第十八章 平行四边形中的动点问题 专题练习2024-2025学年人教版八年级数学下册

平行四边形中的动点问题 专题练习 1、 选择题 1.如图，等边三角形ABC的边长为8cm．动点M从点B出发，沿B→A→C的方向以3cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B方向以5cm/s的速度运动，若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当点A，M，N以及△ABC的边上一点D构成的四边形AMDN为平行四边形时，t的值为（　　） A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或2 2.如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，点B在y轴上，OA＝1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2017次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2017的坐标为（　　） A．（1345，0） B．（1345.5，） C．（1345，） D．（1345.5，0） 3.如图，在菱形ABCD中，AB＝6cm，∠A＝60°，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向点B运动，设点P的运动时间为t s，当△PDQ为等边三角形时，t的值为（　　） A．1 B．1.3 C．1.5 D．2 4.如图，在边长为8cm的正方形ABCD中，E为边AB上一点，且AE＝2cm，点F在边BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动；同时，点G在边CD上以x cm/s的速度由点C向点D运动，它们运动的时间为t s，连结EF，FG．当△EBF与△FCG全等时，t的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒． A．2或 B． C．或 D． 6.如图，菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝6，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动过程中，AE+CF的长度（　　） A．恒等于6 B．恒等于9 C．逐渐增加 D．先增加再减小 二、填空题 7.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD上的动点，点P是线段EF的中点，过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，垂足分别为G，H，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝7，则GH的最小值为 　　． 8.如图，这是一张矩形纸片ABCD，其中AB＝4cm，AD＝8cm，E是BC边上的一点，且BE＝3cm，点P以2cm/s的速度从点A开始沿A﹣D﹣C﹣B﹣A的方向运动一周停止，当△AEP是以AE为腰的等腰三角形时，点P运动的时间t为 　　s． 9.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝10cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，t＝　　． 10.如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在CB上以4cm/s的速度从点C出发在CB上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为t（s）（t＞0）．当t＝　 时，四边形PDCQ是平行四边形． 11.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，∠AOC＝120°，点B的坐标为（6，0），点P在菱形OABC的边上，从点O出发以每秒2个单位长度的速度，沿A→B→C→O→A…的路线作循环运动，则第2024秒时，点P的坐标为　　． 12.如图，正方形ABCD的边长为2cm，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，动点P从B点开始，以1cm/s的速度沿折线B→A→D→C做匀速运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度，沿B→C→E→C做匀速运动．设点P运动的时间为t秒，四边形PQED的面积为S，若四边形PQED的形状是平行四边形时，则t的取值范围是 　　 ． 13.如图，在长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，E为AD的中点，若点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点C向点B匀速运动，当△AEP与△BPQ全等时，则点Q的运动速度是　　 ． 三、解答题 14.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒，从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？ 15.如图1，BD是Rt△ABC斜边AC上的中线． （1）求证：BDAC； （2）如图2，AB＝6，BC＝8，点P是BC上一个点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F．当P在BC上移动时，求PE+PF的值． 16.已知：在▱ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动． （1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数． （2）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 17.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止，点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t s． （1）用含t的代数式表示： AP＝　 　cm，DP＝　 　cm，BQ＝　 　cm，CQ＝　 cm； （2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？ 18.如图，已知正方形ABCD的边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由． （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△BPE与△CQP全等？ 参考答案 1. C 2. B 3. D 4. C 5. C 6. A 7. 6.5 8. 或3或6 9. 或2或4 10. 3或5　 11. 12. 2≤t＜4 13. 6或 14.解：当t＝4时，PQ∥CD，理由如下： 当PQ∥CD时，四边形PDCQ是平行四边形， 此时PD＝QC，PD＝12﹣2t，QC＝t， ∴12﹣2t＝t， ∴t＝4， ∴当t＝4时，PQ∥CD． 15.（1）证明：如图，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E，连接CE， ∴∠DAE＝∠BCD， ∵∠ADE＝∠BDC，AD＝CD， ∴△ADE≌△CDB（AAS）， ∴DE＝BD， ∴四边形ABCE是平行四边形， ∴， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCE是矩形， ∴AC＝BE， ∴； （2）解：如图，连接DP，作BG⊥AC，于点G， 在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8， 根据勾股定理得：， ∴． 可知， 即， ∴， 则， 即， 解得：． 16.解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DPC＝∠PCB， ∵CP平分∠BCD， ∴∠PCD＝∠PCB， ∴∠DPC＝∠DCP， ∴DP＝CD， ∵CD＝CP， ∴CP＝CD＝DP， ∴△PDC是等边三角形， ∴∠B＝60°； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴PD∥BC， 若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，则PD＝BQ， 设运动时间为t秒， ①当0≤t≤3时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝6﹣2t， ∴6﹣0.5t＝6﹣2t， 解得：t＝0； ②当3＜t≤6时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣6， ∴6﹣0.5t＝2t﹣6， 解得：t＝4.8； ③当6＜t≤9时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝18﹣2t， ∴6﹣0.5t＝18﹣2t， 解得：t＝8； ④当9＜t≤12时，PD＝6﹣0.5t，BQ＝2t﹣18， ∴6﹣0.5t＝2t﹣18， 解得：t＝9.6； 综上所述，当运动时间为0秒或4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 17.解：（1）由题意得：AP＝t cm，CQ＝2t cm， 则DP＝（12﹣t）（cm），BQ＝（15﹣2t）（cm）， 故答案为：t，（12﹣t），（15﹣2t），2t； （2）∵AD∥BC， ∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形， 即t＝15﹣2t， 解得：t＝5， 即当t为5时，四边形APQB是平行四边形． 18.解：（1）△BPE≌△CQP，理由如下： 经过1秒后，BP＝4cm，CQ＝4cm， ∴BP＝CQ． ∵BC＝10㎝， ∴PC＝6cm． PC＝6cm， ∴BE＝PC， 在△BPE和△CQP中， ， ∴△BPE≌△CQP（SAS）； （2）设经过t秒后， △BPE≌△CPQ， 当点Q与点P速度不相同时，BP＝PC，此时△BPE≌△CPQ， ∴4t＝10﹣4t， 解得， 又CQ＝BE＝6cm， ∴． 当△PBE≌△QCP时，BP＝QC，此时，点P和点Q的运动速度相同，不存在这种全等． 学科网（北京）股份有限公司 $$