第十八章 平行四边形中的最值问题 专题练习2024-2025学年人教版八年级数学下册

平行四边形中的最值问题 专题练习 1、 选择题 1.如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，AB＝3，BC＝5，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则AP+EF的最小值为（　　） A． B．4 C． D．8 2．如图，在△ABC中，AB＝BC＝15，AC＝18，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作▱ADCE，连接DE，则DE长的最小值为（　　） A．14.4 B．9.6 C．7.2 D．4.8 3.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P在斜边AB上（不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF．随着P点在边AB上位置的改变，则EF长度的最小值．（　　） A．2.5 B．5 C．2.4 D．3 4.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝16，BD＝12，则EF的最小值为（　　） A．8 B．6 C．4.8 D．2.4 5.如图，AB＝40，点D在AB上，△ACD是边长为10的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线，DP，过射线DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（　　） A．20 B．20 C．40 D．40 6.如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A． B．3+3 C．6 D． 7.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的动点，连接AE，EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若∠D＝45°，AD＝4，则GH的最小值为（　　） A．2 B．4 C． D． 8.如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝135°，AB＝2，AD＝3，点H，G分别是CD，BC上的动点，连接AH，GH．E，F分别为AH，GH的中点，则EF的最小值是（　　） A．2 B． C． D． 2、 填空题 9.如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为　　．（提示：根据轴对称的性质） 10.如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AB＝4，AD＝8，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为　　． 11.如图，矩形ABCD中，，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为 　　． 12.如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，M是CD的中点，连接GM，若正方形ABCD的边长为8，则GM的最小值为　　． 13.如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，AB＝3，BC＝5，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则AP+EF的最小值为　　． 3、 解答题 14.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为BC上一点，∠DAC＝30°，E为射线AD上一动点，四边形BCFE为平行四边形，连接BF，求BF的最小值。 15.如图，四边形OABC为平行四边形，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（b，c），其中a，b，c满足． （1）求出a，b，c的值； （2）若点E，F分别为线段OC，AB上的点，且OE＝BF，AD⊥DF，点H的坐标为（9，0），求出线段DH的最大值． 16.如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝2，AB＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，求EF长度的最大值． 17.如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合． （1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF； （2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值． 参考答案 1. C 2. A 3. C 4. C 5. A 6. D 7. D 8. C 9. 10. 11. 1 12. 13. 14.解：延长BC到点G，使CG＝BD，作直线FG，作BH⊥FG于点H， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∠DAC＝30°， ∴AD＝2CD， ∵ACCD＝3， ∴CD， ∴CG＝BD＝4， ∴BG＝BC+CG＝4+48， ∵四边形BCFE是平行四边形， ∴BC∥EF，BC＝EF， ∵DG∥EF，DG＝CG+CD+BD+CD＝BC＝EF， ∴四边形DGFE是平行四边形， ∴FG∥DE， ∴点F在经过点G且与DE平行的直线上运动， ∵∠BHG＝90°，∠BGH＝∠ADG＝90°﹣∠DAC＝60°， ∴∠GBH＝90°﹣∠BGH＝30°， ∴GHBG（8）＝4， ∵BG＝2GH， ∴BHGH（4）＝4， ∵BF≥BH， ∴BF≥4， ∴BF的最小值为4， 15.解：（1）根据题意，， 可知a﹣12≥0，24﹣2a≥0， 解得a＝12， ∴|16﹣b|+（c﹣10）2＝0， ∵|16﹣b|≥0，（c﹣10）2≥0， ∴16﹣b＝0，c﹣10＝0， 解得b＝16，c＝10； （2）由（1）可知，A（12，0），B（16，10）， ∴OA＝12， ∵四边形OABC为平行四边形， ∴BC＝OA＝12，BC∥OA， ∴C（4，10）， 如图，连接OE，CF，AC，AC与EF交于点G，取AG中点K，连接DK，HK， ∵四边形OABC为平行四边形， ∴OC＝BA，OC∥BA， ∵OE＝BF， ∴OC﹣OE＝BA﹣BF，即CE＝AF， ∴四边形AECF为平行四边形， ∴CG＝AG， ∴G（8，5），K（10，2.5）， ∴， ∵AD⊥DF，点K为AG中点， ∴， ∵H（9，0）， ∴， ∵在△DHK中，DH＞DK+HK， ∴当点D、K、H在同一直线上时， DH取最大值，最大值为． 16.解：∵ED＝EM，MF＝FN，， ∴DN最大时，EF最大， ∴N与B重合时DN＝DB最大， 在Rt△ADH中， ∵∠A＝60°， ∴∠ADH＝30°， ∴，， ∴BH＝AB﹣AH＝3﹣1＝2， ∴， ∴． 故答案为：． 17.解：（1）如图，连接AC， ∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°， ∴∠BAC＝60°， ∵△AEF是等边三角形， ∴∠EAF＝60°， ∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°， ∴∠1＝∠3， ∵∠BAD＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC和△ACD为等边三角形， ∴∠4＝60°，AC＝AB， ∴在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）． ∴BE＝CF； （2）四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化．理由如下： 由（1）得△ABE≌△ACF， 则S△ABE＝S△ACF， 故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值， 作AH⊥BC于H点，则BH＝2， S四边形AECF＝S△ABC． △CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+EF＝BC+EF＝BC+AE 由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短． 故△AEF的周长会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，△CEF的周长会最小＝4． 学科网（北京）股份有限公司 $$