2025年中考数学复习训练-等腰三角形与直角三角形

等腰三角形与直角三角形（解答题） 1．（2023·北京·中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．      (1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； (2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 2．（2024·陕西·中考真题）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________． 4．（2023·黑龙江·中考真题）如图①，和是等边三角形，连接，点F，G，H分别是和的中点，连接．易证：． 若和都是等腰直角三角形，且，如图②：若和都是等腰三角形，且，如图③：其他条件不变，判断和之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．    5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F． （1）当点D在线段上时，如图①，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论： 推理证明：写出图①的证明过程： 探究问题：　　 （2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系； 拓展思考： （3）在（1）（2）的条件下，若，，则______． 6．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接 (1)求的长； (2)求的周长． 7．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．    (1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______； (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______； (4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______． 8．（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 9．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 10．（2023·四川成都·中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F． 【初步感知】 (1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】 (2)①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明） 【拓展运用】 (3)如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）． 11．（2024·山东威海·中考真题）感悟 如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 12．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 13．（2023·吉林长春·中考真题）如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）    (1)当点和点重合时，线段的长为__________； (2)当点和点重合时，求； (3)当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由； (4)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 14．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下： 由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有． （2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 15．（2024·甘肃兰州·中考真题）观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”，如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下： ①本条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置记为点B，连接； ②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A，B，C不在同一条直线上）； ③连接并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在延长线上的落点记为点D； ④用另一根足够长的木条画线，连接，，则画出的是直角． 操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法，如图2，，请画出以点A为顶点的直角，记作； 推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据： 证明：， 与是等腰三角形． ．（依据1______） ． ，（依据2______） ， ． 依据1：______；依据2：______； 拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，记作，使得直角边（或）在直线l上．（保留作图痕迹，不写作法） 16．（2023·甘肃武威·中考真题）【模型建立】 （1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上． ①求证：； ②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）在（2）的条件下，若，，求的值．    17．（2024·北京·中考真题）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 18．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 19．（2023·重庆·中考真题）如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，求证：； (3)如图3，连接交于点，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，直接写出的最小值． 20．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画射线交于点D，使平分的面积； (2)在（1）的基础上，在射线上画点E，使； (3)在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交于点G； (4)在（3）的基础上，将线段绕点G旋转，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）． 21．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，； (2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 22．（2023·湖南岳阳·中考真题）如图1，在中，，点分别为边的中点，连接． 初步尝试：（1）与的数量关系是_________，与的位置关系是_________． 特例研讨：（2）如图2，若，先将绕点顺时针旋转（为锐角），得到，当点在同一直线上时，与相交于点，连接． （1）求的度数； （2）求的长． 深入探究：（3）若，将绕点顺时针旋转，得到，连接，．当旋转角满足，点在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由． 23．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．    (1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）． (2)当点E与点C重合时，求t的值． (3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围． 24．（2024·辽宁·中考真题）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．    图1                图2                   图3 (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 答案 1．【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可； （2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即D是的中点； （2）； 证明：如图2，延长到H使，连接，， ∵， ∴是的中位线， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴，是等腰三角形， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即．    2．【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，尺规作图．过点A作，垂足为，再在直线l上截取点C，使，连接，则是所求作的等腰直角三角形． 【详解】解：等腰直角如图所示： 3．【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定： （1）证明，得到，即可得证； （2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 4．【答案】图②中，图③中，证明见解析 【分析】图②：如图②所示，连接，先由三角形中位线定理得到，，再证明得到，则，进一步证明，即可证明是等腰直角三角形，则； 图③：仿照图②证明是等边三角形，则． 【详解】解：图②中，图③中， 图②证明如下： 如图②所示，连接， ∵点F，G分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， ∴；    图③证明如下： 如图③所示，连接， ∵点F，G分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∵和都是等腰三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴．    5．【答案】（1）见解析；（2）图②：，图③：；（3）10或18 【分析】（1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； （2）图②：在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； 图③：在上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可； （3）根据勾股定理和含角直角三角形的性质求出，，然后结合，分别（1）（2）的条件下求出的长度，进而求解即可． 【详解】（1）证明：在边上截取，连接． 在中，． ， ． 又， ． 又，， ． 又， ． ． ． ． ， ． 是等边三角形． ， ， ； （2）图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下： 如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶ 如图所示，在上取点H使， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）如图所示， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，与矛盾， ∴不符合题意； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，， ∴， 由（2）可知，， ∵， ∴． 综上所述，或18． 6．【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，斜中半定理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）由题意得是线段的垂直平分线，故点D是斜边的中点．据此即可求解； （2）根据、的周长即可求解； 【详解】（1）解：由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴在中，点D是斜边的中点． ∴． （2）解：在中，． ∵是线段的垂直平分线， ∴． ∴的周长． 7．【答案】(1)， (2)，，证明见解析 (3) (4)或 【分析】（1）根据已知得出，即可证明，得出，，进而根据三角形的外角的性质即可求解； （2）同（1）的方法即可得证； （3）同（1）的方法证明，根据等腰直角三角形的性质得出，即可得出结论； （4）根据题意画出图形，连接，以为直径,的中点为圆心作圆，以点为圆心，为半径作圆，两圆交于点，延长至，使得，证明，得出，勾股定理求得，进而求得，根据相似三角形的性质即可得出，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设交于点，    ∵ ∴， 故答案为：，． （2）结论：，； 证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， （3），理由如下， ∵， ∴， 即， 又∵和均为等腰直角三角形 ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （4）解：如图所示，    连接，以为直径,的中点为圆心作圆，以点为圆心，为半径作圆，两圆交于点， 延长至，使得， 则是等腰直角三角形，    ∵, ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴ ∴ 过点作于点， 设，则， 在中，， 在中， ∴ ∴ 解得：，则， 设交于点，则是等腰直角三角形， ∴ 在中， ∴ ∴ 又， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 在中， ∴， 综上所述，或 故答案为：或． 8．【答案】（1）是等腰三角形；理由见解析；（2）①B；②． 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键； （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，推出，再等角对等边即可证明是等腰三角形； （2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形； ②由①得，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：（1）是等腰三角形；理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①∵中， ∴，， 同（1）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，，， 即、、、是等腰三角形；共有四个， 故选：B． ②∵中，，， ∴，， 由①得， ∴． 9．【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解答的关键． （1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：在与中， ， 所以； （2）解：因为，， 所以，， 所以是等边三角形． 所以． 10．【答案】(1)见解析 (2)①，证明过程略；②当点F在射线上时，，当点F在延长线上时， (3) 【分析】（1）连接，当时，，即，证明，从而得到即可解答； （2）①过的中点作的平行线，交于点，交于点，当时，，根据，可得是等腰直角三角形，，根据（1）中结论可得，再根据，，即可得到； ②分类讨论，即当点F在射线上时；当点F在延长线上时，画出图形，根据①中的原理即可解答； （3）如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，可利用建系的方法表示出的坐标，再利用中点公式求出，最后利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）证明：如图，连接，    当时，，即， ， ，，, ，，即， ， ， 在与中， ， ， ， ； （2）① 证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点，    当时，，即， 是的中点， ，， ， ，， ， 是等腰直角三角形，且， ， 根据（1）中的结论可得， ； 故线段之间的数量关系为； ②解：当点F在射线上时， 如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，    同①，可得， ，， ，， 同①可得， ， 即线段之间数量关系为； 当点F在延长线上时， 如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，连接    同（1）中原理，可证明， 可得， ，， ，， 同①可得， 即线段之间数量关系为, 综上所述，当点F在射线上时，；当点F在延长线上时，； （3）解：如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，    如图，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，过点作的垂线段，交于点，过点作的垂线段，交于点，    ， ，， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， 根据（2）中的结论， ， ， ， ， ， ． 11．【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图： 证明，即可求得； 应用（1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，； 应用（2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接． 【详解】感悟： ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． 应用： （1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，，图形如图所示． （2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，图形如图所示． 根据作图可得：， 又， ∴， ∴. 12．【答案】（1）或 （2）第三边的长是或 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理． （1）用因式分解法解即可； （2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可． 【详解】解：（1） 或； （2）当两条直角边分别为3和1时， 根据勾股定理得，第三边为； 当一条直角边为1，斜边为3时， 根据勾股定理得，第三边为． 答：第三边的长是或． 13．【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)或或 【分析】（1）证明四边形是矩形，进而在中，勾股定理即可求解． （2）证明，得出； （3）过点作于点，证明得出，即可得出结论 （4）分三种情况讨论，①如图所示，当点在上时，②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接，      ∵四边形是矩形 ∴ ∵， ∴四边形是矩形， 当点和点重合时， ∴， 在中，， 故答案为：． （2）如图所示，    ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图所示，过点作于点，    ∵，， ∴， 则四边形是矩形， ∴ 又∵ ∴， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形； （4）①如图所示，当点在上时，    ∵， 在中，， 则， ∵，则，， 在中，， ∴ 解得： 当时，点在矩形内部，符合题意， ∴符合题意， ②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，    则，， 在中， ， 解得：， ③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，此时    综上所述，或或． 14．【答案】图②的结论是：；图③的结论是：；证明见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识 ，选②，以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，构造全等三角形，得出，，再证明，得到；在中由勾股定理得，即，整理可得结论；选③方法同② 【详解】解：图②的结论是： 证明：∵ ∴是等边三角形， ∴， 以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， ； ∵ ∴， ∴ ， ∴， 在中,可得： 即 整理得 图③的结论是： 证明：以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， 在中，， ， ， 在中,可得： 即 整理得 15．【答案】（1）见详解，（2）等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；（3）见详解 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及尺规作图的作垂线， （1）根据“观察发现”延长至点D，且，连接即可知以点A为顶点的为直角； （2）根据作图可知利用了等边对等角，以及三角形内角和定理； （3）根据过定点作已知直线的垂线的方法作图即可． 【详解】解：[操作体验] （1） [推理论证]（2）依据1：等边对等角（等腰三角形的性质）；依据2：三角形内角和定理； 故答案为：等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理； [拓展探究]（3） 16．【答案】（1）①见解析；②，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）①证明：，再证明即可；②由和关于对称，可得．证明，从而可得结论； （2）如图，过点作于点，得，证明，．可得，证明，，可得，则，可得，从而可得结论； （3）由，可得，结合，求解，，如图，过点作于点．可得，，可得，再利用余弦的定义可得答案． 【详解】（1）①证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∴．    ②．理由如下： ∵和关于对称， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）．理由如下： 如图，过点作于点，得．      ∵和关于对称， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵是直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴，即． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图，过点作于点．    ∵， ∴， ． ∴． ∴． 17．【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则，故，再根据等角的余角相等即可得到，故，最后等量代换出，即点是的中点； （2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出． 【详解】（1）证明：连接，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）解：， 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出，，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明∶∵是等边三角形， ∴，， 又， ∴， ∴． 19．【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，进而证明，即可得证； （2）过点作，交点的延长线于点，连接，，证明四边形四边形是平行四边形，即可得证； （3）如图所示，延长交于点，由（2）可知是等边三角形，根据折叠的性质可得，，进而得出是等边三角形，由（2）可得，得出四边形是平行四边形，则，进而得出，则，当取得最小值时，即时，取得最小值，即可求解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴ ∴ 即 在和中 ， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过点作，交点的延长线于点，连接，，      ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴垂直平分， ∴ 又∵， ∴， ∴,   ∴在的垂直平分线上， ∵ ∴在的垂直平分线上， ∴垂直平分 ∴， ∴ 又∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ 在与中， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴； （3）解：依题意，如图所示，延长交于点，    由（2）可知是等边三角形， ∴ ∵将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形，   ∴ 由（2）可得 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ 由（2）可知是的中点，则 ∴ ∴ ∵折叠， ， ∴， 又， ∴， ∴当取得最小值时，即时，取得最小值，此时如图所示，    ∴， ∴， ∴． 20．【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4)作图见解析 【分析】本题考查了网格作图．熟练掌握全等三角形性质，平行四边形性质，等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． （1）作矩形，对角线交于点D，做射线，即可； （2）作,射线于点Q，连接交于点E，即可； （3）在下方取点F，使，是等腰直角三角形，连接， ，交于点G，即可； （4）作，交于点M，作，交于点N，连接，即可． 【详解】（1）如图，作线段，使四边形是矩形，交于点D，做射线，点D即为所求作； （2）如图，作,作于点Q，连接交于点E，点E即为作求作； （3）如图，在下方取点F，使，连接，连接并延长，交于点G，点F，G即为所求作； （4）如图，作，交射线于点M，作，交于点N，连接，线段即为所求作． 21．【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）先证明得到，，根据直角三角形斜边中线性质得到，根据等边对等角证明，进而可证明； （2）①延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．先证明，得到，，进而，．证明得到，然后利用三角形的中位线性质得到，则，进而证明即可得到结论； ②根据得到即可得到结论． 【详解】（1）证明：在和中， ，，， ， ，． 是斜边的中点， ， ， ， ． ， ， ． ； （2）解：①； 理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点． ，，， ， ，， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ，，， ， ． 是中点，是中点， 是中位线， ． ， ， ． ， ． 故答案为：； ②证明： ∵， ， ， ． 22．【答案】初步尝试：（1）；；（2）特例研讨：（1）；（2）；（3）或 【分析】（1），点分别为边的中点，则是的中位线，即可得出结论； （2）特例研讨：（1）连接，，证明是等边三角形，是等边三角形，得出；（2）连接，证明，则，设，则，在中，，则，在中，，勾股定理求得，则； （3）当点在同一直线上时，且点在上时，设，则，得出，则在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出，表示与，即可求解；当在上时，可得在同一个圆上，设，则，设，则，则，表示与，即可求解． 【详解】初步尝试：（1）∵，点分别为边的中点， ∴是的中位线， ∴；； 故答案是：； （2）特例研讨：（1）如图所示，连接，，    ∵是的中位线， ∴， ∴ ∵将绕点顺时针旋转（为锐角），得到， ∴； ∵点在同一直线上时， ∴ 又∵在中，是斜边的中点， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴，即旋转角 ∴ ∴是等边三角形， 又∵， ∴, ∴, ∴, ∴, （2）如图所示，连接， ∵，， ∴，,    ∵, ∴, ∴, 设，则， 在中，，则， 在中，, ∴, 解得：或（舍去） ∴, （3）如图所示，当点在同一直线上时，且点在上时，    ∵， ∴， 设，则， ∵是的中位线， ∴ ∴， ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴，， ∴ ∴， ∵点在同一直线上， ∴ ∴， ∴在同一个圆上，    ∴ ∴ ∵， ∴； 如图所示，当在上时，    ∵ ∴在同一个圆上， 设，则， 将绕点顺时针旋转，得到， 设，则，则， ∴， ∵, ∴， ∵ ∴ ∴ 综上所述，或 23．【答案】(1)等腰三角形， (2) (3) 【分析】（1）过点Q作于点H，根据“平行线+角平分线”即可得到，由，得到，解得到； （2）由为等边三角形得到，而，则，故，解得； （3）当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，，则，此时；当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，此时，因此，故可得，此时；当点P在上，重合部分为， 此时，，解直角三角形得，故，此时，再综上即可求解． 【详解】（1）解：过点Q作于点H，由题意得：    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴在中，； （2）解：如图，    ∵为等边三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 即， ∴； （3）解：当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，    ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 由（2）知当点E与点C重合时，， ∴； 当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，如图，    ∵是等边三角形， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， 当点P与点D重合时，在中，， ∴， ∴； 当点P在上，重合部分为，如图，    ∵， 由上知， ∴， ∴此时， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点P与点B重合时，， 解得：， ∴， 综上所述：． 24．【答案】(1)见详解 (2) (3)30 【分析】（1）利用“”即可证明； （2）可知，证明，则，可得，则，故； （3）①翻折得，根据等角的余角相等得到，故，则，即点F是中点； ②过点F作交于点M，连接，设，，则，由翻折得，故，因此，在中，由勾股定理得：，解得：或（舍，此时） ，在中，由勾股定理得：，解得：，则，由，得到，，因此，故． 【详解】（1）证明：如图，      由题意得，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）猜想： 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：①由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即点F是中点； ②过点F作交于点M，连接，    ∵， ∴， 设，， ∴， 由翻折得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 整理得，， 解得：或（舍，此时） ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴点M为中点， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$