坐标为：； 当点在点的上方时， 则点是的中点， 由中点坐标公式得：点； 综上，点的坐标为：或； （3）设点， 过点作轴于点，过点作轴于点， ，则， ， ， ，， ， 则，， 则点的坐标为：， 则点在直线①上，设该直线分别交轴于点，以为边向右作正方形，由直线的表达式轴， 其和轴负半轴的夹角为，则点落在直线上，点关于直线的对称点为点， 由直线知，点，则，则点， 连接交直线于点，则此时，周长最小， 理由：周长为最小， 由点、的坐标得，直线的表达式为：②， 联立①②得：， 解得：， 解得：， 则点的坐标为：． 2．如图，平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D． 【基础问题】 （1）求m，n的值； 【问题拓展】 （2）若P为直线上一点，当线段长度最小时，求出此时点P的坐标，并求出此时线段长度最小值． 【详解】解：∵点在直线上， ∴ ∴，         ∴                                 ∵点在直线上上， ∴ ∴．                                 （2）过点A作直线的垂线，垂足为P，此时线段最短，过点P作y轴的垂线，垂足为M．             ∴， 由直线知，时， 时， ∴点，点                     ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴                                 由直线知，当时，， 即直线与y轴交点， ∴ ∴， ∴，                         ∴，                                 ∴．                            ∴ 3．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，与正比例函数的图象交于点C，将点C向右平移1个单位长度，再向下平移6个单位长度得到点D． (1)求的周长及点D的坐标； (2)若点P是y轴上一动点，当最小时，求点P的坐标； (3)若点Q为平面内一点，当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q的坐标． 【详解】（1）解：对于函数 ， 当时， ， 当时，，解得：， 、， 在中，， 的周长为， 联立，解得， 点坐标为， 又将点向右平移1个单位，再向下平移6个单位得到点， 点坐标为； （2）解：作点关于 轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时最小， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 的坐标为， 即当最小时，点的坐标为； （3）解：分三种情况： ①当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为时，即点Q在处， ∵， ∴，， ∵， ∴向右平移2个单位，向上平移3个单位，可得， ∵ ∴， ②当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为时，即点Q在处， 同理可得点； ③当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为时，即点Q在处， 同理可得点； 综上，当以O，C，Q，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，点Q的坐标为或或． 一次函数中定值问题题型7 1．如图，已知直线经过点，交轴于点，轴于点，为线段的中点，动点从原点出发，以每秒1个位长度的速度沿轴正方向运动，连接，过点作直线FC的垂线交轴于点，设点的运动时间为秒．    (1)当时，求证：； (2)连接CD，若的面积为，求出与的函数关系式； (3)在运动过程中，直线CF交轴的负半轴于点，是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【详解】（1）证明：连接，如图    直线经过点， ， 解得： 直线， 当时，；当时，； ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 为线段的中点， ，， ， ， 在和中 ， ， （2）当时，连接，如图所示∶    由题意得：，，由（1）得： ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 得面积， ， ， 当时，连接，如图    由题意得：，，由（1）得： ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 得面积， ， ， 综上所述，与的函数关系式为： （3）的定值为，理由如下： 当时，如图所示：    当设直线的解析式为，， ，F为线段的中点， ， 把点代入得， 解得： 直线CF的解析式为：， 当时，， ， ， ； 当时，如图所示：    同理可得： ， 综上所述，的定值为 2．如图1，已知在中，，边在轴上，点在轴上，，的坐标为，点是轴上一个动点，它的坐标是，，直线交直线于点．                      图1                                  图2 (1)求直线的表达式； (2)若，点为直线上一点，且平分，求的坐标； (3)如图，连接，以为直角边作等腰直角（、、三点按照逆时针顺序排列），使得，． ①试说明在点的运动过程中，的面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由； ②点从运动到的过程中，点的运动路径长为__________． 【详解】（1）解：∵，的坐标为，， ∴，， ∴，， ∴的坐标为，的坐标为， 设直线的解析式为：， ∵直线的解析式为：过和， ∴， 解得， ∴； （2）解： 又 ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 是的中点， 设直线的解析式为：， ∵直线的解析式为：过和， ∴， 解得， ∴表达式为：， 设直线为：， ∵直线为：过和， ∴， 解得， ∴表达式为： 联立 解得， ， 设 ， 解得， ∴； （3）解：①作，，垂足为、， （Ⅰ）当在上方时， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ， ， ，， ∴， ， 轴， （Ⅱ）当在下方 同理证得 ∴在经过点且平行于轴的直线上运动 ∴； ②当与点重合时，点与点重合，点与点重合， 由①得，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当与点重合时，、、三点重合， 由①得， ∴， ∴点M的运动路径长为． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，，点在轴的负半轴上，且，点是线段上的动点（点不与，重合），以为斜边在直线的右侧作等腰． (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，点是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 【详解】（1）解：在中， 令，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为， 设直线发表达式为， 则 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）设， 在等腰中， ， ∵点，， ∴， ∴， 在中， 令，得， 解得， ∴点的坐标为， ∴ ， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴，    ∴点的坐标为； （3）的大小是定值，， 理由如下： 延长到点，使得，连接，， 设，， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，       ∴． 一次函数中存在性问题题型8 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴负半轴交于点，且． (1)求点B与点C的坐标； (2)动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为（秒，的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）当时，， ， 当时，， ， ， ， ， ； （2），动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动， ， ， ， ，且； （3）存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，理由如下： 如图1，当时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 解得； 如图2，当时，过点作轴交于点， 同理可得， ，， ， ， 解得； 综上所述：的值为或5． 2．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，．    (1)求直线的解析式； (2)点为直线上一动点，若有，请求出点的坐标； (3)如图2，在轴负半轴有一点，将直线平移过点得直线，连接，若点为直线上一动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ， ， ， ， 将代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：． （2）联立方程组：， 解得：， ∴， ， ∴， 过点作轴垂线交于点，如图： 设，则， ， ∴， 或， ∴或． （3）存在，理由如下： 由（1）得：， 令，则， ， ， ， ， ， ， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， ， ， ∵将直线平移过点得直线，直线的解析式， ∴设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 直线的解析式为：． 当时，， ∴， 当点M在y轴右侧时，作点E关于y轴的对称点F，连接并延长交于点M，如图所示： ∴， ∴， ∴，符合题意， 设直线的函数解析式为，将点B、M代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 联立， 解得：， ∴； 当点M在y轴左侧时，过点B作轴交交于点M，如图所示： ∵， ， ， ∵，直线的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴， 综上可得：或 ． 3．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点．且经过定点，直线与交于点． (1)求的面积； (2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由： (3)平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标（并请写出求出其中一个点的过程）． 【详解】（1）∵直线 与x轴交于点A，且经过定点， ∴， 解得：， ∴直线． ∵直线经过点， ∴， ∴， 把代入，得到． ∴， 对于直线，令，得到， ∴， ∴． 对于直线，令，得到， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：在x轴上存在一点E，使的周长最短． 如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则的周长最短． 根据轴对称图形的性质可知的坐标为． 设直线的函数解析式为． 将代入，得 ， 解得， ∴直线的函数解析式为． 令，得到， 解得，， ∴点E的坐标为． （3）解：，，， ， 当为平行四边形的边时，， ∴ ∴点的横坐标为：或， 点Q的坐标为或， 当为平行四边形的对角线时，， 点C向右平移2个单位，向下平移2个单位到点A， 则点D向右平移2个单位，向下平移2个单位到点Q， ∴点Q的坐标为，即； 综上，点Q的坐标为或或． 一次函数与方程、不等式综合题型9 1．一次函数与的图像如图所示，下列说法①；②；③两个函数都是随的减小而增大；④的解集为；⑤．其中正确的是 ．（请填写序号）． 【详解】解：由函数图像可得：， ∴，故①错误，②正确； 由函数图像可得：两个函数都是随的减小而增大，即③正确； 由函数图像可知不等式的解集为，故④正确； 由函数图像可知：一次函数与的图像交点的横坐标为，则，即，即⑤正确； 综上正确的有②③④⑤． 故答案为：②③④⑤． 2．一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④其中正确的是 ． 【详解】解：由图象可得：，，，，两直线交点的横坐标为4， ， 对于函数来说，y随x的增大而增大，故①正确； ，， 函数经过第一、二、三象限，故②错误； 由图可得，当时，直线在直线的上方， 的解集为， 的解集是，故③正确； 两直线交点的横坐标为4， ， ，故④正确； 综上可知，正确的有①③④． 3．如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：①；②；③不等式的解集是；④当时，．其中正确的有 ．（填上正确的序号）    【详解】解：因为正比例函数经过二、四象限，所以，①正确； 一次函数经过一、二、三象限，所以，②错误； 由图象可得：不等式的解集是，③正确； 当时，，④错误； 故正确的有①③共2个， 故答案为：①③． 4．平面直角坐标系中，直线与相交于点，有下列结论：    ①关于x，y的方程组的解是； ②关于x的不等式的解集是； ③关于x的方程的解是； ④． 其中，正确的是 （填写序号）． 【详解】∵直线与相交于点， ∴关于x，y的方程组的解是，关于x的方程的解是，关于x的不等式的解集是， 当时，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∵ ∴ 故， 故①②③正确；④错误， 故答案为：①②③． 5．如图，一次函数与的图象交于点．下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中，所有正确结论的序号是 ．    【详解】由一次函数图像可知：，，由一次函数图像可知：，所以①错误， ∴，故②正确， 观察图像交点情况，交点的横坐标为1，自变量时，图像位于图像上方，即当时，，故③错误，同时因为交点横坐标为1，代入两解析式可得，故④正确， 由当时一次函数图像上的对应点在第三象限，即时，代入得：，即，故⑤正确， 故答案为②④⑤． 6．如图，直线y＝－x＋m与y＝nx＋b（n≠0）的交点的横坐标为－2，有下列结论：①当x＝－2时，两个函数的值相等；②b＝4n；③关于x的不等式nx＋b＞0的解集为x＞－4；④x＞－2是关于x的不等式－x＋m＞nx＋b的解集，其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【详解】解：①∵直线y=-x+m与y=nx+b（n≠0）的交点的横坐标为-2， ∴当x=-2时，两个函数的值相等，结论①正确； ②∵点（-4，0）在直线y=nx+b上， ∴-4n+b=0， ∴b=4n，结论②正确； ③∵当x＞-4时，直线y=nx+b在x轴上方， ∴关于x的不等式nx+b＞0的解集为x＞-4，结论③正确； ④∵当x＞-2时，直线y=nx+b在直线y=-x+m的上方， ∴x＞-2是关于x的不等式-x+m＜nx+b的解集，结论④错误． 故答案为：①②③． 一次函数与几何综合题型10 1．如图，直线与轴、轴分别交于点和点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求： (1)求、两点坐标； (2)求坐标； (3)在轴上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 【详解】（1）解：， 令，则；，则； ，； （2）解：，， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； （3）解：由（2）知，， ； 以点M为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， ； ； 以点为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， 或， 或； 如图：作线段的垂直平分线交x轴于一点P，此时，， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； 综合上述，点P的坐标为或或或． 2．如图，四边形是平行四边形，其中点A坐标是，点O坐标是，点C坐标是． (1)求点B的坐标； (2)已知点D是线段上一个动点，若是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； (3)已知直线：正好将平行四边形分成面积相等的两部分，请直接写出k与b的函数关系式． 【详解】（1）解：点A坐标是，点O坐标是， ， 平行四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：点是线段上一个动点， 设， 是等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时，则点在的垂直平分线上， ； ③时， ， （不符合题意，舍去）， 综上所述，或； （3）解：如图：连接交于， 平行四边形， 点A坐标是，点坐标是， ， 由于正好将平行四边形分成面积相等的两部分， 直线过， ， ， 故． 3．如图，是边长为的菱形，且．动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点，的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点，相距个单位长度时的值． 【详解】（1）解：当时，点分别在上运动，连接 ∵动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发， ∴ 又∵ ∴等边三角形， ∴ 当时，点分别在上运动， ∵四边形是菱形，是边长为的菱形， ∴， ∵动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发， ∴ ∴ ∴等边三角形， ∴ ∴ （2）如图所示， 该函数是轴对称图形，对称轴是直线； 该函数在自变量范围内有最值，当或时，函数有最小值；当时，函数有最大值； 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． （选择其中之一即可） （3）解：当时，     当时，， 当时，，解得： ∴或 4．【问题提出】 已知直线的图象与轴、轴分别交于，两点． （1）如图①，当时，在第二象限构造等腰直角，，则点的坐标为__________； （2）如图②，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变化，请说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，长方形是某植物园一块郁金香种植区的平面示意图，经测量，米，米．现要在植物园修建一座凉亭点（凉亭大小忽略不计），并从种植区边沿出发修建两条通往凉亭的小路以便游客观赏．为方便确定点的位置，将长方形以原点为坐标原点，以所在边为轴，所在边为轴，建立平面直角坐标系．考虑植物园的整体布局，确定将凉亭点建在直线上比较美观．计划将点作为一条小路路口，在线段上找的一点作为另一条小路路口，要求凉亭点到两路口距离相等，且，求所有满足条件的点的坐标． 【详解】（1）如图①，过点作轴于点， 当时，直线的解析式为， 令，则，令，则， 解得：， ，， ，， 在等腰直角中，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 故答案为：； （2）的面积不变， 如图②，过点作轴于点， 在中，令，则， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即的面积不变，其面积为； （3）如图③，过点作轴于点，并延长交于点， 则， 米，米， ， 设，则，， ，， ， ， ， ， ， 由题意可得：， 在和中， ， ， ，即， 解得：， ， ． 压轴真题题型11 1．（23-24八年级下·福建泉州·期末）若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：根据不等式的解集是， ∴一次函数图象大致如图， 根据图象可知一次函数与轴交点为， ∴根据一次函数的图象及性质可得点有可能在图象上， 故选：． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：直线过点， ， ， ， 如图所示：关于的不等式的解是：． 故选：D． 3．（23-24八年级下·广东河源·期末）如表所示，取一次函数的部分自变量的值和对应的函数值，根据信息，下列说法正确的个数是（    ） 0 2024 ①；②当时；③；④不等式的解集是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：①由表格可知，时，， ∴， 即．故本选项说法正确，符合题意； ②由表格可知，时，，且y随x的增大而增大， ∴当时，故本选项说法正确，符合题意； ③由表格可知，时，，即， ∴，故本选项说法错误，不符合题意； ④由表格可知，时，，且y随x的增大而增大， ∴不等不等式的解集是，故本选项说法正确，符合题意； 综上所述，说法正确的有3个． 故选：C 4．（23-24八年级下·北京平谷·期末）一次函数与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转，使点落在点处．平面内存在一点，若以点为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ． 【详解】解∶当时，， 当时，，∴， ∴，， ∴， 过M作轴于C， ∵线段绕点逆时针旋转，使点落在点处． ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设， ①以、为对角线， 则， 解得， ∴； ②以、为对角线， 则， 解得， ∴； ③以、为对角线， 则， 解得， ∴； 综上，当点N的坐标为或或时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或或． 5．（23-24八年级下·北京西城·期末）小华从家出发沿笔直的马路匀速步行去图书馆听讲座，几分钟后，爸爸发现小华忘带图书馆的出入卡，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小华，爸爸追上小华后以原速度沿原路回家．小华拿到出入卡后以原速度的倍快步赶往图书馆，并在从家出发时到达图书馆（小华被爸爸追上时交流的时间忽略不计）．在整个过程中，小华与爸爸之间的距离y与小华离家的时间x的对应关系如图所示．    （1）小华从家出发 时，爸追上小华； （2）图书馆离小华家 ． 【详解】解：（1）由图像可得出时间为的时候，小华与爸爸之间的距离y为0， 即小华从家出发时，爸爸追上小华； 故答案为：10． （2）设小华原来的速度为，爸爸的速度为， 则小华后来的速度为 根据函数关系图可得出：， 解得：， ∴小华原来的速度为，后来的速度为：， ∴图书馆离小华家 故答案为：1760． 6．（23-24八年级下·北京石景山·期末）一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． x … 0 1 2 … y … 0 1 2 … 给出下面四个结论： ①；②方程的解为；③一次函数的图象不经过第四象限；④若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【详解】解：根据题意得：当时，，当时，， ∴方程的解为，故②错误； ，解得：， ∴该一次函数解析式为， ∴，随的增大而增大，图像经过一、二、三象限，不经过第四象限，故①、③选项正确； 当时，， ∵，随的增大而增大，当时，， ∴若，则，故④正确， 故答案为：①③④ 7．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，矩形的顶点坐标为，直线分别交轴、轴于、点，若线段上有一点，直线上有一点，是以为斜边的等腰直角三角形，则点P坐标为 ．   【详解】当点、在两侧时，过点作于，作于，如图1所示． ， ， ． 是以为斜边的等腰直角三角形， ． 在和中，， ， ，． 设点，则，，， ， 解得：， ，， 点； 当点、在同侧时，过点作于，作于，如图2所示． ， ． ，， ． 是以为斜边的等腰直角三角形， ． 在和中，， ， ，． 设点，则，，， ，解得：， ，， 点． 综上所述：点坐标为或． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求不等式的解集； (3)直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【详解】（1）解：∵直线经过点，， ∴， 解得：， ∴直线AB的函数表达式为：； （2）解：当时，，解得， ∴， 根据函数图象可知，不等式的解集是：． 故答案为：； （3）解：联立， 解得：， ∴点D的坐标为， 把代入得：， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，，此时点P的坐标为； 当时，，此时点P的坐标为； 综上分析可知，点P的坐标为或． 9．（23-24八年级下·福建三明·期中）一次函数的图象与坐标轴交于点A，B，平分交轴于点，，垂足为D． (1)求的面积； (2)求点C、D的坐标； (3)若点E是线段上的一点，点F是线段上的一点，求的最小值． 【详解】（1）解：将代入得， ，即， 将代入得， ，即， ； （2）解：如图，    设长为，则， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 在中，，即， 解得， ， ； ， ，， ， 即， 解得， 将代入得， 解得， ． （3）解：如图，连接，    平分，， 点，关于对称， ， ， 即到轴距离为最小值， 的最小值为． 10．（23-24八年级下·北京平谷·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与轴交于点． (1)求该函数解析式； (2)求的面积； (3)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴该一次函数的表达式为， （2）解：如图所示， 令，则， ∴， ∴， ∵ ∴； （3）解：令，则， ∴， ∴如图所示，直线与直线交点的坐标为， ∴当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ∵， ∴根据图象知， 时符合题意． 11．（23-24八年级下·北京怀柔·期末）一次函数图象与一次函数图象平行，且函数图象经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于自变量x的每一个值，一次函数的值均大于值，直接写出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与一次函数图象平行， ∴． ∵一次函数的图象经过点， ∴． ∴； （2）解： 一次函数图象经过点， 把点代入，得， 解得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值均大于一次函数的值， ∴． 12．（23-24八年级下·北京西城·期末）对于函数（为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题， (1)当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示，观察函数图象可知：函数的图象关于______对称：对于函数，当______时，； (2)当时，函数为，对于函数，当时，的取值范围是______； (3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质． ①若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式； ②若点和都在函数的图象上，且，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 【详解】（1）解：由题意，结合图象可得，函数的图象关于y轴对称， 又令 ， 或， 故答案为：y轴，或； （2）解：函数的图象如图： 当时，， 当时，， 当时，， 结合图象可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：； （3）解： 结合图象可得，若，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象； ∴的图象关于对称， ∴点关于的对称点为， ∵若点和都在函数的图象上，且 解得：． 13．（23-24八年级下·北京平谷·期末）某品牌新能源汽车充满电后，电池中剩余电量（）与汽车行驶路程（）之间的关系如图所示（不计电池耗损及天气影响）．根据图象回答下列问题： (1)充满电最多可以行驶 ． (2)汽车每行驶消耗 ． (3)电池中的剩余电量不大于15（）时，汽车将自动报警．那么行驶多少千米后，汽车将自动报警？ (4)现有一台充满电的新能源汽车，小明驾驶此车行驶了，正好到达充电站，此时充电桩充电费用为元（），请你帮小明算一算此时将电车充满电需花费多少元？ 【详解】（1）解：由函数图像可知：充满电最多可以行驶 ． 故答案为：500； （2）解：汽车每行驶消耗． 故答案为：12； （3）解：设与x的函数关系式为：， 把代入，可得，解得：． ∴此函数解析式； 当时，可得：，解得：． 答：行驶375米后，汽车将自动报警． （4）解：当时，， 则将电车充满电需花费． 答：将电车充满电需花费元． 14．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标中，直线与x轴相交于点B，与直线相交于点A．    (1)求的面积； (2)点P为y轴上一点，当取最小值时，求点P的坐标， 【详解】（1）解：， ，即， 联立， 解得：， 点的坐标为， 的面积为：； （2）解：作点关于轴的对称点，连接，交y轴于点，    ， ， 此时，三点共线，有最小值， ，， 设直线的解析式为， 代入，，的坐标得， 解得：， 直线的解析式为， 令，得， 点使最小． 15．（23-24八年级下·北京平谷·期末）已知：图形上任意一点，图形上任意一点，若点与点之间的距离始终足，则称图形与图形相离． (1)已知点． ①与直线为相离图形的点是 ； ②若直线与相离，求的取值范围． (2)设直线、直线及直线围成的图形为，图形是边长为2的正方形，且正方形的各边分别与两坐标轴平行，该正方形对角线的交点坐标为，直接写出图形与图形相离时的取值范围． 【详解】（1）解：①∵点， ∴当时，， ∴点A不在直线上， 同理，点不在直线上，点，点在直线上， ∴与直线相离的点是C，D； 故答案为：C，D； ②当直线过点时， ∴, 解得：． 当直线过点时， ∴， 解得：． ∴b的取值范围是或． （2）解：如图所示： 图形与图形相离时的取值范围是或或． 16．（22-23八年级下·山西阳泉·期末）综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C．    (1)直接写出k，b，m的值． (2)如图2，P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线，分别交直线，于点D，E，连接．设点P的坐标为． ①点D的坐标为 ，点E的坐标为 ；（用含n的代数式表示） ②当时，求点P的坐标． (3)在（2）的条件下，线段上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：把代入，得，解得：， 即直线的解析式为：， 把代入，得，解得：， 即， 把代入，得，解得：； （2）①∵，过点P作y轴的垂线，分别交直线，于点D，E， ∴对于，当时，，可得，即：， 对于，当时，，可得，即：， 故答案为：，； ②由①知，，则， ∵， ∴， 当时，即：，解得：或， 此时，点的坐标为或； （3）由（2）可知点的坐标为或， 当点的坐标为时，此时点，则， ∵，点在线段上，且 ∴，即：，解得：， ∴，即，    当点的坐标为时，此时点，则， ∵，点在线段上，且 ∴，即：，解得：， ∴，即； 综上，点的坐标为时，点的坐标为，当点的坐标为时，点的坐标为． 17．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：把点代入函数， 得： 所以点坐标为 把点代入函数，得：， 所以； （2）①当时，，所以 所以函数的图象与轴的交点A的坐标为， 由（1）得：   ∴函数的表达式为 当时，， ∴， ∴函数的图象与轴的交点D的坐标为， ∴ 由题意得：，则， 过点C作轴，垂足为点F， ∵， ∴ 当的面积为6时，即，      ∴， 解之得：， 所以当t的值为11时，的面积为6 存在，或． 理由：当时，， 所以函数的图象与y轴的交点B的坐标为， ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得； 当，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得； 综上，当或时，为直角三角形． 18．（22-23八年级下·北京东城·期末）已知一次函数（，为常数且）的图象经过点和轴上一点，且与平行．    (1)求一次函数的表达式，并在平面直角坐标系内画出该函数的图象； (2)当时，请结合图象，直接写出的取值范围___________； (3)若点在直线上，且的面积等于，求点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数（，为常数且）的图象经过点和轴上一点，且与平行， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为， 在平面直角坐标系内画如下图，    （2）解：当时，， 当时，， 即可图像可得时，， 故答案为； （3）解：设，与直线相交于点，    当时，， ∴， ∵的面积等于，点，与轴交于点， ∴， ∴， 解得或， ∴或． 19．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于两点．的坐标分别为、，其中． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若点关于直线的对称点分别为、． 当时，若的面积为，试求的值； 当点恰好落在轴上时，试求：与的函数关系式． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由： 由得：当时，；当时，， ∴，， ∵、， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）如图，连接， 由对称性质可知：， ∴， 由（）得：，，、， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得：， 解得：或； 如图，连接， ∵当点恰好落在轴上， ∴， 设，由，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得：， 由对称可知， 在中，由勾股定理得：， ∴，整理得：， ∴， ∴或， ∴或， 当时，舍去， ∴与的函数关系式为． 20．（23-24八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴正半轴重合，点B的坐标为，且满足，与相交于点D，E为的中点，点P为线段上的一点，连接，点A关于直线的对称点为点，连接．    (1)请直接写出点B的坐标，并求出直线的解析式； (2)求线段长度的取值范围； (3)若直线与相交于点Q，在x轴负半轴有一动点，在y轴正半轴上有一动点，分别连接，且，请求出用与n之间的函数关系式． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∵四边形为矩形， ， ， 设， ∴，解得：， ； （2）解：如图，连接，    ∵为中点， 则， ， 则对称可知， ， 当点P在点A 时，点在点A处， 此时最大，最大为， ； （3）解：如图， 联立 ，得， ， 令， ， ， ， ， ． 21．（23-24八年级下·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，对于线段a，给出如下定义：直线：经过线段a的一个端点，直线：经过线段a的另一个端点．若直线与交于点P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”． (1)如图，线段a的两个端点分别为和，则在点，，中，线段a的“双线关联点”是　　　　　； (2)，是直线上的两个动点． ①点P是线段的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标； ②正方形的四个顶点的坐标分别为、、、，其中，当点A，B在直线上运动时，不断产生线段的“双线关联点”，若所有线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上，直接写出t的取值范围． 【详解】（1）解：若直线经过点，直线经过点， 则代入得：， ∴直线：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴点是线段a的“双线关联点”； 若直线经过点，直线经过点， 则同理可求：直线：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴点是线段a的“双线关联点”， 故答案为：，； （2）解：①将点A、B代入得，， ∴， 当直线经过点，直线经过点时， 则代入得：，， 解得：，， ∴直线：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴，解得：， ∴； 当直线经过点，直线经过点时， 同上可求：：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴，解得：， ∴， 综上所述，点P的横坐标为或； ②设线段的“双线关联点”为M，N，则， 由①得：， 消去m可得：， ∴点M在直线p：上运动， 同理可求点N在直线l：上运动， ∵线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上， ∴正方形与直线和直线恰有2个交点， 当且t很小时，此时正方形与两条直线无交点，不符合题意，如图： 随着t增大，当点E落在直线上，此时1个交点，不符合题意，如图： 则，解得：， 当t继续增大，此时，则直线与正方形有2个交点，符合题意，如图： 当t继续增大，直至点落在直线，则，解得，此时有3个交点，不符合题意，如图： ∴满足2个交点，则， 当时，此时有4个交点，不符合题意，如图： 综上所述：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$