精品解析：江苏省南京师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

南京师大附中2024级高一3月月考试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 第I卷（选择题） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的子集的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 10 4. 已知，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，与同向的单位向量为，，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量为（　　） A. 4 B. －4 C. 2 D. －2 6. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若存在，满足，则实数的最小值为（ ） A. B. 0 C. D. 8. 若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 若实数满足，则下列说法正确的是（ ） A B. C. D. 10. 函数（其中）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数最小正周期是 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象关于直线对称 11. 设函数，其中为的三边，且满足.下列说法正确的是（ ） A. 若，则有且仅有一个零点 B. 若，则零点均大于1 C. D. 若为直角三角形，则 第II卷（非选择题） 三､填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 13. 若是夹角为的两个单位向量，设，则与的夹角为__________. 14. 已知函数在区间上单调，且，则的最大值为__________. 四､解答题：本题共2小题，共27分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为函数的一个对称中心. （1）求函数的最小值，并求出取得最小值时自变量的集合； （2）设函数，若对任意的，都有，求实数的取值范围. 16. 如图，在中，.若是线段上一点，是线段上一点，其中. （1）若，线段与交于点，求的值， （2）若，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南京师大附中2024级高一3月月考试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 第I卷（选择题） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的子集的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的运算可得. 【详解】由集合，得，故子集的个数为， 故选：C 2. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数的奇偶性、在指定区间上的单调性逐项判断. 【详解】对于A，函数的定义域为，不是奇函数，A不是； 对于B，函数是R上的偶函数，B不是； 对于C，幂函数在上单调递减，C不； 对于D，幂函数是奇函数，且在上单调递增，D是. 故选：D 3. 已知向量，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量垂直得向量数量积为零，解得值，再根据向量的模坐标表示得结果. 【详解】 因此 故选:C 4. 已知，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据指数函数和对数函数的单调性，结合充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】由，因为的正负性不明确，故不能由 一定推出成立；由，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，考查了指数函数和对数函数的单调性的应用. 5. 已知，与同向的单位向量为，，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量为（　　） A. 4 B. －4 C. 2 D. －2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量在向量方向上的投影向量的定义表达式计算即得. 【详解】向量在向量方向上的投影向量为. 故选：D. 6. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式来求得正确答案. 【详解】 ， 当且仅当时等号成立. 故选：B 7. 设函数，若存在，满足，则实数的最小值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定最大值与最小值，再将存在性问题转化为最值问题，最后解不等式得的取值范围，即得的最小值. 【详解】因为在上单调递减， 所以 因为存在，满足， 所以，即 ， ， 故选：D. 8. 若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，将函数化成分段函数并分类讨论单调性，再结合在时单调性及分段函数的单调性列出不等式求解即得. 【详解】函数， 由函数是上的单调函数，得函数在上单调， 当时，在上递增，而时，为常数函数，不递增，因此； 当时，，函数在上递增，在上递减， ，函数在上不单调，因此不成立； 当时，，函数在上递增，在上递减， 因此函数在上单调递增，且，即，解得， 此时函数在上单调递增，要函数在上单调递增， 则，而，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 若实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式性质证明B正确，利用作差法证明D正确，其余举反例即可. 【详解】，所以B正确； 当时，满足， 但，所以A，C； ,故D正确. 故选：BD 10. 函数（其中）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期是 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象关于直线对称 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定图象，结合“五点法”作图求出解析式，再利用正弦函数的图象性质逐项判断即可. 【详解】由图象可知，函数的最小正周期，解得， 由，可得，即， 而，则，因此， 对于A，，A正确； 对于B，函数的最小正周期是，B错误； 对于C，，函数的图象关于点不对称，C错误； 对于D，，函数的图象关于直线对称，D正确. 故选：AD 11. 设函数，其中为的三边，且满足.下列说法正确的是（ ） A. 若，则有且仅有一个零点 B. 若，则的零点均大于1 C. D. 若为直角三角形，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合指数型复合函数单调性、零点存在性定理逐项分析判断. 【详解】对于A，，由， 得，函数在R上都单调递减， 则函数在R上单调递减，，函数有且仅有一个零点， 因此有且仅有一个零点，A正确； 对于B，当时，，由，得， 解得，又，则，因此， 所以当时，函数的零点大于1，B正确； 对于C，由，得，又， 则当时，，C错误； 对于D，由为直角三角形，得， ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三､填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及共线向量定理列式计算得解. 【详解】由，得， 由三点共线，得，而， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 13. 若是夹角为的两个单位向量，设，则与的夹角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的运算律、向量的夹角公式求解即得. 【详解】由单位向量的夹角为，得， ， ， ， 因此，而，则， 所以与的夹角为. 故答案为： 14. 已知函数在区间上单调，且，则的最大值为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据给定单调性可得，由给定的函数值可得，求得，再取值代入验证即可. 【详解】令函数的周期为，由函数在区间上单调， 得，解得，即，解得， 由，得，即， 解得，当时，，， 由，得，解得，， 当时，，而当时，取得最大值1，不符合题意； 当时，，，由，得， 解得，，， 当时，，函数在上单调递增，符合题意， 所以的最大值为. 故答案为：9 四､解答题：本题共2小题，共27分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为函数的一个对称中心. （1）求函数的最小值，并求出取得最小值时自变量的集合； （2）设函数，若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小值为，的集合为； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据周期性和对称性求，再结合正弦函数的最值分析求解. （2）令并求得的范围，由恒成立，结合二次函数性质分类讨论求最值，结合恒成立问题运算求解. 【小问1详解】 由的最小正周期为，且，得，解得， 由为的对称中心，得 ，解得，， 由 ，得，则，， 此时，即， 所以函数的最小值为，取得最小值的的集合为. 【小问2详解】 由，得，即， 令，由，得，则， 由对任意的，都有，得在恒成立， 令，， 当，即时，，解得，因此； 当，即时，，解得，因此； 当，即时，，解得，无解， 所以实数的取值范围是. 16. 如图，在中，.若是线段上一点，是线段上一点，其中. （1）若，线段与交于点，求的值， （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点坐标，再根据向量数量积坐标表示求得结果；（2）先用表示出坐标，再用坐标表示出向量的模，最后利用基本不等式求最小值. 小问1详解】 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则， 因为，所以 即， 因为，所以 从而， 联立方程组解得 因此 【小问2详解】 因为是线段上一点，，所以， 又因为，所以，因此， 又即, 由第一问知， 所以 令 因此 当且仅当时取等号， 因此的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$