【专项练】平行线求角度问题-北师大版七年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 平行线求角度问题 1．如图，烧杯内液体表面 AB与烧杯下底部CD平行，光线 EF从液体中射向空气时发生折射， 光线变成 FH ，点G在射线 EF上，已知 120CEF  ， 20BFH  ，则 GFH 的度数为（ ） A． 20 B．40 C．60 D．80 2．苏州博物馆本馆是由世界著名建筑大师贝聿铭亲自设计的博物馆．图①中的屋顶设计是在 传统飞檐翘角基础上演变而来，呈现出强烈的几何感和抽象性．图②中 116B E   ， 90C D   ，则在下列判断中，正确的是（ ） A． 138BAE   B． 128BAE   C． 118BAE   D． BAE 的度数无法确定 3．如图，直线m n∥ ，一把含30角的直角三角尺按所示位置摆放，若 1 30  ，则 2 的度数是 （ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A． 20 B．25 C．30 D．40 4．如图，直线 AB CD，点 E、 F在 AB上，点H在CD上，连接 EH 、 FH ， 2DHF EHF   ， 若 60AEH  ，则 HFB 的度数为（ ） A．160 B．120 C．140 D．100 5．如图，AB CD∥ ，连接 AC，AE平分 BAC 交CD于点 E，若 48C  ，则 AED 的度数是（ ） A．66 B．104 C．114 D．132 6．图 1是一打孔器的实物图，图 2是使用打孔器的侧面示意图，AD BC∥ ，使用打孔器时，AD， DE，DC分别移动到 AD，D E ，D C ．此时D E BC ∥ ，DD平分 ADC ，若 62DD E   ，则 DCB  °． 7．如图，已知 AB CD∥ ，点 E、F在直线 AB上，点 G、H在直线CD上，连接EG、 FH 、 FG， FG平分 AFH ，EN平分 GEF 交 FG于点 N， 90ENF  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 (1)求证： EG FH∥ ； (2)若 50EGF  ，求 FHD 的度数． 8．如图，在 ABC中， ABC 的平分线 BE交 AC于点 E，过点 E作DE BC∥ 交 AB于点 D，过点 D作DF BE∥ 交 AC于点 F． (1)求证：DF是 ADE 的平分线； (2)若 28BED  ，若 81ACB  ，求 AFD 的度数． 9．如图，已知直线 AB CD∥ ，直线 EF分别交直线 AB，CD于点 E，F，EM平分 AEF 交CD于 点 M，G是射线MD上一动点（不与点 M，F重合）， EH 平分 FEG 交CD于点 H．设 MEH EGF    ， ．有下列四个式子：①2  ；② 2 180   ；③ 30   ； ④ 2 180   ．其中正确的是（ ） A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④ 10．如图，已知 AD BC∥ ， A C  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 (1)如图 1，试说明： AB CD∥ ； (2)如图 2，连接 BD，若点 ,E F 在线段 AB上，且满足DB平分 FDC ，DE平分 ADF ， 110A C   ，求 EDB 的度数： (3)①如图 2，在（2）中，若 A C x   ，其他条件不变，求 EDB 的度数（直接写出答案， 用含 x的代数式表示）； ②如图 3，在（3）①的条件下，将线段 BC沿着射线 AB的方向向右平移，当DF平分 EDB 时， 若 A C x   ，求 AED 的度数（直接写出答案，用含 x的代数式表示）； ③如图 3，在（3）①的条件下，将线段 BC沿着射线 AB的方向向右平移，当 AED CBD  时， 若 A C x   ，求 ABD 的度数（直接写出答案，用含 x的代数式表示）； 11．如图（1），直线 EF与直线 AB、CD分别交于点G、H． AGE 为钝角， 180EHD AGE    ． (1)求证： AB CD∥ ； (2)如图（2），点M 、N分别在直线 AB、CD上，点 P（不在直线EF上）是直线 AB、CD之间 一点，连接MN、 PM、PN．若 PN EF， PM PN ，求 PMB EHD   等于多少度？ (3)如图（3），在（2）的条件下，MQ平分 AMN 交直线CD于点Q，PR平分 MPN 交MQ于点 T，交直线CD于点 R，若 2 4AMN PND    ， 60PNM  ∠ ，求 PTQ 的度数． 12．如图，在三角形 ABC中，D是 AB上一点，DE BC∥ 交 AC于点 E，点 F是线段DE延长线 上一点，连接 FC， 180BCF ADE   ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 (1)如图 1，说明：CF AB∥ ． (2)如图 2，连接BE，若 40 , 60ABE ACF   ，求 BEC 的度数． (3)如图 3，在(2)的条件下，点 G是线段FC延长线上一点，若 35EBC ECB  : : ，BE平分 ABG ， 求 CBG 的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 平行线求角度问题 1．B 【分析】本题考查了平行线的性质．先利用平行线的性质可得 120CEF AFG    ，然后利用 平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵ AB CD∥ ， ∴ 120CEF AFG    ， ∵ 20BFH  ， ∴ 180 40GFH AFG BFH     ， 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了角度的计算，平行线的性质．通过作辅助线，得到BC ED AF∥ ∥ ，利用两 直线平行，同旁内角互补，得到结果． 【详解】解：过 A作 AF BC∥ ， ∵ 90C D   ， ∴BC ED∥ ， ∵BC AF∥ ， ∴BC ED AF∥ ∥ ， ∴ 180B BAF   ， 180E EAF   ， ∴ 360B E BAE    ， ∵ 116B E   ， ∴ 360 360 116 116 128BAE B E         ， 即 128BAE  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据已知易得： 120DCB  ，然后利用平行线的性质可 得 60ABC  ，从而利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵ 1 30  ， 4 90  ， ∴ 1 4 120DCB    ， ∵直线m n∥ ， ∴ 180 60ABC BCD    ， ∵ 3 30  ， ∴ 2 3 30ABC    ， 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等得到 60AEH EHD   ，根据角的和差计算得到 20EHF  ， 2 2 20 40DHF EHF       ，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求解． 【详解】解：∵ AB CD， ∴ 60AEH EHD   ， ∵ EHD EHF FHD    ， 2DHF EHF   ， ∴ 2 60EHF EHF    ， 解得， 20EHF  ， ∴ 2 2 20 40DHF EHF       ， ∵ AB CD， ∴ 180BFH DHF   ， ∴ 180 180 40 140BFH DHF       ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∴ 140HFB  ， 故选：C ． 5．C 【分析】本题考查了角平分线定义和平行线性质的应用，解题的关键是掌握：两条平行线被第 三条直线所截，同旁内角互补．根据平行线性质求出 CAB 的度数，根据角平分线求出 EAB 的 度数，根据平行线性质求出 AED 的度数即可． 【详解】解：∵ AB CD∥ ， 180C CAB   ， 48C   ， 180 48 132CAB       ， AE 平分 CAB ， 66EAB   ，  AB CD∥ ， 180EAB AED   ， 180 66 114AED      ， 故选：C． 6．56 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行于同一条直线的两条直线平行可得： AD D E ， 然后利用平行线的性质可得 62ADD DD E       ，再利用角平分线的定义可得 124ADC  ，最后 利用平行线的性质进行计算即可解答，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解： D E BC  ， AD BC∥ ， AD D E  ， 62ADD DD E     ， DD 平分 ADC ， 2 124ADC ADD    ， AD BC ， 180 56DCB ADC      ， 故答案为：56． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 7．(1)见解析 (2) 100FHD   【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的判定和性质，找出角度之 间的数量关系是解题关键． （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到 NGE NFH   ，即可证明平行； （2）由（1）可知， NGE NFE   ，结合平行线的性质，得出 NGE NGH   ，从而得到 100EGH  ， 再利用两直线平行，同位角相等求解即可． 【详解】（1）证明： 90ENF   ， 90NEG NGE NEF NFE      ， EN 平分 GEF ， NEG NEF   ， NGE NFE   ， FG 平分 AFH ， NFE NFH   ， NGE NFH   ， EG FH ∥ ； （2）解：由（1）可知， NGE NFE   ， AB CD∥ ， NFE NGH   ， NGE NGH   ， 50EGF   ， 100EGH  ， EG FH∥ ， 100FHD  ． 8．(1)见解析 (2)109 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义，以及平 行线的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的定义可得 ABE CBE  ，再利用平行线的性质可得 DEB CBE  ，从而 可得 DEB ABE  ，然后再利用平行线的性质可得 ADF ABE∠ ∠ ， EDF DEB∠ ∠ ，从而利用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 等量代换可得 ADF EDF  ，即可解答； （2）利用平行线的性质可得 81AED ACB   ，角的和差关系求出 BEF 的度数，再利用平 行线的性质进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵ BE是 ABC 的平分线， ∴ ABE CBE  ， ∵DE BC∥ ， ∴ DEB CBE  ， ∴ DEB ABE  ， ∵DF BE∥ ， ∴ ,ADF ABE EDF DEB      ， ∴ ADF EDF  ， ∴DF是 ADE 的平分线； （2）解：∵DE BC∥ ， ∴ 81AED ACB   ， ∴ 109BEF BED DEF     ∵DF BE∥ ， ∴ 109AFD FEB   ， ∴ AFD 的度数为109． 9．B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，画出图形分类讨论是解题的关键． 分点G在点F右侧，点G在M和F之间，根据平行线的性质和角平分线的定义，分别求出结论 即可． 【详解】解：当点G在点F右侧时，如图示： EH 平分 FEG ，EM平分 AEF ， 1 2 MEF AEF   ， 1 2 FEH FEG   ， AB CD∥ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 BEG EGF     ． 1 1 1( ) (180 ) (180 ) 2 2 2 MEH MEF FEH AEF FEG BEG                  ， 2 180    ， 当点G在M和F之间时，如图： EH 平分 FEG ，EM平分 AEF ， 1 2 MEF AEF   ， 1 2 FEH FEG   ， AB CD∥ ， AEG EGF     ． 1 1 1 1 1(180 ) (180 ) 2 2 2 2 2 MEH MEF FEH AEF FEG BEF BEF                   ， 2   ，则 2 0   ； 综上：①④正确，②③错误； 故选：B． 10．(1)见解析 (2)35 (3)① 90 2 xEDB         ；②  3 1804AED x   ；③ 45 4 xABD         【分析】本题主要考查了两直线平行的判定和性质，以及角的运算，解题的关键是弄清角与角 之间的关系． （1）利用两直线平行的判断和性质进行证明； （2）根据平行线的性质得出 180 70ADC A    ，根据角平分线的定义得出 1 2 EDF ADF   ， 1 2 FDB BDC FDC     ，根据 EDB EDF FDB   求出结果即可； （3）①根据解析（2）的方法求出结果即可； ②根据角平分线定义证明 FDB EDF ADE BDC    ，求出  3 3 1804 4EDC ADC x     ，根 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 据平行线的性质得出  3 3 180 4 4 AED EDC ADC x      ； ③根据平行线的性质证明 ADE EDF FDB DBC    ，求出 14 BDC ADC   ，根据平行线的 性质得出 ABD BDC  ，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵ AD BC∥ ， ∴ 180A B   ， ∵ A C  ， ∴ 180B C   ， ∴ AB CD∥ ； （2）解：∵ AB CD∥ ， ∴ 180A ADC   ， ∵ 110A  ， ∴ 180 70ADC A    ， ∵DE平分 ADF ， ∴ 12 EDF ADF   ， ∵DB平分 FDC ∴ 12 FDB BDC FDC     ， ∴ EDB EDF FDB    1 1 2 2 ADF FDC     1 2 ADF FDC   1 2 ADC  35 ． （3）解：①∵ AB CD∥ ， ∴ 180A ADC   ， ∵ A x  ， ∴  180ADC x   ， ∵DE平分 ADF ， ∴ 12 EDF ADF   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∵DB平分 FDC ∴ 12 FDB BDC FDC     ， ∴ EDB EDF FDB    1 1 2 2 ADF FDC     1 2 ADF FDC   1 2 ADC  90 2 x       ． ②∵ A x  ， ∴  180ADC x   ， ∵DE平分 ADF ， ∴ 12 EDF ADF   ， ∵DB平分 FDC ， ∴ 12 FDB BDC FDC     ， ∵DF平分 EDB ， ∴ 12 FDB EDF EDB     ， ∴ FDB EDF ADE BDC    ， ∴  3 3 1804 4EDC ADC x     ， ∵ AB CD∥ ， ∴  3 3 1804 4AED EDC ADC x      ； ③∵ AB CD∥ ， ∴ AED EDC EDB BDC    ， ∵ AD BC∥ ， ∴ CBD ADB ADE EDB    ， ∵ AED CBD  ， ∴ EDB BDC ADE EDB    ， ∴ ADE BDC   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 ∴ ADE EDF FDB DBC    ， ∴ 14 BDC ADC   ， ∵ AB CD∥ ， ∴ ABD BDC  ， ∴  1 180 454 4 xABD x            ． 11．(1)见解析 (2)90 (3)133 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、几何图中角度的计算，熟练 掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由 180EHD AGE    结合对顶角相等得出 180EHD BGH    ，即可得出 AB CD∥ ； （2）过点 P作PK AB∥ ，则 PMB MPK   ， PK CD∥ ，从而得到 PND NPK   ，由 PM PN 得 出 90PMB PND    ，由平行线的性质可得 EHD PND   ，最后得出 90PM B EHD     ； （3）过点T作TW MP∥ 交CD于点W，则 PMT WTQ MPT PTW   ， ，设 PND  ，则 90PMB     ，由 2 4AMN PND    ，得出 56  ，从而得到 116 34AMN PMB     ， ，最后 再根据角平分线的定义进行计算即可． 【详解】（1）证明： 180EHD AGE    ， AGE BGH   ． 180EHD BGH   ， AB CD ∥ ； （2）解：过点 P作PK AB∥ ， PMB MPK  ， AB CD ，PK AB∥ ， PK CD ∥ ， PND NPK  MPN MPK NPK PMB PND     ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 PM PN ， 90MPN  ， PND NPK   90PMB PND   ． PN EF ∥ ， EHD PND  ， 90PMB EHD   ； （3）解：过点T作TW MP∥ 交CD于点W， PMT WTQ   ， MPT PTW  ． 设 PND  ，则 90PMB     ， AB CD ， AMN MND   ． 60PNM   ， 60AMN MND PNM PND       ． 2 4AMN PND     ， 60 2 4      56   116AMN  ， 34PMB   MQ 平分 AMN ， PR平分 MPN 1 58 2 AMT AMN     ， 1 45 2 MPT MPN     180 88PMT AMT PMB      133PTQ PTW WTQ MPT PMT      ． 12．(1)见解析 (2)100 (3)10 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，平角的定义，解决本题的关键是 掌握平行线的判定与性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 （1）根据平行线的性质得 .ADE ABC  ，再证明 180BCF ABC   即可完成证明； （2）过点 E作EK AB，可得CF EK∥ ，再根据平行线的性质即可得结论； （3）根据 35EBC ECB  : : ，可以设设 3EBC x  ，则 5ECB x  ，然后根据 180BCF ABC   ， 得出3 5 100 180x x   ，求出 x的值，进而可得结果． 【详解】（1）解：因为DE BC∥ ， 所以 .ADE ABC  因为 180BCF ADE   ， 所以 180BCF ABC   ， 所以CF AB∥ ． （2）解：如图，过点 E作EK AB，则 40BEK ABE   ． 因为 EK AB，CF AB∥ ， 所以CF EK∥ ， 所以 60CEK ACF   ， 所以 40 60 100BEC BEK CEK       ． （3）解：因为 BE平分 ABG ， 所以 40EBG ABE   ． 因为 35EBC ECB  : : ， 所以设 3EBC x  ，则 5ECB x  ． 由（1）知， 180BCF ABC   ，即 180ABE EBC ECB ACF     ， 所以3 5 100 180x x   ， 解得 10x  ， 所以 3 30EBC x    ， 所以 40 30 10CBG EBG EBC       ．