2.3.2 实数的运算 教案 2024——2025学年 湘教版七年级数学下册

2.3.2 实数的运算 ——新授课 一、教材分析 本节课是湘教版初中数学七年级下册第二章第三节《实数》中的内容，本节内容主要围绕实数的运算展开，包括实数的大小比较和加减乘除等基本运算。同时，强调有理数的运算律和性质在实数范围内仍然适用。本节内容位于“实数”章节的后续部分，是衔接有理数运算与实数运算的关键环节，为后续学习根式方程、二次函数等奠定基础。 二、学情分析 学生已掌握有理数的运算律（如交换律、结合律）及绝对值、相反数的概念，但对实数（尤其是无理数）的运算规则不熟悉，且可能混淆实数与有理数的运算差异，例如误认为无理数无法参与常规运算。 三、教学目标 1.知道有理数的运算法则、运算律等，对于实数仍然成立，能熟练运用实数的运算律（如交换律、分配律）进行加减乘除运算。 2.知道所学的有关数、式、方程（组）的性质、法则和解法，对于实数仍然成立. 3.能进行简单的实数大小比较。 4.通过类比有理数运算，归纳实数运算的通用规则，培养迁移能力。 5.感受数系扩充的理性美，理解数学知识的一致性与扩展性。 四、重点难点 重点：在实数范围内进行运算。 难点：用有理数估算一个无理数的大致范围。 五、教学方法 讲授法、练习法、问答法 六、教学过程 一、复习回顾 问题1：引入负数后，数的范围从正整数、0、正分数扩充到了什么？ 问题2：引入无理数后，数的范围从有理数扩充到了什么？ 问题3：在学习有理数时，我们发现0和正数的运算法则和运算律在进行有理数的运算时仍然成立，那么，我们系数扩展到了实数范围内，这些法则和运算会仍然成立吗？ 【回顾】 二、探究新知 【讲授】把数从有理数扩充到实数以后，实数也可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且非负数可以进行开平方运算，任意实数都可以进行开立方运算. 运算顺序：1.先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。 2.同级运算按照从左到右的顺序进行计算。 3.有括号的先算括号里面的（小中大） 【牛刀小试】 1.计算： 解：原式=43+3+ =43+3+2 =6 【讲授】在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算律等，对于实数仍然成立 . 前面所学的有关数、式、方程（组）的性质、法则和解法，对于实数仍然成立. 【做一做】 填空（a，b，c是任意实数）： （1）a + b = ____________（加法交换律）； （2）(a + b) + c = ____________（加法结合律）； （3）ab = ____________（乘法交换律）； （4）(ab)c = ____________（加法交换律）； （5）a(b + c) = __________（乘法对加法的分配律）； (b + c)a = __________（乘法对加法的分配律）； （6）实数的减法运算规定为 a－b = a + _______； （7）实数的除法运算规定为 a÷b = a · ______（b≠0）； （8）如果 a ≠ 0，b ≠ 0，那么 ab ______0； （9）若 ab = 0，则 a =_____或 b = _____. 【牛刀小试】 2.计算:(1); (2); (3); (4) ; (5) π ; (6). 解：(1)= =; (2)== ; (3)= + 1=; (4) = ; (5) π+=； (6)=2=2. 【议一议】对于实数a，它有几个平方根，几个立方根呢？ 分类讨论： 1.当a>0时，实数a有且只有两个平方根，即,有且只有一个立方根，即； 2.当a=0时,实数a的平方根和立方根都是0； 3.当a<0时,实数a没有平方根,有且只有一个立方根，即. 【实数大小的比较】 3.填空（填>、<、=）： （1）若43________0,则4________3; （2）若________0,则________ ; （2）若________0,则________. 作差法： 对于实数a，b： 如果a－b>0，则称a大于b（或者b小于a），记作a>b（或b<a）； 如果a－b<0，则称a小于b（或者b大于a），记作a<b（或b>a）； 如果a－b=0，则称a等于b，记作a=b. 注意：对于任何实数a，b ，在a>b,a=b,a<b这三种关系中，有且只有一种成立. 法则： (1) 正实数大于一切负实数； (2) 两个负实数，绝对值大的数反而小. 4.比较大小：(1) ________ (2) _______ 借助数轴比较： 5.比较a,b,c,d的大小： 数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. 乘方法： 一般地，对于两个正实数a，b： 若a>b,则; 若a>b,则. 注意：反过来也成立 6.比较大小：(1) ____ (2) _______ 推广： 一般地，对于两个正实数a，b： 若,则; 若,则. 三、例题探究 例2 比较下列各组数的大小. （1）2.5与； （2）3与； （3）-3与-. 解：（1）因为2.52=6.25，（）2=7，又6.25<7，所以2.5<. （2）因为33=9，（）3=25，又27>25，所以3>. （3）因为=3，=，由（2）知3>，所以-3<. 【思考】不用计算器，分别估计与在哪两个相邻整数之间. 解：由于102=100<115，（）2=115，112=121>115， 所以应介于10和11之间，即10<<11. 由于43=64<121，（）3=121，53=125>121， 所以应介于4和5之间，即4<<5. 例3 用计算器计算：2×（结果精确到0.01）. 解：依次按键： 显示结果：4.472 135 955. 所以2×≈4.47. 【讲授】在实数运算中，当遇到无理数并且要求出结果的近似值时，可以按照精确度用相应的近似有限小数（一般比计算结果要求的精确度多保留一位）去代替无理数进行计算，最后再四舍五入. 例4 利用=1.414 213 562…和=2.645 751 311 …计算+的值（结果精确到0.001）. 解：由于需精确到0.001， 于是只需取≈1.414 2，≈2.645 7, 故+≈1.414 2+2.645 7=4.059 9≈4.060. 四、课堂小结 进行实数的运算时需注意有什么？怎么进行实数大小的比较 五、作业布置 课堂作业：P44 T1—3 家庭作业：《学法》P31-32 A组（基础一般）、B组（基础较好）、C组（选做） 学科网（北京）股份有限公司 $$