【专项练】平行线中拐点问题-北师大版七年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 平行线中拐点问题 1．(1)t ；3t (2)45 【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握平行线 的性质，并注意进行分类讨论． （1）根据题意求出 1BPB 和 1CQC∠ 即可； （2）过点 H作HG AB，根据平行线的性质得出 1BPB PHG∠ ∠ ， 1DQC QHG∠ ∠ ，得出 1 1 90BPB DQC   ∠ ，即  180 3 90t t   ，求出 t的值即可 【详解】（1）解：∵光线 1PB 按顺时针方向以每秒1的速度从 PB旋转，光线 1QC 按顺时针方向 以每秒3的速度从QC旋转， ∴ 1BPB t  ；  1 3CQC t  ； 故答案为：t，3t； （2）解：过点 H作HG AB，如图所示： ∵ AB CD∥ ， ∴ AB GH CD∥ ∥ ， ∴ 1BPB PHG∠ ∠ ， 1DQC QHG∠ ∠ ， ∵ 90PHG QHG   ， ∴ 1 1 90BPB DQC   ∠ ， 即  180 3 90t t   ． 解得 45t  ． 2．200 /200度 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行线的判定等知识点，掌握平行于同一直线的两直 线平行成为解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 如图：过 C作CF AB∥ ，则CF DE∥ ，然后根据平行线的性质以及角的和差即可解答． 【详解】解：如图：过 C作CF AB∥ ， ∴ 180B BCF   ， ∵ AB DE∥ ， ∴CF DE∥ ， ∴ 20FCD CDE    ， ∴ 200B BCF FB CD CDB        ． 故答案为： 200． 3． 80BMN   【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，解题的关键是掌握平行线性质定理，并 能熟练应用角的和差倍分关系解决问题．过点 M，N分别作MQ AB，NP AB的平行线，得出 MQ AB NP CD，然后利用角的和差计算即可得解． 【详解】解：如图，过点 M，N分别作MQ AB， NP AB的平行线， AB CD ， MQ AB NP CD ， 180ABM BMQ   ， 180PNC DCN   ， QMN PNM   ，  115ABM  ， 140NCD  ，  180 115 65BMQ     ， 180 140 40PNC     ，  55MNC  ， 55 40 15QMN PNM       ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 65 15 80BMN BMQ QMN         ． 4． 84AED   【分析】本题考查了平行线的性质和角的运算，掌握平行线的性质是解题的关键． 过点 E作 EF AB∥ ，由平行线的传递性可得EF CD AB∥ ∥ ，再根据已知条件可得到 AEF 和 FED 的度数，由 AED FED AEF    即可求解． 【详解】解：过点 E作 EF AB∥ ，如图： ∵ AB CD∥ ， ∴EF CD AB∥ ∥ ， ∴ 180A AEF    ， FED D   ， ∵ 128 , 32A D      ， ∴ 180 128 52 , 32AEF FED         ， ∴ 52 32 84AED AEF FED       ． 5．(1) 1 2C    ； (2) 1 2 AEN CDG    ． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，对顶角相等知识．利用数形结合的思想是解题关键． （1）过点 C作 l PQ∥ ，即得出 l PQ MN∥ ∥ ．由平行线的性质可得出 3 1  ， 4 2   ，从而 易得出 1 2ACB   ； （2）由对顶角相等结合题意可证 GDF PDC   ．再根据 180PDC CDG GDF    ，即可得 出 190 2 PDC CDG    ，结合（1）的结论可求得 190 2 AEN CEM PDC CDG      ，进而得 出 1 2 AEN CDG    ． 【详解】（1） 1 2ACB   ． 证明：如图，过点 C作 l PQ∥ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 ∴ l PQ MN∥ ∥ ， ∴ 3 1  ， 4 2   ． ∵ 3 4ACB   ， ∴ 1 2ACB   ； （2）解：∵ BDF GDF  ， BDF PDC   ∴ GDF PDC   ． ∵ 180PDC CDG GDF    ， ∴ 2 180CDG PDC    ， ∴ 190 2 PDC CDG    ， 由（1）可得， 90PDC CEM C     ， ∴ 1 190 90 90 2 2 CEM PDC CDG CDG             ， ∴ 1 2 AEN CEM CDG    ∴ 1 12 2 AEN CDG C G CDG D       ． 6．55 /55度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，先求出 PEF 的度数，进而求出 BEP 的度数，根据 平行线的性质，求出 EFD 的度数，根据 3EFP DFP   ，求出 DFP 的度数，过点 P作 PH AB∥ ， 进而得到 PH AB∥ ，根据平行线的性质结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵ 2FEP BEP   ， 40BEP  ， ∴ 80FEP  ， ∴ 120BEF  ， ∵ AB CD∥ ， ∴ 180 60EFD BEF    ， ∵ 3EFP DFP   ， ∴ 4 60DBEP FP    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∴ 15DFP  ， 过点 P作 PH AB∥ ， ∵ AB CD∥ ， ∴PH AB CD∥ ∥ ， ∴ 40 , 15EPH BEP FPH DFP         ， ∴ 55EPF EPH FPH     故答案为：55． 7．B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想是解题的关键． 分12 60ABM   ∠ 和60 70ABM   ，分别利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：当12 60ABM   ∠ 时，如图 1所示，过点 C作CQ MN∥ ， ∵MN EF∥ ， ∴MN EF CQ∥ ∥ ， ∴   30PCQ EPC BCQ ABM       ， ， ∴ 30PCB PCQ BCQ ABM      ， 由反射定理可知， 30AGH PCB ABM    ， ∴ 180 120 2PCH ACH PCB ABM       ， ∴ 150 2HCQ PCH PCQ ABM       ， ∴ 180 30 2PHG HGQ ABM       ， ∴ PHG   ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 当60 70ABM   时，如图 2所示，过点 C作CQ MN∥ ， 同理可得 30PCQ EPC BCQ ABM PHC HCQ          ， ， ， ∴ ACP HCB HCQ QCB PHC ABM         ， ∴ 180 180 2 2PCH ACP HCB PHC ABM         ， ∴ 2 2 150HCP PCQ PCH PHC ABM         ， ∴ 150 2PHG ABM    ， ∴10 30PHG    ， 综上所述， PHG   或10 30PHG    ． 故选 B． 8．（1）180，360，540；（2）  180 1n  ；（3） 1180 2BFD m     【分析】本题考查了平行线的性质和判定，解题时注意：平行线的性质是由平行关系来寻找角 的数量关系．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；还要注意规律性问题的 探究过程． （1）根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得结论．根据平行于同一条直线的 两条直线平行，把此问题转化为上题形式，可得结论．在上题的基础上，多加一个180，思路 不变，可得结论． （2）通过观察图形，寻找规律：两个 A点时，结论是1 180 ，三个 A点时，结论是2 180 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 四个 A点时，结论是3 180 ，可以得出 n个 A点时的结论． （3）运用上述结论和角平分线定义可得结论． 【详解】解：（1）如图∵ 1 2MA NA∥ ， ∴ 1 2 180A A   （两直线平行，同旁内角互补）． 如图②，过点 2A 作 2 1A B AM∥ ， ∴ 1 2 1 2 180MA A A A B   （两直线平行，同旁内角互补）． 又∵ 1 3MA NA∥ ， ∴ 2 3A B NA∥ （平行于同一条直线的两条直线平行）． ∴ 2 3 2 3 180BA A A A N   （两直线平行，同旁内角互补）． ∴ 1 2 1 2 2 3 2 3 180 180 360MA A A A B BA A A A N        ， 即 1 1 2 3 3 360A A A A A    ； 如图③，分别过点 2 3A A、 作 2 1A B AM∥ 、 3 1A C AM∥ ， 同上题可得180 180 180 540      ， 即 1 2 3 4 540A A A A     ， 故答案为：180；360；540． （2）∵ 1 2 180 1 180A A      ， 1 2 3 360 2 180A A A       ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 1 2 3 4 540 3 180A A A A        ， ∴ 1 2 3 1 180nA A A A n      （ ） ． 故答案为： 1 180n  （ ） ． （3）根据上述结论得： BFD ABF CDF   ， 360ABE E CDE    ， 又∵ ABE 和 CDE 的平分线相交于 F， ∴2 2 360ABF E CDF     ， 即 2 360ABF CDF E    （ ） ， ∴2 360 360ABF CDF E m       （ ） ， ∴ 1180 2 ABF CDF m    ， 即 1180 2 BFD m     9．（1）两直线平行，内错角相等；两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； 两直线平行，内错角相等；等量代换（2）80（3） PFC PEA FPE   ，理由见详解（4） 1180 2 G    【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的判定与性质求解即可； （3）根据平行线的判定与性质求解即可； （4）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可． 【详解】（1）解：过点 E作直线 EF CD， 2 D   （两直线平行，内错角相等） AB CD （已知）， EF CD， AB EF （两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） 1B   （两直线平行，内错角相等） 1 2 BED    ， B D BED    （等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平 行；两直线平行，内错角相等；等量代换 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 （2）如图 2，过点 P作 PM AB∥ ， AB CD ， AB CD PM ∥ ∥ ， 180BEP MPE   ， 180PFD FPM   ， 160BEP   ， 120PFD  ， 360 160 120 80MPE FPM       ， 80EPF  ， 故答案为：80 （3） PFC PEA FPE   ， 理由如下：如图，过 P点作 PN AB， PN CD AB ， PEA NPE   ， FFPN P C  ， FPN NPE EPF    ， FPN PEA EPF   ∴ ， PFC PEA EPF    ∴ ； （4）如图所示， 由（2）知， 360PEA PFC EPF    ，  EPF   ， 360PEA PFC     ， PEA 的平分线和 PFC 的平分线交于点G， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 1 2 AEG PEA   ， 1 2 CFG PFC   ，  1 1180 2 2 AEG CFG PEA PFC        ， 由（1）知： 1180 2 G AEG CFG       ； 10．（1） BED B D   ；（2） AB CD∥ ；（3） 3CDE CDF   ，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，根据平行线的性质探究角的关系，以及角平 分线的定义等知识． （1）过点 E向右作ET AB∥ ．由平行线的公理得出ET CD，再根据平行线的性质得出 ,B BET DET D      ，进而可得出 BED BET DET B D       ． （2）根据角平分得 2 , 2ABD ABE CDB EDC      ，结合（1）知， BED ABE EDC   ，可得 90ABE EDC   ，则 180ABD CDB   ，即可证明平行； （3）过点 E向右作 EP AB∥ ，过点 F向右FQ AB．由平行线的公理得出 AB CD EP FQ∥ ∥ ∥ ， 由平行线的性质得出 ,ABE BEP DEP CDE     ，由角的和差关系结合（2）可得出 90BED BEP DEP ABE CDE      ，同理 BFD ABF CDF   ，结合已知条件可得出 3CDE CDF   ． 【详解】解：（1） BED B D   过点 E向右作ET AB∥ ． 因为 ,AB CD AB ET∥ ∥ ， 所以ET CD， 所以 ,B BET DET D      ， 所以 BED BET DET B D       ； （2）因为 BE平分 ABD DE , 平分 BDC ， 所以 2 , 2ABD ABE CDB EDC      ， 由（1）知， BED ABE EDC   ， 因为 90E  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 所以 90ABE EDC    所以 )2 1( 80ABD CDB ABE EDC      ， 则 AB CD∥ ； （3） 3CDE CDF   ．理由如下： 过点 E向右作 EP AB∥ ，过点 F向右FQ AB． 又因为 AB CD∥ ， 所以 AB CD EP FQ∥ ∥ ∥ ， 所以 ,ABE BEP DEP CDE      ， 所以 90BED BEP DEP ABE CDE      ， 同理， BFD ABF CDF   ． 因为 3 , 30ABE ABF BFD     ， 所以 90 3 (3 )BED ABE CDE BFD ABF CDF           ， 所以 3CDE CDF   ． 11．(1)见解析 (2)135 【分析】此题主要考查了平行线的性质和判定，理解并掌握平行线的性质和判定定理是解题关 键． （1）过点 P作 PH AB∥ ，证明 AB PH CD∥ ∥ 得 MPH EMP   ， NPH FNP  ， MPH NPH EMP FNP    ，由此即可得出结论； （2）根据角平分线的定义设设 EMQ PMQ     ， DNQ PNQ     ，则 2EMP   ， 2DNP   ， 进而得 180 2FNP     ， 180FNQ     ，然后根据（1）的结论得 MPN EMP FNP    ， NQM EMQ FNQ    ，由 MPN EMP FNP    ，得 45   ，由 NQM EMQ FNQ    即 可得出答案． 【详解】（1）证明：过点 P作 PH AB∥ ，如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 ∵ AB CD∥ ， ∴ AB PH CD∥ ∥ ， ∴ MPH EMP   ， NPH FNP  ， ∴ MPH NPH EMP FNP    ， 即 MPN EMP FNP    ； （2）解：∵MQ平分 EMP ， NQ平分 DNP ， ∴设 EMQ PMQ     ， DNQ PNQ     ， ∴ 2EMP   ， 2DNP   ， ∴ 180 180 2FNP DNP        ， ∴ 180 2 180FNQ FNP PNQ             ， ∵MP NP ， ∴ 90MPN  ， 由（1）的结论得： MPN EMP FNP    ， NQM EMQ FNQ    ， 由 MPN EMP FNP    ，得：90 2 180 2      ， ∴ 45   ， ∴  180 180 135NQM EMQ FNQ              ． 12．(1) AB CD∥ ，理由见解析 (2)GH EG ，理由见解析 (3) 2AEP EQF   【分析】本题考查了平行线、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、角平分线的定 义，从而完成求解． （1）结合题意，根据补角的性质，推导得 1 CFE   ，根据同位角相等两直线平行的性质分析， 即可得到答案； （2）根据平行线的性质，得 180AEF CFE   ，根据角平分线的定义，推导得 90EPF  ； 根据平行线的性质，推导得 90EGH  ，即可得到答案； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 （3）过点Q作QI AB∥ ，根据平行线的性质，得 IQF CFQ   ， AEQ EQI   ， CFN AEF  ； 设 PEQ x  ， CFQ y  ，根据角平分线的性质，得 2 2PEF PEQ x    ， 2 2CFN CFQ y    ， 从而推导得 1 2 AEP AEP EQF    ，即可得到答案． 【详解】（1）解： AB CD∥ ，理由如下： 1 2 180    ， 2 180CFE   ， 1 CFE  ， AB CD ∥ ； （2）解：GH EG ，理由如下： AB CD∥ ， 180AEF CFE   ， PE ， PF平分 AEF ， CFE ， 1 2 FEP AEF   ， 1 2 EFP CFE   ， ∴ 180 90 2 FEP EFP     ， ∴ 180 90EPF FEP EFP     ， ∵PF GH∥ ， ∴ 90EGH EPF   ， ∴GH EG ； （3）解：过点Q作QI AB∥ ， AB CD∥ ， AB CD QI ∥ ∥ ， IQF CFQ   ， AEQ EQI   ， CFN AEF  ， 设 PEQ x  ， CFQ y  ， EQ ， FQ分别平分 PEF ， CFN ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 2 2PEF PEQ x    ， 2 2CFN CFQ y    ， ∵ CFN AEF  ， ∴2 2y x AEP  ， 1 2 y x AEP    ， ∵ AEQ EQI   ， ∴ x AEP y EQF   ， ∴ y x AEP EQF    ， 1 2 AEP AEP EQF     ， 2AEP EQF   ． 13．D 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质．①过点 P作 PQ AB∥ ，则 PQ AB CD∥ ∥ ，根据平 行线的性质即可求解；②过点 P作 PM AB∥ ，过点 Q作QN AB∥ ，则PM AB CD∥ ∥ ， QN CAB D∥ ∥ ，结合 QAP QAB QCP QCD     ， ，即可得到结论；③过点 P作 PM AB∥ ，过 点 Q作QN AB∥ ，则PM AB CD∥ ∥ ，QN CAB D∥ ∥ ，结合 2 2QAP QAB QCP QCD     ， ，即 可得到结论；④过点 P作 PE AB，则PE AB CD∥ ∥ ，可得  360APC PAB PCD     ，过点 N作NF AM∥ ，可得 1 180 2 BAP AMF  ，即 360 2BAP AMF    ，结合  PCN n NCD， 1 1AMN NMD n n    ， ，可得 1 1 AMFnMNC n     ，进而可得结论． 【详解】解：①过点 P作 PQ AB∥ ，则 PQ AB CD∥ ∥ ， ∵ PAB   ， ∴ 180APQ     ， ∵ APC   ， ∴ 180CPQ       ， ∴ 180 180 180 360PCD CPQ                 ；①正确； ②点 P作 PM AB∥ ，过点 Q作QN AB∥ ，则PM AB CD∥ ∥ ，QN CAB D∥ ∥ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 ∴ 180 180PAB APM PCD CPM       ， ， ∴ 360PAB PCD APC    ，即  360APC PAB PCD     ， 同理： AQC BAQ DCQ   ， ∵ QAP QAB   ， QCP QCD   ， ∴ 1 12 2 BAQ PAB DCQ PCD     ， ， ∴    360 360 2 360 2APC PAB PCD BAQ DCQ AQC            ， ∴ 360 2APC AQC    ，即 2 360APC AQC    ，②正确； ③过点 P作 PM AB∥ ，过点 Q作QN AB∥ ，则PM AB CD∥ ∥ ，QN CAB D∥ ∥ ， ∴ 180 180PAB APM PCD CPM       ， ， ∴ 360PAB PCD APC    ，即  360APC PAB PCD     ， 同理： AQC BAQ DCQ   ， ∵ 2 2QAP QAB QCP QCD     ， ， ∴ 1 1 3 3 BAQ PAB DCQ PCD     ， ， ∴    360 360 3 360 3APC PAB PCD BAQ DCQ AQC            ， ∴ 360 3APC AQC    ，即 3 360APC AQC    ，③正确； ④过点 P作 PE AB，则PE AB CD∥ ∥ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 ∵PE AB， ∴ 180APE PAB   ，即 180APE PAB   ， ∵PE CD∥ ， ∴ 180CPE PCD   ， ∴  360APC PAB PCD     过点 N作NF AM∥ ， ∵ AM PC∥ ， ∴NF PC∥ ， ∴ CNF PCN   ， ∵NF AM∥ ， ∴ FNM AMN   ， ∵ AB CD∥ ， ∴ BAM AMC  ， ∵ AM 平分 BAP ， ∴ 1 2 BAM BAP  ， ∵ 180AMC AMF   ， ∴ 1 180 2 BAP AMF  ， ∵ 1AMN NMD n    ， AMN NMD AMF    ∴ 1 1 AMN AMF n     ， ∴ 1 1 FNM A AMN MF n      ， ∵ PCN n NCD PCN NCD PCD      ， ， ∴ 1 nPCN PCD n     ， ∴ 1 nCNF PCN PCD n      ， ∴ MNC CNF FNM    ， ∴ 1 1 1 nMNC CNF FNM PCD n F AM n         ， ∵ 1 180 2 BAP AMF  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 ∴ 360 2BAP AMF    ， ∴    360 360 360 2APC PAB PCD AMF PCD          2 AMF PCD   ， ∵ AM PC∥ ， ∴ PCD AMF   ， ∴ 2APC AMF AMF AMF     ， ∴ 1 1 1 1 1 1 1 1 AMF AMF AMF AMFP n n n nMNC CD n n nn                  ， ∴ 1 11 1 AMFMNC APC A F n nn nM       ，④正确． 综上，正确的有 4个， 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 平行线中拐点问题 1．长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行 的长江两岸河堤 AB CD、 上安置了 P、Q两盏激光探照灯，如图示．光线 1PB 按顺时针方向以每 秒1的速度从 PB旋转至 PA便立即回转，并不断往返旋转；光线 1QC 按顺时针方向以每秒3的 速度从QC旋转至QD便立即回转，并不断往返旋转．如果两灯同时开始转动，光线 1PB 和光线 1QC 旋转时间为 t秒  0 60t  ． (1)如图 1，请用含 t的代数式表示光线 1PB 转动的角度，即 1BPB ∠ ____________°；用含 t的代 数式表示光线 1QC 转动的角度，即 1CQC ∠ ____________°； (2)如图 2，当光线 1QC 与光线 1PB 垂直，垂足为 H时，求 t的值． 2．如图， AB DE∥ ， 20CDE  ，则 B C  的度数是 ． 3．如图，AB CD∥ ，若 115ABM  ， 55MNC  ， 140NCD  ，求 BMN 的度数．（提示：分 别过点 M，N作 AB的平行线） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 4．如图所示， AB CD∥ ， 128 , 32A D     ．求 AED 的度数． 5．如图，直线 ,PQ MN C∥ 是 ,PQ MN之间（不在直线 ,PQ MN上）的一个动点． (1)如图①，若 1 与 2 都是锐角，则 C 与 1, 2  之间的数量关系为______________； (2)把直角三角形 ABC按如图②所示的方式摆放， 90 ,C CB   与PQ交于点 ,D CA与MN交于点 ,E BA与 PQ交于点 F，点 G在线段CE上，连接 ,DG BDF GDF  ．求 AEN CDG   的值． 6．如图，直线MN分别交直线 ,AB CD于点 E，F，AB CD∥ ，EP与 FP交于点 P，且 2FEP BEP   ， 3EFP DFP   ， 40BEP  ，则 P  ． 7．如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜 面 AB的调节角  ABM 的调节范围为12 ~ 70 ，激光笔发出的光束DC射到平面镜上，若激光笔 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 与水平天花板（直线EF）的夹角 30EPC  ，则反射光束 CH与天花板所形成的角（ PHC ） 不可能．．．取到的度数为（ ） A． 20 B．50 C．70 D．120 8．（1）如图①， 1 2MA NA∥ ，则 1 2A A   ______； 如图②， 1 3MA NA∥ ，则 1 2 3A A A   ______； 如图③， 1 4MA NA∥ ，则 1 2 3 4A A A A    ______． 利用图②，说明你所填写的结论的正确性； （2）如图④， 1 nMA NA∥ ，则 1 2 3 nA A A A      ______； （3）利用上述结论解决问题：如图⑤，已知 AB CD∥ ， ABE 和 CDE 的平分线相交于点 , (0 180)F E m m     ，用含m的代数式表示 BFD 的度数． 9．【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化． 例如：如图1，直线 AB CD∥ ，求证： B D BED    （1）阅读下面的解答过程，并填上适当的理由． 解：过点 E作直线 EF CD， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 2 D  （ ） AB CD （已知）， EF CD， AB EF （ ） 1B   （ ） 1 2 BED   ， B D BED   （ ） （2）如图 2，直线 AB CD∥ ，若 160BEP  ， 120PFD  ，则 EPF  ； 【方法运用】 （3）如图3，直线 AB CD∥ ，点 P在 AB的上方，问 PEA ， PFC ， EPF 之间有何数量关系？ 请说明理由； 【联想拓展】 （4）如图 4，已知 EPF   ， PEA 的平分线和 PFC 的平分线交于点G，请你用含有  的式 子表示 G 的度数，直接写出结果． 10．（1）对于图 1，已知 AB CD∥ ，直接写出 BED 与 B 和 D 之间的数量关系为____________； （2）如图 2， BE平分 ABD DE , 平分 BDC ，且 90E  ．试说明： AB CD∥ ； （3）拓展与应用：在（2）的条件下，作射线 BF和DF交于点 F．已知 3 , 30ABE ABF F     ．请 判断 CDF 与 CDE 之间的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 11．已知：AB CD∥ ，直线EF交 AB于点 E，交CD于点 F，点 P是线段EF上一点，M，N分别 在射线 EB，FD上，连接PM，PN． (1)如图 1，求证： MPN EMP FNP    ； (2)如图 2，当MP NP 时，MQ平分 EMP ， NQ平分 DNP ，求 MQN 的度数． 12．如图（1），直线MN与直线 AB，CD分别交于点 E，F， 1 与 2 互补． (1)试判断直线 AB与直线CD的位置关系，并说明理由； (2)如图（2）， AEF 与 EFC 的角平分线交于点 P， EP延长线与CD交于点G，点H是MN上 一点，且PF GH∥ ，试判断直线GH与EG的位置关系，并说明理由； (3)如图（3），点 P为 AB，CD之间一点，EQ，FQ分别平分 PEF 和 CFN ，求 AEP 与 EQF 之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 13．已知直线 AB CD∥ ，点 P在直线 ,AB CD之间，连接 ,AP CP．下面结论正确的个数为（ ） ①如图 1，若 APC   ， PAB   ，则 360PCD      ； ②如图 2，点Q在 ,AB CD之间，当 QAP QAB   ， QCP QCD   ，则 2 360APC AQC     ； ③如图 2，点Q在 ,AB CD之间，当 2  QAP QAB， 2  QCP QCD，则 3 360APC AQC     ； ④如图 3， PAB的角平分线交CD于M，且 AM PC∥ ，点N在直线 ,AB CD之间，连接 ,CN MN ，   PCN n NCD， 1AMN NMD n    ， 1n  ，则 P 和 N 的关系为 1 1      N n P n （用含 n的式子表示， 题中的角均指大于0且小于180的角）． A．1 B．2 C．3 D．4